PYTANIE 3.

3.1 Dualizm korpuskularno - falowy w przyrodzie.

Dualizm korpuskularno-falowy - cecha wielu obiektów fizycznych (np: światła, elektronów) polegająca na tym, że w pewnych sytuacjach, zachowują się one jakby były cząstkami (korpuskułami), a w innych sytuacjach jakby były falami. Budowa korpuskularno - falowa światła została odkryta w 1900 r. przez Maxa Planca.

Wg mechaniki kwantowej prawie cała materia charakteryzowana jest przez dualizm. Każdej cząstce, a nawet każdemu obiektowi makroskopowemu można przypisać charakterystyczną dla niego funkcję falową, wynikającą z probabilistycznej natury materii. Z drugiej strony każde oddziaływanie falowe można opisać w kategoriach cząstek.

3.2 Zjawiska świadczące o korpuskularno - falowej naturze światła.

Zgodnie z odkryciem Maxa Planca z 1900 r. można stwierdzić, iż światło ma budowę korpuskularno - falową, oznacza to, że posiada ono zarówno własności falowe, jaki i własności korpuskularne. Własnościami falowymi światła są: dyfrakcja, interferencja i polaryzacja. Natomiast własnościami korpuskularnymi są zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne i wewnętrzne oraz zjawisko Comptona.

Interferencja - zjawisko nakładania się fal. Dobrze nam znane tęczowe zabarwienie cienkich warstewek, np. baniek mydlanych czy plam oleju na wodzie jest wynikiem interferencji.

Dyfrakcja to zjawisko fizyczne zmiany kierunku rozchodzenia się fali na krawędziach przeszkód oraz w ich pobliżu. Zjawisko zachodzi dla wszystkich wielkości przeszkód ale wyraźnie jest obserwowane dla przeszkód o rozmiarach porównywalnych z długością fali.

Polaryzacja to własność fali poprzecznej (np. światła). Fala spolaryzowana oscyluje tylko w pewnym wybranym kierunku. Fala niespolaryzowana oscyluje we wszystkich kierunkach jednakowo. Fala niespolaryzowana może być traktowana jako złożenie wielu fal drgających w różnych kierunkach.

Efekt fotoelektryczny, zjawisko fotoelektryczne - zjawisko fizyczne polegające na emisji elektronów z powierzchni przedmiotu (tzw. efekt zewnętrzny) lub na przeniesieniu nośników ładunku elektrycznego pomiędzy pasmami energetycznymi (tzw. efekt wewnętrzny), po naświetleniu jej promieniowaniem elektromagnetycznym (na przykład światłem widzialnym) o odpowiedniej częstotliwości, zależnej od rodzaju przedmiotu. Emitowane w ten sposób elektrony nazywa się czasem fotoelektronami. Energia kinetyczna fotoelektronów nie zależy od natężenia światła a jedynie od jego częstotliwości.

Zjawisko Comptona, rozpraszanie komptonowskie - zjawisko rozpraszania fotonów promieni X, czyli kwantów promieniowania o dużej energii, na swobodnych lub słabo związanych elektronach w wyniku którego promieniowanie elektromagnetyczne zwiększa długość fali (traci energię). Istnieje także jądrowe zjawisko Comptona, ale mówiąc o rozpraszaniu Comptona ma się na myśli rozpraszanie na elektronach.

3.3 Fala de Broglie'a.

Fale materii, zwane też falami de Broglie'a jest to, alternatywny w stosunku do klasycznego (czyli korpuskularnego), sposób postrzegania obiektów materialnych. Według hipotezy dualizmu korpuskularno-falowego każdy obiekt może być opisywany na dwa sposoby: jako cząstka/obiekt materialny albo jako fala (materii).

Propozycja De Broglie'a polegała na tym, aby każdej cząstce o różnym od zera pędzie przypisać falę, o określonej długości i częstości. Propozycja ta wychodziła naprzeciw wynikom eksperymentalnym, które świadczyły, że w pewnych sytuacjach każda cząstka może zachowywać się jak fala. Zgodnie ze swoim założeniem wyprowadził ona następujący wzór:

gdzie:

• λ - długość fali

• h - stała Plancka

• p - pęd cząstki

Podobnie każdej cząstce o energii E należy przyporządkować inną typową charakterystykę fali, tj. częstotliwość. Wynosi ona f = E / h.

Dzięki wzorowi de Broglie'a można na przykład obliczyć, że dla człowieka o masie 50 kg poruszającego się z prędkością 10 km/h długość fali materii równa jest

Wartość ta jest tak mała, że nie sposób wykryć falowych własności człowieka.

