Kiosk

Nauka

Poszarpany świat

Żyjemy w świecie fraktali

Mało kto zdaje sobie sprawę, że żyjemy w świecie fraktali - dziwnych i skomplikowanych figur geometrycznych, które odznaczają się regularnością w nieregularnościach i zadziwiają samopodobieństwem.

Potwory - tak o nich mówiono na początku XX w. Zwyrodniałe funkcje matematyczne - gdy próbowano ręcznie szkicować ich wykresy, otrzymywano formy postrzępione, rozwidlające się na niezliczone członki. Na papierze pojawiały się figury dziwne, samopodobne - ich fragmenty były bowiem pomniejszonymi obrazami całości. O nie, te upiory nie obudziły się, gdy rozum spał. Wprost przeciwnie - najwybitniejsi uczeni powołali je do życia świadomie, by udowodnić, że świat matematyki swym bogactwem wykracza daleko poza prostotę przyrody.

Krzywa Peano, pył Cantora, płatek śniegu Kocha, dywan Sierpińskiego - twory pozornie tylko dwu- czy trójwymiarowe, bo w rzeczywistości zagubione gdzieś między wymiarami. Uznane za nieprzydatne, ale fascynujące brzydotą, wystawiano w matematycznym lunaparku, strasząc studentów. Ale przyroda spłatała uczonym figla. Okazało się, że to owe monstra nierzadko opisują jej ukryte wzory. Oswoił je Benoît B. Mandelbrot, którego matematycy zwali nieco lekceważąco fizykiem, a fizycy - matematykiem. Wykorzystał w tym celu pierwsze superkomputery, w latach 50. uważane za narzędzie niegodne matematyków. Wygenerował wykresy tych patologicznych funkcji i... oniemiał na widok piękna otrzymanych obrazów. W tym roku mija 30 lat od chwili, gdy nadał im wspólną nazwę - fraktale.

Wkrótce fraktale stały się modne. Zyskały wręcz rzesze adoratorów i trudno powiedzieć, czy ich większość stanowili naukowcy, czy profani. Skąd takie zainteresowanie? Dlaczego pewnego majowego popołudnia aula Wydziału Fizyki Uniwersytetu Jagiellońskiego wypełniła się słuchaczami aż po brzegi? Co przez półtorej godziny wykładu Mandelbrota dodawało sił stojącym na schodach szacownym profesorom i eterycznym krakowiankom? Gość odwiedził Polskę w związku z przyznaniem mu prestiżowego matematycznego wyróżnienia - Medalu im. Wacława Sierpińskiego. O fraktalach opowiadał podczas wykładu i krótkiej rozmowy.

Dobre oko

„Wszechświat zapisany został w języku matematycznym, a literami są trójkąty, koła i inne figury, bez których zrozumienie choćby jednego słowa przekracza ludzkie możliwości” - pisał Galileusz. I aż do przełomu XIX i XX w. uczeni badali przyrodę, radykalnie ją idealizując. Doskonała krowa - wedle znanej matematykom i fizykom anegdoty - powinna być kulą. Matematyka należy do świata idei - twierdził Platon, którego myśl ukształtowała rdzeń europejskiej filozofii i nauki. Każdy z jego uczniów, który chciał zaprząc matematykę do badania zjawisk zachodzących w świecie rzeczywistym, opuszczał mury Akademii Ateńskiej z wilczym biletem. Dawne dzieje? Przeciwnie. Niewiele brakowało, by podobny los spotkał pół wieku temu młodego Mandelbrota, który zamiast kuli widział uparcie krowę.

- Pomyślmy o człowieku pierwotnym - mówił Mandelbrot w Krakowie. - Ile gładkich kształtów mógł zobaczyć wokół siebie? Niewiele. Źrenicę i tęczówkę oczu ludzi i zwierząt. Księżyc w pełni. A tymczasem niemal wszystko, co nas otacza, jest szorstkie - góry, ziemia, drzewa są chropowate, chmury postrzępione. Wrażenie ciężaru i lekkości dało początek mechanice. Odczucie ciepła i zimna prowadziło do termodynamiki. Kolor, kształt, jasność - do optyki. Dźwięki - do akustyki. Intuicyjnym wrażeniom przyporządkowano liczby. Ale wrażenie gładkości lub jej braku zostało pominięte. Brakowało bowiem naukowych narzędzi, którymi można byłoby zaatakować chropowatą naturę rzeczy. Stało się to możliwe dopiero 30 lat temu. Znajdowałem się wówczas w dość absurdalnej sytuacji - wspominał Mandelbrot. - Byłem już po pięćdziesiątce. Napisałem wiele prac (rozbieżność ich tematów mogła przyprawić o zawrót głowy), otrzymałem wiele nagród, ale wciąż nie wiedziałem, czym się zajmowałem. Aż do chwili, gdy uświadomiłem sobie fakt, że wspólnym mianownikiem moich dociekań jest chropowatość.

