PYTANIE 5

5.1 Równanie Schrodingera dla atomu wodoru.

Atom jednoelektronowy jest najprostszym układem związanym występującym w przyrodzie. Rozwiązanie równania Schrödingera dla atomu wodoru umożliwia wyznaczenie energii jego stanów stacjonarnych. Atom wodoru składa się z protonu o masie M i elektronu o masie m, którego potencjał wynosi:

.

Równanie Schrödingera dla atomu wodoru ma postać:

Klasyczne wyrażenie na energię ciała w polu sił centralnych możemy zapisać w postaci:

Zgodnie z zasadą odpowiedniości, stosowany operator energii wynosi (w układzie sferycznym):

Energia zależy od kątów
i
tylko poprzez
, więc stosując podstawienie na funkcje własne:

część radialna równania Schrödingera przyjmuje postać:

Ostatecznie więc rozwiązanie równania Schrödingera atomu wodoru opisane jest trzema liczbami kwantowymi n, l, m_l.

Z równania Schrödingera wynika, że w kwantowo-mechanicznym obrazie struktury atomu wodoru orbitom bohrowskim odpowiadają maksymalne wartości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu. Natomiast istotna różnica pomiędzy kwantowo-mechanicznym obrazem struktury atomu wodoru a modelem Bohra-Sommerfelda polega na tym, że pierwszy z nich podaje określony rozkład prawdopodobieństwa znalezienia elektronu, które zeruje się jedynie na powierzchniach węzłowych, podczas gdy model Bohra określa ściśle zdefiniowane orbity elektronowe. O tak dokładnie określonych orbitach elektronowych na gruncie mechaniki kwantowej mówić nie możemy. Elektron wyobrażamy sobie w postaci rozmytej chmury, określonej przez gęstość prawdopodobieństwa znalezienia elektronu, o kształcie zależnym od liczb kwantowych opisujących dany stan atomu.

5.2 Liczby kwantowe n,l,m.

Pojęcie liczby kwantowej pojawiło się w fizyce wraz z odkryciem mechaniki kwantowej. Okazało się, że właściwie wszystkie wielkości fizyczne mierzone w mikroświecie atomów i cząsteczek podlegają zjawisku kwantowania tzn. mogą przyjmować tylko pewne ściśle określone wartości. Na przykład elektrony w atomie znajdują się na ściśle określonych orbitach i mogą znajdować się tylko tam. Z drugiej strony każdej orbicie odpowiada pewna energia. Bliższe badania pokazały, że w podobny sposób zachowują się także inne wielkości np. pęd, moment pędu czy moment magnetyczny (kwantowaniu podlega tu nie tylko wartość, ale i położenie wektora w przestrzeni albo jego rzutu na wybraną oś). Wobec takiego stanu rzeczy naturalnym pomysłem było po prostu ponumerowanie wszystkich możliwych wartości np. energii czy momentu pędu. Te numery to właśnie liczby kwantowe.

W zależności od wielkości którą opisują liczby kwantowe mogą przyjmować wartości całkowite dodatnie (np. energia), całkowite dowolnego znaku (np. moment pędu) lub ułamkowe (np. liczby związane ze spinem elektronu). Na gruncie mechaniki kwantowej liczby kwantowe odpowiadają określonym wartościom własnym i stanom własnym operatorów kwantowych, opisujących energię oraz inne własności układów kwantowych. Podanie odpowiedniego zestawu liczb kwantowych może w pełni scharakteryzować stan atomu.

Symbole liczb kwantowych są ustalone tradycją. Na przykład elektronowi w atomie przypisane są następujące liczby kwantowe:

• główna liczba kwantowa (n = 1,2,3...) kwantuje energię elektronu, a w praktyce oznacza numer jego orbity,

• poboczna liczba kwantowa (l = 0,1,...,n − 1) oznacza wartość bezwzględną orbitalnego momentu pędu, którą obliczyć używając relacji J² = l(l + 1)h / 2π, gdzie h jest stałą Plancka. W praktece oznacza numer podpowłoki na której znajduje się elektorn,

• magnetyczna liczba kwantowa (m = − l,..., − 1,0,1,...,l) opisuje rzut orbitalnego momentu pędu na wybraną oś. Długość tego rzutu oblicza się używając wzoru J_z = mh / 2π.

5.3 Spin elektronu.

Spin jest to własny moment pędu (moment) danej cząstki w układzie w którym cząstka spoczywa. Własny oznacza tu taki, który nie wynika z ruchu danej cząstki względem innych cząstek, lecz tylko z samej natury tej cząstki. Każdy rodzaj cząstek elementarnych ma odpowiedni dla siebie spin. Cząstki będące konglomeratami cząstek elementarnych (np: jądra atomów) posiadają również swój spin będący sumą wektorową spinów wchodzących w jej skład cząstek elementarnych. Spin jest pojęciem czysto kwantowym. W mechanice klasycznej gdy cząstka spoczywa nie może mieć niezerowego momentu pędu. Układ spoczynkowy istnieje tylko gdy cząstka ma masę. Gdy cząstka jest bezmasowa (np. foton) można jedynie określić rzut spinu na kierunek propagacji cząstki. Matematycznie spin jest wielkością tensorową wynikającą z teorii kwantowej. Dokładnie jest to własność związana z tensorowym charakterem funkcji falowej, opisującej daną cząstkę, względem grupy obrotów. Np. funkcja falowa pionów może być uważana za wektor, funkcja falowa hipotetycznych grawitonów miałaby być tensorem 2. rzędu, zaś funkcja falowa elektronów jest spinorem o rzędzie 1/2.