Dla elektronu długość fali jest na tyle duża, że można obserwować dyfrakcję i interferencję fal materii elektronu. Wykorzystuje się tu technikę zbliżoną do tych znanych z krystalografii rentgenowskiej.

Dzięki temu, że długość fali materii dla elektronu jest bardzo mała w porównaniu z długością fali światła, elektrony (także neutrony, jony, itd) doskonale nadają się do obserwacji małych obiektów. Na tej zasadzie opiera się m.in. budowa mikroskopu elektronowego.

3.4 Paczka falowa.

Paczka falowa (pakiet falowy), jest to fala skupiona w ograniczonym obszarze przestrzeni. Swobodną paczkę falową można uważać za superpozycję (złożenie) fal płaskich o długościach należących do pewnego przedziału.

Rozważmy funkcję falową cząstki w postaci (w chwili t=0):

Odpowiadający jej rozkład prawdopodobieństwa ma postać:

Jest to znana funkcja zwana funkcją Gaussa a
jest tzw. odchyleniem standardowym, które oznaczymy jako
i nazwiemy nieokreślonością położenia. Fala zlokalizowana na podstawie takiego rozkładu nazywana jest paczką fal. Można ją przedstawić jako sumę funkcji sinusoidalnych postaci exp(ikx).

Dla nieskończonej liczby fal - jest to całka

Chcąc wyznaczyć prędkość paczki falowej należy pamiętać, iż ona porusza się nie z prędkością fazową:
ale z prędkością grupową:

Ze związków de Broglie`a mamy:

Relatywistyczny związek między energią a pędem:

Podstawiając wyrażenia na energię i pęd i różniczkując po k, otrzymujemy ostatecznie:

czyli: funkcja falowa porusza się w przestrzeni wraz z cząstką.

Rozszerzanie się paczek fal. Dwie cząstki poruszające się z prędkościami
i
po upływie pewnego czasu t będą odległe o:

Pojedyncza paczka fal ma samoistny rozrzut prędkości grupowych
, co powoduje rozszerzanie się paczki o wielkość:

gdzie
oznacza rozciągłość początkową.

Jest to samoistne rozszerzenie, którego można uniknąć tylko wtedy, gdy cząstka jest związana (np. w studni potencjału...)

3.5 Związek modelu Bohra z mechaniką de Broglie'a.

Do modelu Bohra atomu wodoru możemy zastosować obraz falowy elektronu. Elektron porusza się po orbicie kołowej o promieniu r z prędkością v. Według de Broglie'a przypisujemy mu długość fali:

Tylko wtedy fale materii związane z obiegiem elektronu po orbicie o długości 2 × p × r nie będą się wygaszały podczas interferencji, gdy długość obwodu będzie całkowitą wielokrotnością długości fali.

Warunek kwantowy dla dozwolonych orbit elektronowych wynikający z teorii de Broglie'a, mający postać:

2 × p × r = n × l , gdzie n = 1, 2, 3,..., ¥

można doprowadzić do postaci podanej przez Bohra, mianowicie

skąd

Otrzymaliśmy w ten sposób postać drugiego postulatu Bobra.

W modelu Bohra elektron krążył po stacjonarnych orbitach o ściśle określonych promieniach. Z punktu widzenia mechaniki kwantowej nie możemy mówić o określonych orbitach, ponieważ elektronowi przypisujemy własności falowe. Możemy tylko określić miejsca, w których prawdopodobieństwo znalezienia elektronu jest większe lub mniejsze. Zgodnie z mechaniką kwantową promień pierwszej orbity elektronu (według Bobra) określa taką odległość od jądra; dla której prawdopodobieństwo znalezieniu, elektronu jest maksymalne.

3.6 Zasada nieoznaczoności.

Jedną z konsekwencji falowo-cząsteczkowej natury materii jest to, że jedyne czego możemy dowiedzieć się o ruchu elektronów to prawdopodobieństwo znalezienia ich w przestrzeni. Powstaje pytanie czy możemy "dokładnie" opisać ruch elektronu tzn. równocześnie określić jego położenie i prędkość?

Negatywna odpowiedź na to pytanie jest zawarta w zasadzie nieoznaczoności Heisenberga. Pierwsza część tej zasady dotyczy jednoczesnego pomiaru położenia i pędu.

Zasada nieoznaczoności głosi, że iloczyn nieokreśloności pędu cząstki i nieokreśloności jej położenia w danym kierunku jest zawsze większy od stałej Plancka.

Ograniczenie to wyrażają nierówności

Zauważmy, że im dokładniej mierzymy pęd, np. zmniejszamy Δp_x, tym bardziej rośnie nieoznaczoność położenia Δx.

