Wahadło matematyczne
Możemy uprościć wzór, zakładając, że kąt θ jest mały; wówczas funkcję sin θ można przybliżyć przez θ. Korzystając z tego przybliżenia i wykonując przekształcenia, otrzymujemy
Otrzymaliśmy wzór, który jest kątowym odpowiednikiem równania dla ruchu harmonicznego. Mówi on, ze przyspieszenie kątowe α wahadła jest proporcjonalne do jego przemieszczenia kątowego θ, ale ma przeciwny znak. Ruch wahadła matematycznego poruszającego się w zakresie odpowiednio małych kątów jest w przybliżeniu harmoniczny.
Częstość kołowa równa jest:
, a okres drgań wahadła
Wahadło fizyczne
Zastosowanie wahadeł:
wahadło w zegarkach,
wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego,
wahadło Foucaulta - pokazanie obrotu kuli ziemskiej.
Wahadło matematyczne- ma postać ciała (ciężarka) o masie m zawieszonego na jednym końcu nierozciągliwej linki, o znikomo małej masie i o długości L, której drugi koniec jest umocowany (jak na pierwszym rysunku). Ciężarek kołysze się swobodnie tam i z powrotem w płaszczyźnie rysunku, w lewo i w prawo od pionowej linii przechodzącej przez punkt zawieszenia wahadła.
Jak pokazano na drugim rysunku, na którym linka jest odchylona o kąt θ od pionu, na ciężarki działają naprężenie linki
i siła ciężkości
. Rozkładamy siłę
na składową radialną
i składową styczną do toru zakreślonego przez ciężarek
. Składowa styczna powoduje powstanie przywracającego stan równowagi momentu siły względem punktu zawieszenia wahadła, gdyż zawsze działa przeciwnie do wychylenia ciężarka i wymusza jego powrót do centralnego położenia. Nazywamy je położeniem równowagi (θ = 0), gdyż nieruchome wahadło pozostawałoby w nim w spoczynku.
Korzystając ze wzoru
możemy zapisać moment siły w postaci
gdzie znak minus oznacza, że moment siły powoduje zmniejszenie kąta θ, a L jest ramieniem składowym stycznej siły
względem punktu zawieszenia wahadła.
Podstawiając poprzednie wyrażenie do wzoru
oraz zastępując wartośc siły ciężkości wyrażeniem mg, otrzymujemy
gdzie I jest momentem bezwładności wahadła względem punktu zawieszenia, a α- przyspieszeniem kątowym względem tego punktu.
Rzeczywiste wahadło, nazywane zwykle wahadłem fizycznym, może mieć skomplikowany rozkład masy, zupełnie inny niż w wahadle matematycznym.
Okres ruchu wahadła fizycznego
Wahadło fizyczne nie będzie drgać, gdy jego punkt zawieszenia będzie się znajdował w środku masy.
Każdemu wahadłu fizycznemu, drgającemu wokół danego punktu zawieszenia O z okresem T odpowiada wahadło matematyczne o długości
drgające z tym samym okresem T. Wielkość
nazywamy długością zredukowaną wahadła fizycznego, a punkt znajdujący się w odległości
od punktu zawieszenia O nazywamy środkiem wahań wahadła fizycznego.