Wykład VI

Aproksymacja Dupuit

Aproksymacja Dupuit jest najstarszym modelem przepływu filtracyjnego i mimo uproszczeń idących naszym zdaniem zbyt daleko jest dość powszechnie stosowana przez inżynierów budownictwa lądowego i wodnego, melioracji i pokrewnych dziedzin do projektowania systemów odwodnieniowych.

Dupuit wprowadził założenia do opisu filtra­cji, które powodują, że przepływy dwu i trójwymiarowe sprowadzają się odpowiednio do przepływów jedno i dwuwymiarowych. Istotę tych założeń wyjaśnimy na przykładzie przepływu dwuwymiarowego rys.4.18.

Rys. 4.18 Schemat dla zobrazowania założeń aproksymacji Dupuit.

W obszarze filtracji poprowadzimy dwa przekroje prostopadłe do powierzchni nieprzepuszczalnej oddalone od siebie o nieskończenie małą odległość dl Dupuit wprowadził następujące założenia:

l) wysokość hydrauliczna jest jednakowa we wszystkich punktach przekroju;

2) przepływ jest jednostajny;

3) prędkość filtracji prostopadła do powierzchni przekroju prostopadłego do powierzchni nieprzepuszczalnej.

4) Filtrująca ciecz jest nieściśliwa podobnie jak szkielet przez pory którego odbywa się przepływ

W wyniku tych założeń prędkość filtracji będzie jednako­wa w każdym punkcie danego przekroju i wyniesie:

Jest wiele zadań w praktyce inżynierskiej, do których z dosta­teczną dokładnością można stosować teorię Dupuit. Wielkość błędu wynikającego z przyjęcia złożeń Dupuit będzie zależeć od stopnia, w jakim założenia teorii Dupuit będą odbiegać od rzeczywistości, w szczególności gdy linie prądu nie będą prostopadle do powierzchni przekroju stanowiącą płaszczyznę prostopadłą do powierzchni nieprzepuszczalnej

W zależności od kształtu powierzchni przekroju rozwiązywać będziemy zadania w prostokątnym, walcowym, lub sferycznym układzie współrzędnych. Uogólnienie teorii Dupuit na przypadek przepływu nieustalonego, będącego wynikiem dopływu wód infiltracyjnych do swobodnej powierzchni przepływu jest teoria Boussinesqu'a.

VIII.2. Przykłady rozwiązań zadań dwuwymiarowych w oparciu o aproksymację Dupuit

VIII.2.1 Zagadnienia przepływu ustalonego przy zasilaniu bocznym - przepływ wody przez groblę.

Grobla zbudowana z gruntu jednorodnego i izotropowego o współczynniku filtracji k spoczywa na poziomo ułożonym stropie warstwy nieprzepuszczalnej (rys. 8.2.).

Rys. 8.2 Schemat zadania - przepływ wody przez groblę.

Szerokość gro­bli wynosi 1m natomiast długość l. Poziom wody po jednej stronie grobli wynosi
, natomiast po drugiej
. Przepływ wody przez groblę jest ustalony. Wyznaczymy poziom zwierciadła wo­dy w grobli oraz wydatek przepływającej przez groblę wody.

Linie prądu w tym przypadku będą wyglądać tak, jak to poka­zano na (rys. 8.3).

Rys. 8.3 Linie prądu i powierzchnie przekroju

Widać, więc, że podział obszaru filtracji przekrojami pionowymi prostopadłymi do brzegu nieprzepuszczalnego odpowiada założeniom teorii Dupuit. Prędkość filtracji w od­ległości x od początku układu współrzędnych wyniesie:

Wydatek q przypadający na 1 m szerokości grobli będzie równy:

Rozwiązując powyższe równanie różniczkowe zwyczajne metodą rozdzielenia zmiennych otrzymamy:

Uwzględniając warunek brzegowy:

dla

oraz

wyznaczymy stałe c oraz wydatek q w równaniu 3.2:

Równanie opisujące powierzchnię swobodną zwierciadła wody ma, więc w postaci:

Rozkład prędkości filtracji wzdłuż drogi przepływu przedsta­wia się następująco:

VIII.2.2 Dopływ do studni w warstwie o zwierciadle swobodnym przy zasilaniu bocznym.

Rozwiążemy dopływ do studni o zwierciadle swobodnym (rys.11.4.) przy następujących założeniach:

Rys. 11.4 Schemat zadania - dopływ cieczy nieściśliwej do studni

• studnia o promieniu r leży na środku wyspy o promie­niu R,

• warstwa wodonośna o współczynniku filtracji k jest jednorodna i izotropowa,

• strop warstwy nieprzepuszczalnej jest ułożony poziomo,

• studnia sięga spągu warstwy przepuszczalnej /zupełna/ i jest do niej prostopadła,

• przed pompowaniem zwierciadło cieczy jest poziome,

• na brzegach wyspy poziom wody względem stropu warstwy nieprzepuszczalnej wynosi
  ,

• w studni
  ,

• a przepływ jest ustalony,

• przepływ cieczy nieściśliwej jest laminarny.