Druga część zasady nieoznaczoności dotyczy pomiaru energii i czasu potrzebnego na wykonanie tego pomiaru i mówi ona, że jeżeli cząstka posiada energię E, to dokładność jej wyznaczenia ΔE zależy od czasu pomiaru  Δt zgodnie z relacją:

Im dłużej cząstka jest w stanie o energii E tym dokładniej można ją wyznaczyć.

Na szczególne podkreślenie zasługuje fakt, że ograniczenie dokładności pomiarów nie ma nic wspólnego z wadami i niedokładnościami aparatury pomiarowej lecz jest wynikiem falowej natury cząstek. Tak małe obiekty jak cząstki elementarne czy atomy nie podlegają prawom mechaniki klasycznej, ale prawom mechaniki kwantowej.

Sama zasada stanowi podstawę stwierdzenia, że w fizyce kwantowej musimy posługiwać się pojęciem prawdopodobieństwa.

Zauważmy, na przykład, że określenie położenia przedmiotów opiera się na rejestrowaniu światła odbitego przez te przedmioty. Po prostu widzimy gdzie są przedmioty. Światło w „zderzeniu” z przedmiotami o dużej masie praktycznie nie zaburza ich ruchu, ale całkiem inną sytuację mamy w przypadku elektronów. Tutaj też moglibyśmy się spodziewać, że zobaczymy elektron gdy odbije się od niego światło. Jednak elektron w zderzeniu z fotonem doznaje odrzutu, który całkowicie zmienia jego ruch (przypomnij sobie zjawisko Comptona). Tej zmiany ruchu elektronu nie można uniknąć ani dokładnie ocenić. Gdyby więc elektron poruszał się po ściśle określonym torze tzn. istniałyby orbity to byłyby one całkowicie niszczone przy próbie pomiarów mających potwierdzić ich istnienie. Dlatego właśnie mówimy o prawdopodobieństwie znalezienia elektronu a nie o określonych orbitach.

3.6 Postulaty mechaniki kwantowej.

Postulat pierwszy. Dowolnej, dobrze określonej obserwabli w fizyce (A), odpowiada operator (A*) taki, że w wyniku pomiaru tej obserwabli (A) otrzymujemy wartości pomiarowe (a), które są zarazem wartościami własnymi operatora (A*).

Obserwable - to wielkość fizyczna, którą możemy zaobserwować (zmierzyć). Pojęcie operatora ma tutaj znaczenie matematyczne, więc na gruncie fizycznym można przyjąć, że jest to pewna abstrakcyjna "wielkość", która działa na przyporządkowaną sobie obserwablę, czyniąc ją inną niż pierwotnie. 

W tym ujęciu pierwszy postulat mechaniki kwantowej mówi nam, że w rzeczywistości niemożliwe jest dokonanie dokładnego pomiaru jakiejkolwiek wielkości fizycznej. Pomiar każdej bowiem wielkości obarczony będzie błędem wprowadzonym przez nasz abstrakcyjny "operator". Fizycznie odpowiada za to dobrze znany kwant światła (foton), który jak wiemy odbijając się od dowolnego przedmiotu, zmienia jego położenie w przestrzeni i to w sposób zupełnie nieprzewidywalny (przypadkowy). Tym samym "to co zobaczymy" (to co zmierzymy), nie będzie już rzeczywistym obrazem dowolnego przedmiotu, a raczej jego "mirażem" - złudzeniem... O tym właśnie nam mówi postulat pierwszy.

Postulat drugi. Pomiar obserwabli (A) dający w wyniku wartość (a) pozostawia układ w stanie (f), gdzie (f) jest funkcją własna operatora (A*). 

Tym razem sprawa wydaje się prosta. Każdy pomiar dowolnej wielkości fizycznej wywiera trwały wpływ na cały mierzony układ fizyczny. Jeśli na przykład zechcemy zmierzyć wartość pędu (który jest obserwablą) dla przelatującego samolotu, musimy być świadomi, że nie tylko tym samym wpłyniemy na wynik pomiaru (wypaczając go oczywiście) lecz również zakłócimy dalszy ruch samolotu, który już nie poleci po pierwotnym torze. Ile będzie wynosić odchylenie samolotu spowodowane naszą obserwacją? Uwaga!! W sporym uproszczeniu możemy przyjąć, że trajektoria samolotu zmieni się o ok... 0,000000000000000000000000000000000005 m. 

