System konsumpcji

System konsumpcji określony jest przez działalności konsumentów w przestrzeniu towarów.

Celem działania każdego konsumenta jest wybór i realizacja takiego planu konsumpcji , który jest możliwy do realizacji i który maksymalizuje funkcję użyteczności przy danym zbiorze ograniczeń budżetowych.

Jest systemem relacyjnym.

K=( I , R^l, X, E, p, e, γ,ξ)

• I = (1,2,…,N) - oznacza skończony zbiór konsumentów

• R^l - l-wymiarowa przestrzeń towarów i cen

• X - plan konsumpcji całkowitej

• E- opisuje różne potrzeby, upodobania, gusty

• p -

• e - odwzorowanie zasobu początkowego które każdemu konsumentowi przypisuje pewien początkowy zasób towarów.

• γ - korespondencja zbiorów budżetowych, która każdemu konsumentowi przyporządkowywuje zbiór jego ograniczeń przy danym systemie cen i wartości zasobu początkowego

• ξ - korespondencja popytu która każdemu konsumentowi przypisuje najlepsze plany konsumpcji w zbiorze jego ograniczeń budżetowych.

p=(2,1) , l=2 , J={1,2}, Y¹={(y₁,y₂) € R² : y₁ ≤ - ½ y₁ + 2, y₁ ≤ 2 }, y^2* =(1,-3), I={1}, Xⁱ = R₊ x [0,6], e(1)= ωⁱ = (2,4),

uⁱ(x₁,x₂) = 2 x₁ + x₂

Y¹={(y₁,y₂) € R² : y₂ ≤ - ½ y₁ + 2, y₁ ≤ 2 }

y₂ ≤ - ½ y₁ + 2

2	4
1	0

y₂ = - ½ y₁ + 2

p=(2,1)

y^1*=(2,1) y^2*=(1,-3)

∏^1*(2,1)=pⁱ *eⁱ = (2,1) (2,1) = 5 ∏^2*(2,1)=pⁱ *eⁱ = (2,1) (1,-3) = -1

4	6
4	0

w¹= pⁱ *ωⁱ = (2,1)(2,4) + 5 - 1 = 12

γ¹: pⁱ *xⁱ ≤ wⁱ (2,1)(x₁,x₂) ≤ 12 2x₁ + x₂ ≤ 12 x₂ ≤ 12 - 2x₁ H: x₂ = 12 - 2x₁

Xⁱ = R₊ x [0,6] uⁱ(x₁,x₂) = 2 x₁ + x₂ uⁱ(x₁,x₂)=c

c = 2 x₁ + x₂ x₂ = c - 2 x₁ c = 1 c = 2

x₂ = 1 -2 x₁ x₂ = 2 - 2 x₁

0	1
1	-1
1	0
0	2

c=1 c=2

y^i* = (x1, -2x1+12) x1 € [3,6]

Eⁱ(pⁱ, wⁱ)={(x₁,x₂) € R: x₂ = -2x₁ +12, x₁ € [3,6]}

Sprawdzamy X^* - Y^* = ω^*

System produkcji określony jest przez działalność producentów w przestrzeni towarów. Celem działalności producenta jest wybór i realizacja takiego planu produkcji, który jest możliwy z uwagi na dostępne technologie i który przy danym systemie cen maksymalizuje jego zysk.

Jest określony jako system relacyjny.

P = (J, R^l, y, p, η, Π)

R^l Zbiór wszystkich wektorów gdzie każda rzeczywista R^l {(v1,..,vl): v € R, h e(1,..,)}

R^l jako przestrzeń towarów

Plan działania podmiotu gospodarczego (producent, konsument, koszyk towarów) to współrzędne wektora v € R^l , określa ilość jednostek h-tego towaru w koszyku v € R^l lub planowaną i przeprowadzoną wielkość produkcji bądź konsumpcji tego towaru v € R^l ⇔ v = (v₁,…,v_l)

Nieodwracalność procesu produkcji

Jeżeli możliwy jest technologicznie plan produkcji całkowitej w którym nie wszystkie wyjścia i wejścia są równe zero to plan przeciwny nie jest możliwy do przeprowadzenia.

Def. y^j € Y^j Y i (-Y) = ø lub Y i (-Y) = {0}

Addytywność procesu produkcji

Jeżeli są dwa plany to można połączyć je w jeden proces i ten proces będzie technologicznie możliwy.

Def. y^j + y^j € Y^j

Y jest zbiorem domkniętym :

Jeżeli dla ustalonego planu produkcji Y wszystkie dowolne mu bliskie plany produkcyjne są technologicznie możliwe do przeprowadzenia to i on sam jest możliwy do realizacji tj. y € Y

Relacja preferencji nasycona(nienasycona)

Jeżeli w zbiorze Xⁱ istnieje plan Xⁱ_1, taki że dla każdego planu Xⁱ € Xⁱ u(Xⁱ) =< u(Xⁱ₁) to plan Xⁱ₁ nazywamy planem konsumpcji nasyconej lub konsumpcją nasyconą.

Definicja relacji preferencji nazywamy monotoniczną w zbiorze Xⁱ gdy dla każdego Xⁱ_, Xⁱ_, € Xⁱ jeżeli

w dowolnym koszyku towarów Xⁱ€ Xⁱ ??? ilość przynajmniej jednego dobra podczas gdy ilość innych dóbr nie zmieniła się to koszyk poprawia się na pozycję bardziej preferowaną czyli rośnie jego użyteczność.

---