WYKŁAD 7.

1. Macierze przeniesienia .

Modelowanie układu drgań mechanicznych

W takim przypadku definiuje się wektor stanu , który charakteryzuje zmienne opisujące

układ o określonym przekroju .

Ponadto definiuje się macierze polowe opisujące własności lepkosprężyste oraz macierze

punktowe opisujące rozkład mas w układzie .

W najprostszym przypadku macierz polowa stanu , zwana często wektorem stanu ,

charakteryzuje ( w przypadku sprężyny ) w przekroju II przemieszczanie końca B i siły

dziającej na ten koniec (rys.7.1 ) .

I A

II B

X

F

Rys. 7.1. Sprężyna pod działaniem siły F na końcu B .

Związek pomiędzy przekrojami I oraz II , tzn. związek pomiędzy wektorami stanu w

tych przekrojach charakteryzuje macierz polową przekroju I i II .

Można to zobrazować za pomocą czwórnika sprężystego (rys.7.2.) .

Rys.7.2. Czwórnik sprężysty .

2. Analiza oscylatora harmonicznego .

a) b) c)

I F=0

II

m F

III

Rys.7.3. Oscylatory harmoniczne

a) , b) czwórnik sprężysty, c) czwórnik masy

Dla przedstawionych czwórników można napisać równania , które „wiążą” wektory

stanu rozpatrywanych przekrojów . Wiemy , że w jakimkolwiek przekroju przeprowa-

dzonym przez sprężynę , siła musi być taka sama (siła ma charakter przepływowy) .

(7.1)

(7.1a)

Tworzymy macierze :

(7.2)

Macierz w postaci : nazywana jest macierzą polową .

(7.2a)

Podobnie można wyznaczyć macierz punktową dla masy m .

(7.3)

Równanie (7.3) obowiązuje dla układu z masą - układu d`Alamberta .

W przypadku drgań harmonicznych zachodzi układ równań :

(7.4)

(7.5)

Dla danego układu (zależność (7.5) ) można skonstruować relację pomiędzy wektorami

stanu w przekrojach II i III w postaci macierzowej :

.

(7.6)

(7.6a)

Zależność (7.6a) nazywana jest macierzą przejścia dla masy (macierz punktowa) .

Podstawiając zależność (7.6a) do równania (7.6) otrzymujemy :

(7.6b)

Uzyskane macierze : polową i punktową można wykorzystać w wyznaczaniu częstości

drgań własnych układu .

Dla oscylatora harmonicznego można napisać relację między I i III przekrojem :

(7.7)

(7.7a)

(7.7b)

Zależność (7.7b) nazywana jest macierzą oscylatora .

Uwzględniając warunki brzegowe można wyznaczyć częstość drgań własnych .

Dla przekroju I warunki brzegowe są następujące :

(7.8a)

Dla przekroju II warunki brzegowe wynoszą :

( 7.8b)

Uwzględniając zależności (7.8a) oraz (7.8b) w równaniu (7.7a) otrzymujemy :

(7.9)

(7.9a)

(7.9b)

Stosując metodę macierzy przeniesień możemy przeprowadzić analizę widmową .

W tym celu rozpatrzmy układ o trzech stopniach swobody , bez tłumienia (rys.7.4.) .

1

2

3

4

5

6

7

Rys.7.4.Układ o trzech stopniach swobody .

(7.10)

Uzyskana równość (7.10) przedstawia relację pomiędzy wektorem stanu przekrojów

brzegowych . W ten sposób otrzymaliśmy związek matematyczny pozwalający wyzna-

czyć częstości drgań własnych .

(7.11)

(7.11a)

(7.11b)

(7.12)

Uwzględniając warunki brzegowe otrzymujemy :

(7.12a)

(7.13)

(7.14)

Ponieważ to można zatem tę podmacierz rozwinąć w funkcji częstości .

Rys. 7.5. Funkcja częstości .

(7.15)

(7.16)

Rozwiązaniem równania (7.11) jest :

(7.17)

Warunki brzegowe :

(7.18)

Wykorzystując warunki brzegowe otrzymujemy :

(7.19)

(7.19a)

---