WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE: Jest to uogólnienie wyników otrzymanych w próbie na populacje generalną. ESTYMACJA - próba losowa prosta x - zmienna losowa określona w populacji generalnej DEFINICJA 1: (x1, x2, ..., xn) xi - zmienne niezależne, mają ten sam rozkład co zmienna losowa x (x1, x2, ..., xn)→ (x1, x2, ..., xn) - realizuje próby losowej prostej DEFINICJA 2: przestrzeń prób KI={(x1, x2, ..., xn)} i = 1, 2, ..., n DEFINICJA 3: Statystyką nazywamy funkcje określoną na próbie losowej prostej. U = f(x1, x2, ..., xn) U - statystyka z próby np. (x1, x2, ..., xn)
U = f(x1, x2, ..., xn) = xi UWAGA: Rozkład statystyk z próby zależy od:
PRZYKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK:
a). x: N(m,σ) (x1, x2, ..., xn) - próba losowa prosta
m x
statystyka
b).
statystyka
S - odchylenie standardowe z próby losowej prostej
(n →α) ⇒ Tn-1 ≈ N(0,1)
x: N(m,σ)
statystyka
UWAGA:
WNIOSEK:
n > 30
ESTYMACJA - szacowanie parametrów lub rozkłądów populacji generalnej na podstawie wyników zaobserwowanych w próbie
ESTYMACJA PARAMETRYCZNA:
Estymatorem parametru Q nazywamy statystykę zn = f(x1, x2, ..., xn), której rozkład zależy od szacowanego parametru. Estymator jest zmienną losową. Rozkład zn zalezy od szacowanego parametru. zn = f(x1, x2, ..., xn) - ocena parametru Q Wartość estymatora dla dowolnego elementu przestrzeni prób jest to ocena param. Q. d = zn - Q - błąd estymatora Δ = E(zn - Q)2 - miara błędu estymatora UWAGA: Ezn = 0 ⇒ Δ = D2zn Dzn - średni błąd szacunku param. Q WŁASNOŚCI ESTYMATORÓW:
Estymator param. Q jest nieobciążony jeśli Ezn = Q Ezn - Q = σ (2n) σ (2n) - obciążoność estymatora PRZYKŁAD 1: x - zmienna losowa o nieznanym rozkładzie (x1, x2, ..., xn) - próba losowa prosta Q = EX
zn : zn = xi EXi = EX PRZYKŁAD 2: (wariancja estymatora) D2X = Q
S2 =
DEFINICJA 1:
DEFINICJA 2:
Estymator param. Q jest zgodny jeśli: ε - dowolne
UWAGA:
Jeżeli zn jest estymatorem zgodnym to jest estymatorem nieobciążonym. Jeżeli zn jest nieobciążony i EFEKTYWNOŚĆ: Niech {zn1, zn2, ..., znk}; Ezni = Q l = 1, ..., k DEFINICJA 1: Estymator zn* spełniający warunek: min{D2(znl)} = D2(zn*) ; 1 ≤ i k zn* - najefektywniejszy estymator param. Q NIERÓWNOŚĆ RAO - GAMERA:
f - funkcja gęstości zm. los. x
e (.) ∈ (0,1>
DEFINICJA 2: Zn - dostateczna, jeżeli zawiera wszystkie informacje dotyczące parametru Q wystepującego w próbie losowej prostej ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA: DEFINICJA 1: Przedziałem ufności param.Q nazywamy przedział spełniający nastepujący warunek: P{g1(zn) < Q < g2(zn)} = 1- α [g1(zn) ; g2(zn)] - przedział ufności 1 - α - współczynnik ufności (1 - α = 0,90 ∨ 0,95 ∨ 0,99) Przedział ufności dla średniej w populacji normalnej. A: x: N(m,σ) m=? σ - znane (x1, x2, ..., xn) - próba losowa prosta 1 - α - zadany
Zn:
P{-zα < z < zα} = 1 - α
f(x)
- zα zα z
( UWAGA:
(x1, x2, ..., xn) ∈ kl ⇒
f(x) xn
xn
m x
WZGLĄDNA PRECYZJA SZACUNKU:
5%<
|