Politechnika Poznańska

Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska

Studia niestacjonarne I-stopnia

I Rok

Projekt I

ANALIZA KINEMATYCZNA

ORAZ

WYZNACZANIE SIŁ W WIĘZACH

PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

Tomasz Szustak

Z 1 / I

2007/2008

ANALIZA KINEMATYCZNA

Wykażmy geometryczną niezmienność powyższego układu. Zauważmy ze układ jest zbudowany z trzech prętów. Rysunek przedstawia schemat belki ciągłej zamieniony na układ trzech tarcz sztywnych. Więzy narzucone układowi w miejscach podparć (A, D i E) zastąpiono prętami podporowymi.

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma postać 3∙ t = w.

W powyższym przykładzie t = 3, a w = 9 (pięć prętów podporowych odbierających po jednym stopniu swobody i dwa przeguby [B i C] odbierające po dwa stopnie swobody).

Warunek dostateczny geometrycznej niezmienności

Dostrzegamy ze tarcza I przymocowana jest po podłoża trzema prętami (1, 2 i 3), które odbierają jej trzy stopnie swobody. Kierunki prętów podporowych 1, 2 i 3 nie przecinają się w jednym punkcie stąd tarcza I nie ma możliwości jakiegokolwiek przesuwu czy obrotu i jest geometrycznie nie zmienna. Stanowi ona tzw. Tarczę podporową dla pozostałego układu tarcz II i III.

Tarcze numer II i III tworzą układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi B i C oraz przegubem niewłaściwym F utworzonym z prętów podporowych numer 4 i 5. Wszystkie przeguby nie leżą na jednej prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tych tarcz sztywnych.

Wobec tego są one geometrycznie nie zmienne.

Jak więc widać wszystkie tarcze są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że belka złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

ANALIZA STATYCZNA

W celu wyznaczenia reakcji we wszystkich więzach rozpatrywanego płaskiego układu prętowego wykorzystujemy następujące równania równowagi:

∑ X = 0

∑Y = 0

∑ M = 0

Aby układ tarcz sztywnych był w stanie spoczynku pod działaniem obciążeń, siły nań działające oraz reakcje podporowe muszą być w stanie równowagi.

Z równania ∑ X = 0 dla całego układu dostaję, że : H_A = 0 [kN]

Wówczas składowe poziome sił w przegubach B i C wynoszą również zero: H_B = H_C = 0 [kN]

Z analizy tarczy II otrzymujemy:

∑X=0 H_B= Hc =0

∑M_B=0 -4Vc + 7,5∙1,5

-4Vc = -11,25 │ :(-4)

Vc = 2,81 [kN]

∑Mc=0 4V_B - 7,5∙ 2,5 =0

4V_B= 18,75 │:4

V_B= 4,69 [kN]

∑Y=0 V_B + Vc -2,5∙3=0

7,5 - 7,5 =0

0=0

Z analizy tarczy III otrzymujemy:

∑M_D=0 -2,81∙2 - 4V_E - 30 =0

- V_E = 35,62 │:(-4)

V_E = -8,9 [kN]

∑M_E = -2,81∙6 + 4V_D - 6 =0

4 V_D = 22,86 │:4

V_D = 5,71 [kN]

∑Y=0 -2,81 + 5,71 - 8,9 + 6 = 0

-11,71+11,71 = 0

0=0

Z analizy tarczy I otrzymujemy:

∑Y=0 V_B = V_A = 4,69 [kN]

∑M_A= M_A + 6 + 4,69 ∙ 3 = 0

M_A = - 20,1 [kNm]

Rysunek przedstawia schemat belki ciągłej, na którym wrysowano rzeczywiste zwroty reakcji podporowych z ich wartościami.

Sprawdzenie dla całości

∑Y=0 4,69 - 7,5 + 5,71 -8,9 + 6 = 0

16,4 -16,4

0 = 0

∑M_B = 4,7∙3 - 20,1 + 6 + 2,5∙3∙1,5 - 5,7∙6 + 8,9∙10 - 6 ∙11 =0

14,1 - 20,1 + 11,2 - 34,2 + 89 - 66 = 0

120,3 - 120,3 =0

0=0

ANALIZA KINEMATYCZNA

Wykażmy geometryczną niezmienność powyższego układu. Zauważmy ze układ jest zbudowany z dwóch prętów. Rysunek przedstawia schemat ramy zamieniony na układ dwóch tarcz sztywnych. Więzy narzucone układowi w miejscach podparć (A, i C) zastąpiono prętami podporowymi.

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma postać 3∙ t = w.

W powyższym przykładzie t = 2, a w = 6 (trzy pręty podporowe odbierające po jednym stopniu swobody i przegub [B] odbierający dwa stopnie swobody).

Warunek dostateczny geometrycznej niezmienności

Dostrzegamy ze tarcza II przymocowana jest po podłoża trzema prętami (2, 3 i 4), które odbierają jej trzy stopnie swobody. Kierunki prętów podporowych 2, 3 i 4 nie przecinają się w jednym punkcie stąd tarcza II nie ma możliwości jakiegokolwiek przesuwu czy obrotu i jest geometrycznie nie zmienna. Stanowi ona tzw. Tarczę podporową dla pozostałego układu tarczy I .

Jak więc widać wszystkie tarcze są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że rama jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

ANALIZA STATYCZNA

W celu wyznaczenia reakcji we wszystkich więzach rozpatrywanego układu prętowego wykorzystujemy następujące równania równowagi:

∑ X = 0

∑Y = 0

∑ M = 0

Z analizy tarczy I otrzymujemy:

∑ X = 0 H_B = 0

∑ M_B = 0 V_A∙ 4 + 8 = 0

V_A = -2 [kN]

∑ Y = 0 V_A =V_B = 2 [kN]

Z analizy tarczy II otrzymujemy:

∑ X = 0

-H_C + 7 = 0

H_C = 7 [kN]

∑ Y = 0

-2 ∙ 2 + V_C - 2 = 0

V_C = 6 [kN]

∑ M_B = 0

2 ∙ 2 ∙ 4 -7 ∙3 + 5 ∙ H_C - 3 V_C - M_C = 0

M_C = 16 - 21 +35 - 18

M_C = 12 [kNm]

Rysunek przedstawia schemat ramy, na którym wrysowano rzeczywiste zwroty reakcji podporowych z ich wartościami.

Sprawdzenie dla całości

∑ Y = 0

-2 - 4 + 6 = 0

0 = 0

∑ M_C = - 2 ∙ 7 + 4∙ 1 + 7 ∙2 - 12 + 8 = 0

- 14 + 4 + 14 - 12 + 8 = 0

- 26 + 26 = 0

0 = 0

---