Wahadło matematyczne

Możemy uprościć wzór, zakładając, że kąt θ jest mały; wówczas funkcję sin θ można przybliżyć przez θ. Korzystając z tego przybliżenia i wykonując przekształcenia, otrzymujemy

Otrzymaliśmy wzór, który jest kątowym odpowiednikiem równania dla ruchu harmonicznego. Mówi on, ze przyspieszenie kątowe α wahadła jest proporcjonalne do jego przemieszczenia kątowego θ, ale ma przeciwny znak. Ruch wahadła matematycznego poruszającego się w zakresie odpowiednio małych kątów jest w przybliżeniu harmoniczny.

Częstość kołowa równa jest:

, a okres drgań wahadła

Wahadło fizyczne

Zastosowanie wahadeł:

• wahadło w zegarkach,

• wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego,

• wahadło Foucaulta - pokazanie obrotu kuli ziemskiej.

Wahadło matematyczne- ma postać ciała (ciężarka) o masie m zawieszonego na jednym końcu nierozciągliwej linki, o znikomo małej masie i o długości L, której drugi koniec jest umocowany (jak na pierwszym rysunku). Ciężarek kołysze się swobodnie tam i z powrotem w płaszczyźnie rysunku, w lewo i w prawo od pionowej linii przechodzącej przez punkt zawieszenia wahadła.

Jak pokazano na drugim rysunku, na którym linka jest odchylona o kąt θ od pionu, na ciężarki działają naprężenie linki
i siła ciężkości
. Rozkładamy siłę
na składową radialną
i składową styczną do toru zakreślonego przez ciężarek
. Składowa styczna powoduje powstanie przywracającego stan równowagi momentu siły względem punktu zawieszenia wahadła, gdyż zawsze działa przeciwnie do wychylenia ciężarka i wymusza jego powrót do centralnego położenia. Nazywamy je położeniem równowagi (θ = 0), gdyż nieruchome wahadło pozostawałoby w nim w spoczynku.

Korzystając ze wzoru

możemy zapisać moment siły w postaci

gdzie znak minus oznacza, że moment siły powoduje zmniejszenie kąta θ, a L jest ramieniem składowym stycznej siły
względem punktu zawieszenia wahadła.

Podstawiając poprzednie wyrażenie do wzoru

oraz zastępując wartośc siły ciężkości wyrażeniem mg, otrzymujemy

gdzie I jest momentem bezwładności wahadła względem punktu zawieszenia, a α- przyspieszeniem kątowym względem tego punktu.

Rzeczywiste wahadło, nazywane zwykle wahadłem fizycznym, może mieć skomplikowany rozkład masy, zupełnie inny niż w wahadle matematycznym.

Okres ruchu wahadła fizycznego

Wahadło fizyczne nie będzie drgać, gdy jego punkt zawieszenia będzie się znajdował w środku masy.

Każdemu wahadłu fizycznemu, drgającemu wokół danego punktu zawieszenia O z okresem T odpowiada wahadło matematyczne o długości
drgające z tym samym okresem T. Wielkość
nazywamy długością zredukowaną wahadła fizycznego, a punkt znajdujący się w odległości
od punktu zawieszenia O nazywamy środkiem wahań wahadła fizycznego.

---