Miałem szczęście być właściwą osobą we właściwym czasie i we właściwym miejscu - tak wyjaśnia Mandelbrot przyczyny swojego odkrycia. Wiedziony instynktem (ale i radą swego wuja Szolema, matematyka) Mandelbrot sięgnął po pewne nieznane szerzej prace francuskich matematyków - Gastona Julii i Pierre`a Fatou. Wydobył też z zapomnienia bestiarium George'a Cantora, Helge von Kocha i Wacława Sierpińskiego. Po pierwsze - ich wydawałoby się zupełnie abstrakcyjne formuły kazał komputerom powtarzać miliony razy. Ku swemu zaskoczeniu otrzymał oszałamiająco bogate wzory przywodzące na myśl formy znane z przyrody. Po drugie - otrzymanym geometrycznym wzorom przyporządkował liczbę będącą miarą ich postrzępienia. Wykorzystał w nowy sposób znany matematykom już od 1919 r. wymiar Hausdorffa-Besicovitcha. - Hausdorff byłby na mnie zły, bo obmyślił go na potrzeby czystej matematyki - śmieje się Mandelbrot.

Po trzecie - uważnie przyjrzał się otrzymanym obrazom. - Tak się złożyło, że od urodzenia mam świetny wzrok. I w przeciwieństwie do praktyki większości naukowców oko odegrało w mojej karierze zasadniczą rolę - wyjaśnia Mandelbrot. - Wszelkich filozoficznych przemyśleń na temat krzywych Peano czy Cantora dokonywano wcześniej, nie przyglądając się uważnie ilustracjom. A przecież, kiedy poświęcimy im odrobinę czasu, zauważymy płomienie, rozlewiska rzek, gałęzie drzew, wszelkie formy znane z natury. Mandelbrot dostrzegł też coś jeszcze: zaskakujące podobieństwa fraktali do wykresów, które odnajdywał w pracach naukowych z dziedzin tak różnych (tak się wówczas zdawało) jak geologia i ekonomia.

- 30 lat temu naukowcy, którym podobały się moje prace, ale nie czuli się przekonani, mówili: Cóż, całkiem ładne obrazki, ale całkiem bezużyteczne - wspomina francuski matematyk. Ale było już za późno - bomba wybuchła. Geometrię fraktalną próbowano zastosować niemal wszędzie - i często z dobrym skutkiem. Sam Mandelbrot sformułował wiele twierdzeń z nią związanych, zyskując szacunek matematycznej branży. Zburzył powszechny mit matematyki platońskiej - dziedziny, mówiąc łagodnie, nieożywionej. Sprowokował do przeprowadzania matematycznych eksperymentów z wykorzystaniem komputerów. Fizycy - jak się wkrótce okazało - zyskali wreszcie język służący do opisu zjawisk nieregularnych, zwanych czasem chaotycznymi. Inżynierowie - metody badania betonu i stopów metali. Ekonomiści - modele funkcjonowania rynków finansowych. Graficy - algorytmy, wedle których powstają modele krajobrazów (począwszy od Gwiazdy Śmierci i planety Endor w „Gwiezdnych wojnach”). Ta lista wciąż się rozgałęzia - fraktalnie.

Fraktalna przyroda

- Stwierdzenie, iż coś się wymyśliło po raz pierwszy, jest dowodem zdumiewającej arogancji. Fraktale były przecież zawsze - trójkąt Sierpińskiego można odnaleźć we włoskich kościołach i na tybetańskich mandalach. Choć - tak po prawdzie - ich prawdziwa natura pozostawała nieznana i czekała na odkrycie - przeze mnie. Okazuje się jednak, że tylko naukowcom brakowało pomysłu, jak zrobić użytek z fraktali. Malarze, pisarze i krytycy wiedzieli o nich cały czas - mówił Mandelbrot, podbijając serca przychylnej artystom krakowskiej publiczności. - Choć z drugiej strony - dodał zaraz - niewielu zdawało sobie z tego sprawę.

Na przykład Katsushika Hokusai (1760-1849), japoński pejzażysta. Trudno powiedzieć, jak wyglądałoby europejskie malarstwo XIX w., gdyby drzeworyty jego autorstwa nie trafiły w ręce Vincenta van Gogha, Paula Gauguina i innych impresjonistów. Wiek później zainspirował również Mandelbrota. - Uderzający jest sposób, w jaki Hokusai upraszczał kształty natury. Albo je wygładzał - jak zarys góry Fuji, albo powtarzał jeden wzór w wielu skalach jednocześnie - malując wodorosty lub zarysy morskich fal i chmur. Nie znając matematyki, odkrył fraktalny algorytm przyrody.

