Ćwiczenie 4

Filtr dolnoprzepustowy i górnoprzepustowy.

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z własnościami układu całkującego i układu różniczkującego oraz poznaniu ich charakterystyk częstotliwościowych

2. Właściwości układu całkującego ( integratora)

Schemat podstawowy układu całkującego przedstawiono na rys.1. Przebieg czasowy napięcia U_wy = f(U_we) wyraża się zależnością:

t

U_wy(t) = - (1/RC) ∫U_we(t) dt (1)

0

Dla wymuszenia sinusoidalnego U_we (t) = U_m sin (ωt) wyrażenie (1) przyjmuje postać

U_wy(t) = (1/ωRC) sin(ωt + π/2) (2)

Z wyrażenia (2) wynika, ze amplituda sygnału wyjściowego zależy od częstotliwości sygnału wejściowego oraz występuje przesunięcie fazowe pomiędzy sygnałem wyjściowym a wejściowym, które wynosi 90⁰. Moduł transmitancji napięciowej |k_u| wyrazić można:

|k_u| = 1/ωRC (3)

Jeśli oznaczymy przez ω₀ pulsację charakterystyczną układu określoną przez zastosowane wartości rezystora R i pojemności C to ω₀ = 1/RC i otrzymamy wyrażenie na moduł transmitancji w postaci:

|k_u| = 1/ωRC = ω₀/ω (4)

Pulsacja charakterystyczna to pulsacja, przy której moduł transmitancji ma wartość równą 1.

Często stosujemy zmodyfikowany układ całkujący, który przedstawiono na rys.2 Równolegle z C włączono rezystancję R_F. Moduł transmitancji napięciowej wyraża się zależnością:
(5)

a przesunięcie fazy
(6)

Wzór (5) dla zakresu dużych częstotliwości ωR_FC ›› 1 sprowadza się do wyrażenia (4) czyli do idealnego układu integratora.

3. Właściwości układu różniczkującego

Na rysunku 3 przedstawiono wzmacniacz operacyjny z ujemnym sprzężeniem zwrotnym

realizowanym przez rezystancję R, pobudzany przez pojemność C. Przebieg napięcia wyjściowego przedstawia się zależnością:

(7)

Dla wymuszenia sinusoidalnego wyrażenie (7) przyjmuje postać:

(8)

Z wyrażenia (8) wynika, że amplituda sygnału wyjściowego zależy od częstotliwości sygnału wejściowego oraz przesunięcie fazowe pomiędzy napięciem wyjściowym a wejściowym jest niezależne od częstotliwości i wynosi -90⁰. Jeżeli oznaczymy przez ω₀ pulsację charakterystyczną układu określoną przez rezystor R oraz pojemność C to :

(9)

Moduł transmitancji napięciowej obwodu z rys.3 można wyznaczyć z zależności:

(10)

Zmodyfikowany układ różniczkujący przedstawiono na rysunku 4. Szeregowo z pojemnością C włączono rezystor R_1. Moduł transmitancji napięciowej wyraża się zależnością:

(11)

a przesunięcie fazy pomiędzy napięciem wyjściowym a wejściowym wynosi:

(12)

Dla małych częstotliwości, gdy ωR₁C ‹‹ 1 wyrażenie (11) przyjmie postać |K_u| = ωRC ( patrz wzór (10) a dla dużych częstotliwości , gdy ωR₁C ›› 1 |K_u| = R/R₁.

4. Przebieg ćwiczenia

4.1 Zestawić układ pomiarowy do zdejmowania charakterystyk częstotliwościowych integratora ( rys 5). Ustaw napięcie na wejściu na poziomie 0,7V. Zmieniając częstotliwość generatora sygnału przy Uwe = const. zdejmujemy charakterystyki częstotliwościowe integratora dla trzech wartości pojemności C = 220nF, 100nF oraz 22nF. Wartość R = 10kΏ, R_F = 100kΏ. Wyniki pomiarów wpisać do tablicy poniżej.

f[kHz]	0,02	0,04	0,07	0,1	0,2	0,4	0,7	1	2	4	7	10
Uwy[V]													C=220nF
Uwy[V]													C=100nF
Uwy[V]													C=22nF

4.2 Zestawić układ pomiarowy do zdejmowania charakterystyk częstotliwościowych układu różniczkującego przedstawionego na rysunku 6. Ustaw napięcie na wejściu na poziomie 0,7V. Zmieniając częstotliwość generatora sygnału przy Uwe = const. zdejmujemy charakterystyki częstotliwościowe układu różniczkującego dla trzech wartości rezystancji R₁ = 10kΏ, 47kΏ oraz 100kΏ. Wartość C = 10nF , R_F = 100kΏ. Wyniki pomiarów wpisać do tablicy poniżej

f[kHz]	0,02	0,04	0,07	0,1	0,2	0,4	0,7	1	2	4	7	10
Uwy[V]													R1=10kΏ
Uwy[V]													R1=47kΏ
Uwy[V]													R1=100kΏ

5. Opracowanie wyników

1. Korzystając z wyników pomiarów zawartych w p.4.1 narysować charakterystyki częstotliwościowe badanego integratora. |Ku| [dB] = f(f) dla trzech wartości C, przy czym

|Ku| [dB] = 20 lg
.

Na osi częstotliwości przyjąć skalę logarytmiczną poczynając od 0,1 Hz. Na podstawie narysowanych charakterystyk wyznaczyć graniczną częstotliwość układu i podać zakres częstotliwości, dla których badany integrator pracuje poprawnie. Otrzymane wyniki porównać z rezultatami teoretycznymi wyznaczonymi w wyrażenia (5) , gdy

ωgm =

2. Korzystając z wyników pomiarów zawartych w p.4.2 narysować charakterystyki częstotliwościowe badanego układu różniczkujacego. |Ku| [dB] = f(f) dla trzech wartości R1, przy czym

|Ku| [dB] = 20 lg
.

Na osi częstotliwości przyjąć skalę logarytmiczną poczynając od 20 Hz. Na podstawie narysowanych charakterystyk wyznaczyć graniczną częstotliwość układu i podać zakres częstotliwości, dla których badany układ pracuje poprawnie. Otrzymane wyniki porównać z rezultatami teoretycznymi wyznaczonymi w wyrażenia (11) , gdy

ωgm =

3. Wyprowadź samodzielnie wzory (5) i (11)

Rysunek 1

Rysunek 2

Rysunek 3

Rysunek 4

1

---