Zajęcia nr 4 - matematyka, 10 kwietnia 2010

Funkcja

Funkcja ze zbioru X w zbiór Y jest to takie przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X jest przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru Y.

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, a zbiór Y przeciwdziedziną.

Funkcję możemy określić za pomocą grafu, tabelki, diagramu, wzoru, wykresu.

Przykład dla funkcji f(x)=x(x-3) gdy D={-1,0,1,2,3,4,5}

Miejscem zerowym funkcji nazywamy każdy argument, któremu funkcja przyporządkowuje wartość 0.

Jeżeli mamy wykres funkcji f(x), to wykres funkcji g(x):

g(x)=f(x)+a - przesunięcie o a jednostek w górę,

g(x)=f(x)-a - przesunięcie o a jednostek w dół,

g(x)=f(x+a) - przesunięcie o a jednostek w lewo,

g(x)=f(x-a) - przesunięcie o a jednostek w prawo,

g(x)=-f(x) - symetria względem osi OX,

g(x)=f(-x) - symetria względem osi OY.

Badanie własności funkcji możemy przeprowadzić w 5 punktach:

1. wyznaczanie dziedziny i zbioru wartości,

2. wyznaczanie miejsc zerowych,

3. wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji i dla jakich argumentów te wartości zostają uzyskane,

4. wyznaczenie maksymalnych przedziałów w których funkcja jest dodatnia, nieujemna, ujemna, niedodatnia (dodatnia - wartości większe od zera, nieujemna - wartości większe lub równe zero),

5. wyznaczenie maksymalnych przedziałów w których funkcja jest rosnąca, stała lub malejąca.

Funkcja liniowa - funkcja postaci f(x)=ax+b.

Wykres - linia prosta, przecina oś OY w punkcie (0,b), a oś OX w punkcie
. Można powiedzieć, że wykres funkcji liniowej przechodzi przez te punkty (oczywiście dla
. Liczba
, gdzie
jest kątem nachylenia prostej do osi OX, nazywana jest współczynnikiem kierunkowym prostej. Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do f(x)=ax+b jest równy
. Aby wyznaczyć wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dane dwa punkty A=-(x₁,y₁) i B=(x₂,y₂), najlepiej utworzyć układ dwóch równań liniowych
.

Funkcja kwadratowa - funkcja postaci f(x)=ax²+bx+c, gdzie
. Wykres - parabola.

,
,
, gdzie p i q są współrzędnymi wierzchołka paraboli.

Jeśli
, to
oraz

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej:

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:
lub

Funkcja wymierna
, gdzie V(x) nie jest wielomianem zerowym.

W szczególności funkcja
- proporcjonalność odwrotna (proporcjonalność prosta f(x)=ax).

Funkcja wykładnicza f(x)=a^x, gdzie a>0 i
.

Ćwiczenia do zajęć:

1. Dana jest funkcja liniowa f(x)=2x-5 oraz punkty A=(-2,5) B=(5,-2). Napisz wzór funkcji liniowej :

a) równoległej do danej, której wykres przechodzi przez punkt A,

b) prostopadłej do danej, której wykres przechodzi przez punkt A,

c) której wykres przechodzi przez punkty A i B.

2. Naszkicuj wykres funkcji i określ jej własności:
   

3. Ośmiu robotników może pomalować ogrodzenie parku w ciągu 36 godzin. Ilu robotników trzeba, aby pomalować ogrodzenie w ciągu 16 godzin? Ile godzin potrzeba na tę pracę 6 robotnikom?

4. Kurs EURO obecnie wynosi 3,8 zł. Ile EURO można kupić z 2000 zł? Ile zł zapłacimy za 230 EURO?

5. Funkcję f(x)=- x²+2x+3 przedstaw w postaci kanonicznej i iloczynowej. Określ własności tej funkcji i na podstawie wykresu rozwiąż nierówność -x²+2x+3>-5.

6. Wykresem funkcji f jest parabola przechodząca przez punkty (0,5) i (-1,11) i mająca oś symetrii o równaniu x=1. Wyznacz wzór funkcji oraz jej zbiór wartości.

7. W jakim wielokącie liczba przekątnych jest o 12 większa od liczby boków?

8. W jakim wielokącie liczba przekątnych jest 5 razy większa od liczby boków?

9. Siatką długości 60 metrów należy ogrodzić prostokątny ogródek przylegający do budynku. Jakie powinny być wymiary ogródka, aby jego powierzchnia była możliwie największa?

10. Jacek jest o 25% starszy od Wacka. Za 3 lata będzie od niego tylko o 20% starszy. Oblicz wiek obu chłopców.

---