Zatem możemy śmiało dokonywać pomiarów na samolotach, bez obawy, że spowodujemy jakąś katastrofę lotniczą. Zawdzięczamy to obowiązującej w naszym wszechświecie bardzo małej wartości stałej Plancka (zwanej również stałą kwantową). Gdyby jednak masa samolotu była porównywalna z masą elektronu, lub gdyby stała Plancka była kilka rzędów wielkości większa, to za swoje eksperymenty trafilibyśmy pewnie do więzienia.

Postulat trzeci. Stan układu w dowolnej chwili może reprezentować funkcja stanu (inaczej funkcja falowa), w której zawarte są wszystkie informacje dotyczące stanu układu. 

 Postulat trzeci odnosi się do odkryć Borna i Schrodingera. Rozpatrzmy następujący przykład: załóżmy, że w pewnym eksperymencie mierzymy dowolną obserwablę (A). Załóżmy również, że przygotowaliśmy dużą liczbę takich eksperymentów (tak, aby eksperyment wykonać n razy), i tak, aby w każdym eksperymencie uzyskać idealnie takie same warunki początkowe pomiaru. W ustalonej chwili t mierzymy obserwablę (A) we wszystkich eksperymentach jednocześnie. Otrzymamy oczywiście zbiór n podobnych, ale nie identycznych wyników. Postulat trzeci mówi nam, że średnia wartość dowolnej obserwabli (wielkości) fizycznej związanej z układem w chwili t powinna być równa średniej arytmetycznej wszystkich takich hipotetycznych pomiarów. Średnia taka nosi nazwę wartości oczekiwanej obserwabli.

Możemy tutaj (za Bornem) mówić również o prawdopodobieństwie znalezienia w pomiarze wielkości (A) konkretnej oczekiwanej wartości. Załóżmy, że znamy funkcję stanu danej cząstki (układu) w określonej chwili i że potrafimy wyznaczyć wartość oczekiwaną dowolnej obserwabli tej cząstki (układu). Możemy sobie teraz postawić pytanie: jaką mamy pewność, że w pomiarze naszej obserwabli otrzymamy wartość równą wartości oczekiwanej? Płynąca z postulatu trzeciego idea nakazywałaby dokonanie możliwie dużej liczby identycznych pomiarów, aby zredukować niepewność otrzymanego wyniku. 

Postulat czwarty. Funkcja stanu (funkcja falowa) układu (np. pojedynczej cząstki) zależy od czasu.

Postulat ten jest w zasadzie rozszerzeniem postulatu trzeciego. Wiemy z niego że dowolny układ fizyczny możemy opisać w dowolnej chwili za pomocą funkcji stanu (funkcji falowej). Jednak jeśli dobrze pamiętamy, Schredinger ulepszając swoje równanie wprowadził doń jeszcze jedną zmienną - energię potencjalną - i uzależnił ją od czasu. To ostateczne równanie opisuje wprawdzie ruch (stan) dowolnej cząstki (układu) poruszającej się z prędkością mniejszą od prędkości światła, ale narzuca też nam, jako obserwatorom pewną trudność. Wynika zeń bowiem, że stan każdego układu zmienia się z każdą mijającą chwilą (wypadałoby tu powiedzieć "kwantem czasu").

Tak więc seria jakichkolwiek pomiarów (tak jak np. w powyższych przykładach) musi się zmieścić w owym "kwancie czasu", w przeciwnym wypadku ulegnie zmianie stan układu. W teorii brzmi to być może obco, ale "ograniczenia pomiarowe" wynikające szczególnie z ostatnich dwóch postulatów z pewnością nastręczają wysiłku naukowcom planującym eksperymenty atomowe.

3.7 Funkcja falowa.

Funkcja falowa to w mechanice kwantowej funkcja zmiennych konfiguracyjnych np. położenia, o wartościach zespolonych, będąca rozwiązaniem równania Schrödingera, opisująca stan kwantowy cząstki. Kwadrat modułu funkcji falowej według interpretacji kopenhaskiej jest proporcjonalny do prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w stanie przez nią opisywanym. Nie jest to jedyna możliwa interpretacja funkcji falowej, jednak jest ona najpowszechniejsza. Ścisła definicja wymaga odniesienia się do własności przestrzeni Hilberta.

Same funkcje falowe i ich wartości nie są bezpośrednio mierzalne. Jako funkcja zespolona może być funkcja falowa przedstawiona w postaci iloczynu modułu i fazy i w odpowiednich warunkach dla niektórych układów możliwy jest pomiar różnic wartości faz funkcji falowych (porównaj efekt Aharonowa-Bohma).

