ZADANIE

O AUTOMATYCZNEJ STABILIZACJI

KURSU STATKU

UPROSZCZONY MODEL NEUTRALNIE STABILNEGO STATKU

dla J>0, h>0, k>0

ψ - kąt odchylenia od kursu

δ - kąt wychylenia steru

J - moment inercji względem osi pionowej przechodzącej przez środek fgfgfciężkości; (biegunowy moment bezwładności)

h - współczynnik tarcia lepkiego

k - współczynnik efektywności steru

UPROSZCZONE RÓWNANIE UKŁADU

AUTOPILOT-MASZYNA STEROWA

T>0

T - stała czasowa układu

α, β - parametry, którymi stroimy układ

- pomiar odchylenia od kursu ψ

POMIAR KATA ODCHYLENIA

τ >0

Pomiar kąta odchylenia nie zachodzi natychmiast i opisany jest powyższym równaniem :

τ- stała czasowa urządzenia pomiarowego

ZADANIE

W przestrzeni parametrów (α,β) charakteryzujących układ autopilot-maszyna sterowa znaleźć obszar, w którym system ze sprzężeniem zwrotnym składający się ze statku oraz układu autopilot-maszyna sterowa jest asymptotycznie stabilny, przy następujących wartościach parametrów:

J=10³, h=10², k=1, T=10², τ=10^-1.

ROZWIĄZANIE

Układ równań opisujący rozważany system ma postać:

- model statku - autopilot i maszyna sterowa - pomiar kata odchylenia od kursu

lub

- model statku - pomiar kata odchylenia od kursu - autopilot i maszyna sterowa

ALGORYTM STEROWANIA (PD)

W automatycznej stabilizacji kursu statku w układzie autopilot - maszyna sterowa wykorzystuje się regulator typu PD, proporcjonalno - różniczkujący.

Regulator PD - posiada czas różniczkowania T_d, który określa intensywność działania różniczkującego regulatora. Dzięki działaniu różniczkującemu regulator może bardzo silnie i szybko reagować już na małe zmiany odchylenia regulacji e - uchyb. Jeżeli czas jest szybki to regulator uprzedza wzrost odchylenia przez odpowiednie oddziaływanie na obiekt regulacji. Zmiana wielkości wyjściowej w regulatorze PD wyprzedza o czas T_d odpowiedź regulatora P przy wymuszeniu liniowo narastającym.

Podstawiając:

Uzyskujemy:

Układ liniowy stacjonarny opisany jest równaniem:

Zapisując w postaci macierzowej:

Ψ r δ ξ

=

gdzie
=
jest wektorem stanu

Układ jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy jeżeli części rzeczywiste wartości własnych macierzy A są mniejsze od zera; Re λ_i < 0, takie wartości rzeczywiste macierzy A, że wyznacznik charakterystyczny macierzy A jest różny zero det(A- λI) = 0.

Gdzie: λ_i - wartości własne (pierwiastki wyznacznika charakterystycznego det(A- λI) = 0) macierzy A tzn. takie λ_i , że det(A- λI) = 0

Wstawiając do macierzy A za k, J, h, T,
podane wartości liczbowe napiszemy równanie charakterystyczne macierzy A, czyli det(A- λI) = 0

=

=
=

=

a₄ a₃ a₂ a₁ a₀

Na podstawie badanie współczynników równania charakterystycznego badamy stabilność układu.

Wielomian charakterystyczny takiego układu przyjmuje postać:

P_n(λ) = a_nnⁿ + a_n-1λ^n-1 + ... + a₁λ + a₀

W naszym przypadku:

P₄(λ) = a₄λ⁴ + a₃λ³ + a₂λ² + a₁λ + a₀

P₄(λ) = 1λ⁴ + 10,11λ³ + 1,101λ² + (10^-2 + β/10⁴)λ + α/10⁴

Wyznacznik Hurwitza przyjmuje postać:

=

Aby układ był stabilny każdy z minorów diagonalnych tego wyznacznika musi być większy od zera więc :

Δ₁ > 0

Δ₂ > 0

Δ₃ > 0

Δ₄ > 0

Δ₁= 10,11 >0

Δ₂= 11,1211 - 0,0001β > 0 dla β < 1112111

Miejsca zerowe:

β_1,2 = (-b ± Δ)/2a

β₁ = -50 i β₂ = 107850

Współrzędne wierzchołka:

W = (α, β)= (-b/2a, -Δ/4a)

β_w = 53900 i α_w = 26975

Δ₄ = α/10⁴ * Δ₃ ⇒ α >0 (gdyż Δ₃ > 0 )

Zatem kryterium Hurwitza prowadzi do jednoczesnego spełnienia następujących nierówności:

α > 0

β < 1112111

-10^-6β² + 0,1078β + 10,9 > α

ODPOWIEDŹ

Zbiór par (α, β) spełniających układ trzech nierówności, którego interpretację geometryczną stanowi obszar zakreskowany zapewnia stabilność asymptotyczną układu .

MODEL ANALOGOWY UKŁADU

AUTOMATYCZNEJ STABILIZACJI KURSU STATKU

- model statku - autopilot i maszyna sterowa - pomiar kata odchylenia od kursu

Korban Mariusz 6-10-2004

Kwiatkowski Bartosz

V MECH ESO mgr

8

---