Czołowy amerykański abstrakcjonista Jackson Pollock (1912-1956) mówił wprost: „Interesują mnie rytmy natury”. Ale niektórzy krytycy sądzili, że Pollock to nie geniusz, a zwykły pijak, który odrzucił pędzel i zaczął rozlewać farbę bezpośrednio na płótnie, by zadrwić z konwenansów. Pollock twierdził jednak, że nigdy nie tracił kontroli nad swoimi wzorami. Richard P. Taylor, fizyk z University of Oregon, specjalizujący się w badaniach chaosu, poszedł tym tropem, węsząc... fraktale. Komputerowa analiza „Rytmów jesieni” i innych obrazów artysty dowiodła, że mają one bezsprzecznie fraktalny charakter, czego nie można powiedzieć o obrazach twórców podszywających się pod Pollocka. - Próby podobnych badań podejmowano również w przypadku muzyki - mówi Mandelbrot. - Na ich podstawie nie można jednak orzec, czy muzyka jest dobra, czy zła. Można jedynie odróżnić to, co muzyką jest, od tego, co nią nie jest.

Teoria wszystkiego

Geometria fraktalna wspomaga tradycyjną analizę dzieł sztuki. Pozwala dostrzec regularności w rozkładzie galaktyk i bakteryjnych kolonii. Dostarcza narzędzi do symulacji zjawisk meteorologicznych. Proponuje modele wzrostu kryształów i kształtu turbulencji. Dzięki jej zastosowaniu rozgałęziająca się w nieregularny sposób sieć Internetu pozostaje „przyjazna” dla jego użytkowników... Hejże - ktoś zakrzyknie - może w takiej sytuacji należy pomyśleć o Fraktalnej Teorii Wszystkiego? Słysząc podobne hasła z ust swoich studentów Werner Heisenberg, współtwórca fizyki kwantowej, zwykł ich wypraszać z laboratorium. Mandelbrot przyjął postawę umiarkowaną.

- Fakt, że te same struktury odnajdujemy w sztuce, matematyce i rynkach finansowych, jest jednym z przejawów naszej kultury. Kultury rozumianej jako całość działań podejmowanych przez człowieka. Dlaczego jest zorganizowana w ten sam sposób? Dlaczego podobne wzory odnajdujemy w przyrodzie? - pyta Mandelbrot. - To fascynujące pytania. Ale - o czym należy pamiętać - zbyt ogólne. Geometria fraktalna to tylko zestaw użytecznych narzędzi. Nie jestem filozofem. Nie poszukiwałem teorii ogólnej ani tym bardziej teorii wszystkiego - uspokaja. - Nie sądzę, by taka istniała. Fraktale występują w przyrodzie powszechnie, ale procesy, które doprowadziły do ich powstania, bywają diametralnie różne.

Ktoś zapyta przy tej okazji, jaka jest definicja fraktala. - Wolałbym jej nie formułować - Mandelbrot uśmiecha się szelmowsko. - Jeśli geometria fraktalna wytrzyma próbę czasu, nikt nie będzie podnosił pytania o jej definicję. Jeśli natomiast nie przetrwa, definicja nie będzie miała żadnego znaczenia.

Ukryte piękno

Wybitny polski matematyk prof. Andrzej Lasota z Uniwersytetu Śląskiego i Uniwersytetu Jagiellońskiego (podobnie jak Mandelbrot laureat Medalu im. Wacława Sierpińskiego) mówił dla „Spraw Nauki”: „Wierzę, że matematyka jest po prostu strukturą naszego świata. Nie opisem tej struktury, ale samą strukturą. Bez wątpienia matematyk może tworzyć bardzo dziwne obiekty i może mu się wydawać, że daleko odbiegł od rzeczywistości. To tylko pozór”.

To właśnie na swój sposób udowodnił Benoît Mandelbrot. W starą matematykę tchnął życie, a nową do życia zbliżył. - Owszem, wielka księga natury została zapisana w języku matematyki, jak chciał tego Galileusz - przyznaje francuski matematyk. - Ale w rzeczywistości większość liter nie jest gładka, jak idealne koła i trójkąty. Stosując fraktale możemy przeczytać następny rozdział tej wspaniałej księgi. Mandelbrot wykazał też, że jej ukryte piękno może docenić każdy z nas. Jak?

Położyć się w trawie. Wziąć głęboki oddech. Poczuć, jak powietrze wypełnia tchawicę, oskrzela, oskrzeliki i pęcherzyki - cały fraktal płuc. Pomyśleć o hemoglobinie, białku o pofałdowanej (również fraktalnej) powierzchni, które rozprowadza tlen po układzie krwionośnym o geometrii - i owszem, fraktalnej. Dotknąć rozwidlającego się w zaskakująco podobny sposób korzenia drzewa, szorstkiej powierzchni kory, spojrzeć na koronę. I wyżej - na fraktalne chmury. I dalej, okiem wyobraźni - w kosmos. Jak chcą niektórzy naukowcy - gigantyczny, rozszerzający się fraktal, składający się z wielu kul, wytwarzających nowe kule wszechświatów i nowe - tak w nieskończoność... Dzięki Mandelbrotowi możemy spojrzeć na świat jak zwykle - i jak nigdy dotąd.

---