Bardziej ścisła definicja określa funkcję falową jako reprezentację w określonych współrzędnych (położenia, pędy, inne) pewnego wektora z abstrakcyjnej, na ogół nieskończenie wymiarowej, przestrzeni Hilberta stanów układu, wyposażonej obok iloczynu skalarnego także w relację równoważności, w której równoważne są elementy tzw. promienia, czyli wektory dające się wzajemnie rzutować na określony punkt sfery jednostkowej (funkcje falowe określone są z dokładnością do czynnika skali, fizyczny sens przyporządkowuje się tylko tym wektorom, dla których możliwe jest unormowanie do jedności). Kwadrat modułu wektora, obliczany przy użyciu zdefiniowanego dla przestrzeni Hilberta iloczynu skalarnego, jest proporcjonalny do prawdopodobieństwa zarejestrowania układu w stanie opisywanym tym wektorem falowym.

3.8 Równanie Schrödingera.

Równanie Schrödingera jest podstawowym równaniem nierelatywistycznej mechaniki kwantowej, sformułowanym przez austriackiego fizyka Erwina Schrödingera w 1926 roku. Opisuje ono ewolucję układu kwantowego w czasie. W nierelatywistycznej mechanice kwantowej odgrywa rolę analogiczną do drugiej zasady dynamiki Newtona w mechanice klasycznej.

Najbardziej ogólna postać równania Schrödingera:

gdzie: i to jednostka urojona,
jest stałą Plancka podzieloną przez 2π (nazywana niekiedy stałą Diraca, zredukowaną stałą Plancka lub "h kreślonym"), H jest operatorem energii całkowitej, tzw. hamiltonianem układu,
jest funkcją położenia i czasu tzw. funkcją falową.

Hamiltonian układu jest sumą dwóch operatorów, jeden jest operatorem energii kinetycznej -
, a drugi energii potencjalnej. Dla pojedynczej nierelatywistycznej cząstki (v<<c) o masie m pozbawionej ładunku elektrycznego i spinu energia kinetyczna ma postać:

gdzie
jest operatorem pędu, zdefiniowanym w następujący sposób:

Energia potencjalna jest rzeczywistą funkcją skalarną, V = V(r). Łącząc wszystko razem uzyskujemy równanie Schrödingera zależne od czasu:

gdzie
to operator Laplace'a (tzw. laplasjan).

Jest to najczęściej spotykana postać równania Schrödingera, jednak nie najbardziej ogólna. Powyższe równanie jest cząstkowym równaniem różniczkowym, nazywanym też falowym równaniem Schrödingera. Dokonując rozdzielenia zmiennych uzyskujemy równanie Schrödingera niezależne od czasu. Równanie to stosuje się do tzw. stanów stacjonarnych (tj. takich w których energia nie zmienia się w czasie) i ma ono postać:

gdzie E jest energią układu.

Podane równanie jest równaniem własnym energii. Rozwiązaniem równania własnego są funkcje własne
i wartości własne E.

Funkcja własna będąca rozwiązaniem równania Schrödingera nosi nazwę funkcji falowej. Funkcja falowa, w najogólniejszej postaci funkcja zespolona, nie ma bezpośredniego sensu fizycznego. Dopiero jej kwadrat interpretujemy jako gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki. Powyższa interpretacja pochodzi od niemieckiego fizyka Maxa Borna, który podał ją

Równanie Schrödingera jest podstawą jednego z trzech równoważnych sformułowań mechaniki kwantowej, jedno z nich to mechanika macierzowa (historycznie pierwsza) sformułowana przez Wernera Heisenberga. Trzecim jest sformułowanie mechaniki kwantowej w języku całek po trajektoriach (są to całki funkcjonalne, czyli całki z funkcjonału), której autorem jest Richard Feynman.

Równanie Schrödingera jest także podstawą współczesnej chemii. Wszelkie własności atomów i molekuł można otrzymać obliczając stosowne dla nich równanie Schrödingera, jednak wymaga to znacznych mocy obliczeniowych. Fakt ten jest jedną z kluczowych tez przemawiających za redukcjonizmem, co często wyrażane jest stwierdzeniem, że chemia daje się zredukować do fizyki.

3.9 Operator energii - hamiltonian.

W klasycznej mechanice teoretycznej hamiltonian (funkcja Hamiltona) jest funkcją współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych opisującą układ fizyczny.

W mechanice kwantowej hamiltonian jest operatorem energii. Używa się go do opisywania wszystkich systemów kwantowych, a więc występuje on w najrozmaitszych formach. W najprostszym przypadku kwantowej cząstki nierelatywistycznej poruszającej się w potecjale skalarnym, jest równy

Wartości własne hamiltonianu

mają sens energii układu w stanie
.

---