Zad.1

Środki produkcyjne	Jednostkowe nakłady
		W1	W2
S1	6	6
S2	10	5

Przedsiębiorstwo produkuje produkuje dwa wyroby W₁ i W₂. W procesie produkcji tych wyrobów zużywa się wiele środków, spośród których dwa są limitowane. Limity te wynoszą dla S₁ 36000 jednostek dla S₂ 50000 jednostek. Nakłady limitowanych środków na jednostkę produkcji podano w tabeli.

Należy też uwzględnić, że zdolność produkcyjna jednego agregatu nie pozwala wyprodukować więcej niż 4000 szt. wyrobu W₂. Nie ma natomiast żadnych ograniczeń dodatkowych w stosunku do wyrobu W₁.

Określ optymalne rozmiary produkcji przy założeniach, że zysk realizowany na obydwu wyrobach jest jednakowy.

ODP.

- zmienne decyzyjne ( nie wiadome ) :

x ₁ - liczba szt. wyrobu W₁

x ₂ - liczba szt. wyrobu W₂

- konstrukcja modelu matematycznego :

a) FC ( funkcja celu ) : Z ( oznaczamy ) czyli Z(x₁,x₂)=x₁+x₂ → MAX
max bo chodzi max zysk

( treść zadania )

gdyby W₁ = 2zł a W₂ = 3zł to by było Z (x₁, x₂) = 2x₁ + 3x₂

b) O ( warunki ograniczające )

6x₁ + 6x₂ ≤ 36000

10x₁ + 5x₂ ≤ 50000

x₂ ≤ 4000

c) WB ( warunki brzegowe)

WB : x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0

- poszukujemy zbioru wspólnego O i WB ( zbiór rozwiązań dopuszczalnych - ZRD )

6x₁ + 6x₂ = 36000 /:6

x₁ + x₂ = 6000

( 0, 6000 )
podstawiamy za x₁=0 za x₂=6000

( 6000 , 0 )
na odwrót

10x₁ + 5x₂ = 50000 /:5

2 x₁ + x₂ = 10000

( 0, 10000 )
podstawiamy za x₁=0 za x₂=10000

( 5000 , 0 )
na odwrót

ZRD jest wielobokiem ABCDE. Rozwiązanie optymalne leży w którymś z wierzchołków danego wieloboku, ewentualnie wzdłuż krawędzi.

Dla FC musimy odczytać punkty:

A ( 0 , 0 ) Z(A) = 0

B ( 5000 , 0 ) Z(B) = 5000

C ( 4000 , 2000 ) Z(C) = 6000

D ( 2000 , 4000 ) Z(D) = 6000

E ( 0 , 4000 ) Z(E) = 4000

Aby rozwiązanie było optymalne (zysk=6000) należy wyprodukować 4000 szt. W₁ i 2000 szt. W₂ lub 2000 szt. W₁ i 4000 szt. W₂. Zbiór rozwiązań optymalnych jest na odcinku CD.

Zad.2

Maszyny	W1	W2	Limit czasu pracy
M1	10	10	8000
M2	10	30	18000
M3	20	10	14000

Trzy maszyny M₁, M₂, M₃ mogą pracować przez 8000, 18000 i 14000 godzin aż do kompletnego zużycia. Na maszynach produkowane są wyroby w₁ i w₂. Czas ich wykonania zebrano w tabeli

Zapewnić max wykorzystanie łącznego czasu pracy maszyny.

ODP.

- zmienne decyzyjne ( nie wiadome ) :

x ₁ - liczba szt. wyrobu W₁

x ₂ - liczba szt. wyrobu W₂

- konstrukcja modelu matematycznego :

FC : Z(x₁,x₂) = 40x₁ + 50x₂ → MAX

O : 10x₁ + 10x₂ = 8000

10x₁ + 30x₂ = 18000

20x₁ + 10x₂ = 14000

WB : x₁ , x₂ ≥ 0

10x₁ + 10x₂ = 8000 / :10 10x₁ + 30x₂ = 18000 / :10 20x₁ + 10x₂ = 14000 / :10

x₁ + x₂ = 800 x₁ + 3x₂ = 1800 2x₁ + x₂ = 1400

(0, 800) (0, 600) (0, 1400)

(800, 0) (1800, 0) (700, 0)

ZRD jest wielobokiem ABCDE. Rozwiązanie optymalne leży w którymś z wierzchołków danego wieloboku, ewentualnie wzdłuż krawędzi.

Dla FC musimy odczytać punkty:

A ( 0 , 0 ) Z(A) = 0

B ( 700 , 0 ) Z(B) = 700

C ( 600 , 200 ) Z(C) = 800

D ( 300 , 500 ) Z(D) = 800

E ( 0 , 600 ) Z(E) = 600

Max wykorzystanie łącznego czasu pracy maszyny uzyskamy produkując wyrób w₁ -600 godzin i w₂ - 200 godzin lub w₁ - 300 godzin i w₂ - 500 godzin.

Zbiór rozwiązań optymalnych jest na odcinku CD.

- 1 -

1

2

3

1

2

3

2

1

1

2

3

---