Obserwowane wartości spinu są wartościami własnymi operatora spinu. Aby dla danej cząstki otrzymać wartość jej spinu należy zadziałać tym operatorem na jej funkcję falową.

Dla elektronu, protonu czy neutronu liczba ta jest oznaczana symbolem "s" i może przyjmować wartość ułamkową 1/2. Trzy składowe spinu elektronu są opisane macierzami Pauliego:

gdzie i={1,2,3}, a

są trzema macierzami Pauliego. Rzut spinu S na trzecią oś

przyjmuje dwie liczby (
). Operatory spinu spełniają reguły komutacyjne

Zachowanie kolektywne cząstek jest inne w zalezności od tego jaki mają spin. Gdy spin cząstki jest całkowity, cząstki są bozonami i podlegają statystyce Bosego-Einsteina. Gdy natomiast maja spin połówkowy cząstki są fermionami i podlegają statystyce Fermiego-Diraca. Związek ten jest szczególnym przypadkiem ogólnego związku spinu ze statystyką.

Cząstki mające spin i ładunek elektryczny różny od zera generują wokół siebie słabe pole magnetyczne (moment magnetyczny). W fazie skondensowanej oddziaływanie spinów może prowadzić do zjawiska ferromagnetyzmu.

Dla fotonu spin s=1 i objawia się jako polaryzacja fali elektromagnetycznej. Dla fotonu nie istnieje układ spoczynkowy. Można jedynie zmierzyć rzut spinu na kierunek propagacji fali elektromagnetycznej. Rzut ten jest równy zeru. Fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną. Istnieją dwie fizyczne polaryzacje leżące w płaszczyźnie prostopadłej do wektora falowego k (kierunku propagacji fali).

5.4 Czwarta liczba kwantowa.

Magnetyczna spinowa liczba kwantowa — m^ Elektron w atomie wykazuje pewien dodatkowy moment pędu, a tym samym i moment magnetyczny nie związany z jego ruchem dokoła jądra. Ten dodatkowy ruch "wewnętrzny" elektronu nie ma odpowiednika klasycznego. Czasami, choć nie jest to poprawne, porównuje się ten ruch z obrotem klasycznej cząstki dookoła własnej osi. Rzut tego dodatkowego ruchu elektronu zwanego spinem na wyróżniony kierunek w przestrzeni nazwano magnetyczną spinową liczbą kwantową. Poprawny opis wyników z doświadczeń otrzymano przyjmując dla liczby kwantowej m, dwie wartości: ms = l/2 i ms=-l/2.

5.5 Doświadczenie Sterna - Gerlacha.

Atomy srebra ze źródła, którym był piec z wrzącym srebrem, przechodziły do próżni, gdzie dzięki wąskim szczelinom była tworzona płaska wiązka tych atomów. Wiązka ta następnie wchodziła w obszar niejednorodnego pola magnetycznego i padała na płytę fotograficzną. Myśląc klasycznie spodziewamy się otrzymać pojedynczy obraz wiązki na płycie. Tymczasem wiązka atomów przechodząc przez niejednorodne pole magnetyczne uległa rozproszeniu, dzięki czemu na kliszy fotograficznej naukowcy otrzymali dwie rozdzielone linie.

Zjawisko to można wytłumaczyć właśnie przestrzenną kwantyzacją spinowego momentu pędu.

Interpretacja wyników doświadczenia Sterna-Gerlacha. Ze względu na brak ładunku elektrycznego jedynym możliwym oddziaływaniem neutralnych atomów (Ag,H) z polem magnetycznym jest oddziaływanie dipola magnetycznego atomu z zewnętrznym polem magnetycznym.

Doświadczenia S-G wykonano z atomami Ag i H, które posiadają jeden elektron walencyjny. Dla obu atomów jedynie ten pojedynczy elektron decyduje o wytworzeniu się dipola magnetycznego atomu. Energia potencjalna oddziaływania dipola magnetycznego elektronu z zewnętrznym polem magnetycznym wyraża się wzorem:

gdzie: jest wektorem magnetycznego momentu dipolowego elektronu.

W zewnętrznym polu magnetycznym na dipol magnetyczny działa siła:

W doświadczeniu S-G pole magnetyczne miało jedną niezerową składową Bz, a ponadto pole to było niejednorodne, czyli

Siła działająca na dipol magnetyczny

Dla ustalonego gradientu pola magnetycznego zwrot siły zależy od znaku z-owej składowej magnetycznego momentu dipolowego elektronu.

---