Zaznaczmy na rys. 8.5 przebieg linii prądu dla rozwiązywanego zadania.

Rys. 8.5 Przebieg linii prądu

Obszar filtracji w tym przypadku podzielimy pionowymi, współ­osiowymi ze studnią powierzchniami. Prędkość filtracji w odległości r od osi studni wyniesie:

wydatek natomiast będzie równy:

Rozwiązując powyższe równanie różniczkowe metodą rozdzielenia zmiennych otrzymamy:

Warunki brzegowe dla rozpatrywanego przypadku są następujące:

dla

oraz

Uwzględniając warunki uzyskujemy równanie opisujące powierzchnię zwierciadła wody w postaci:

oraz wzór na wydatek dopływającego do studni:

natomiast prędkość filtracji wyrazi się wzorem:

VIII.2.3 Dopływ do studni w warstwie o zwierciadle napiętym.

Zadanie rozwiążemy przy założeniach z przykładu poprzedniego (podrozdz. VIII. 2.2) z tym, że w miejsce założenia [3] dajemy założenie następujące: warstwa wodonośna o stałej miąższości M jest ułożona poziomo (rys. 11.6).

Rys. 8.6 Schemat zadania - dopływ do studni w warstwie o zwierciadle napiętym

Łatwo zauważyć, że podobnie jak w przykładzie rozwiązanym poprzednio (podrozdz.VIII. 2.2) obszar filtracji można podzielić pionowymi, współosiowymi powierzchniami (rys. 8.5). Prędkość filtracji w odległości r od studni napiszemy zgodnie z teorią Dupuit w postaci:

Równanie ciągłości przepływu ma postać:

Rozwiązanie tego równania ma postać:

Warunki brzegowe dla rozpatrywanego przypadku są następujące:

dla

oraz

Ostatecznie rozwiązanie zadania po uwzględnieniu warunków brzegowych ma postać:

1. Równanie opisujące linię piezometryczną ciśnień:

2. Wydatek dopływającej do studni wody:

3. Rozkład prędkości wzdłuż drogi filtracji:

Wzory stanowiące rozwiązania w poprzednich podrozdziałach VIII.2.1 do VIII.2.3] stosuje się często w praktyce inżynierskiej nie tylko do obliczania studni będących w środku wyspy otoczonej wodą, lecz również w przypadkach schematów przedstawionych na rys. 8.7

Rys. 8.7 Schematy dopływu wody do studni

Do obliczeń potrzebny jest w tym przypadku znajomość zasięgu leja depresji R. Określa się ją przy pomocy wzorów empirycznych. Do najczęściej stosowanych zalicza się:

• Wzór Sichardt'a - dla studni o zwierciadle napiętym:

gdzie

depresja w [m]

k
współczynnik filtracji w [m/s]

R
promień zasięgu leja depresji w [m]

• Wzór Kusakina - dla studni o zwierciadle swobodnym:

gdzie

depresja w [m]

k
współczynnik filtracji w [m/s]

R
promień zasięgu leja depresji w [m]

H
średnia miąższość warstwy wodonośnej w [m]

Korzystanie z powyższych wzorów wymaga dużej ostrożności. Trzeba pamiętać, że powinny być spełnione warunki określone założeniami teorii Dupuit'a, więc zakres stosowania ich jest wąski. Szczególnie, gdy depresja s jest duża powinno wykorzystywać się rozwiązanie wynikające z teorii lepiej opisującej rzeczywistość.

VIII.3. Zeskok hydrauliczny.

W przypadku występowania swobodnego zwierciadła wody na powierzchni stanowiącej granicę obszaru filtracji, przez którą następuje wypływ wody, powstaje uskok hydrauliczny. Jest to różnica między poziomem zwierciadła wody w obszarze filtracji przy wypływie a poziomem wody poza tym obszarem (rys. 8.5).

Rys. 8.8 Zeskok hydrauliczny

W oparciu o teorię Dupuit nie da się określić wielkości zeskoku hydraulicznego z równań teorii. Dlatego w przypadku stosowania tej teorii wielkość uskoku hydraulicznego
określana jest na podstawie licznych wzorów empirycznych. Dla przykładu dla studni zupełnej można obliczyć wartość
w oparciu o wzór I.A. Czarnego:

gdzie:

wydatek studni

współczynnik filtracji

promień studni [m]

poziom wody w studni [m]

Orientacyjnie uskok hydrauliczny dla studni można obliczyć z prostszego wzoru empirycznego:

gdzie:

uskok hydrauliczny [m]

depresja [m]

miąższość warstwy wodonośnej [m]

---