AUTORSKI PROGRAM NAUCZANIA

O KSZTAŁCENIU MYŚLENIA LOGICZNEGO UCZNIÓW W PROCESIE ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ TEKSTOWYCH W KL. I-III

Opracowała:

mgr Bożena Wrotek

nauczycielka nauczania zintegrowanego

z ZS nr 3 w Nidzicy

Wstęp

CHARAKTERYSTYKA PROGRAMU

1. Cele kształcenia 4

2. Treści nauczania i uwagi o realizacji programu 5

3. Sposoby kształcenia myślenia logicznego uczniów w procesie

rozwiązywania zadań tekstowych - propozycje dydaktyczne 7

OPIS ZAŁOŻONYCH OSIĄGNIĘĆ UCZNIA

I PROPOZYCJE METOD ICH SPRAWDZANIA

1. Przewidywane osiągnięcia uczniów 15

2. Procedury osiągania celów 16

3. Propozycje metod kontrolowania i oceniania uczniów 16

Literatura pomocnicza

Środki dydaktyczne

WSTĘP

Rozwijanie zdolności dzieci klas I-III należy obecnie, w dobie rewolucji naukowo-technicznej do ważnych zadań szkoły. Ze społecznego punktu widzenia problem rozwijania zdolności logicznego myślenia już od klas młodszych jest bardzo ważny, gdyż daje gwarancję lepszych rezultatów
w przyszłości. To co zostało utrwalone w młodym wieku jest trwale. Zdolności uczniów powinny być rozwijane na drodze ich samodzielnych poszukiwań organizowanych przez nauczyciela i ukierunkowanych merytorycznie zgodnie
z programem nauczania.

W świetle współczesnej dydaktyki matematyki szczególnego znaczenia nabiera problem „ jak uczyć”, aby uprzystępnić uczniom znajdującym się na poziomie myślenia praktycznego i obrazowo-ruchowego poznawanie treści pojęć matematycznych z natury swej abstrakcyjnych. Rozwiązanie tego problemu jest możliwe przy zastosowaniu takich metod nauczania, które przyśpieszą u uczniów rozwój wyższych operacji myślowych - abstrahowania
i uogólniania - niezbędnych do opanowania ze zrozumieniem treści zawartych w programie nauczania.

Dzieci w wieku 7 - 9 lat znajdują się na tym etapie rozwoju, w którym działalność umysłowa jest wciąż jeszcze bardzo ściśle zintegrowana
z działalnością manualną, a rozumowanie nie poparte konkretami lub choćby tylko wyobrażonymi czynnościami sprawia ogromne trudności.

Biorąc ten aspekt pod uwagę nowoczesna dydaktyka matematyki kładzie duży nacisk na czynnościowe metody nauczania wśród nich na wykorzystywanie różnego rodzaju manipulacji przy rozwiązywaniu zadań lub problemów matematycznych. Zatem rola nauczyciela w obecnej szkole sprowadza się do pomocy uczniom w zdobywaniu wiedzy własną pracą myślową, a nie tylko do przekazywania im gotowych wiadomości.

Myślenie dzieci w wieku wczesnoszkolnym cechuje jedność opartego na operacjach z konkretnymi przedmiotami zmysłowo-obrazowego poznania
i logicznego poznawania rzeczywistości. Poznanie zaczyna się od spostrzeżenia i ujęcia całości. Jest to synteza pierwotna, poznanie przedanalityczne, sumaryczne, całościowe. Następny etap dokona się, gdy osoba myśląca dokona analizy, czyli rozczłonkuje w myśli przedmiot, zjawisko na części, z których się składa i ustali zachodzące między nimi stosunki i związki. Po dokonaniu analizy zaczyna się proces trzeci: scalanie wyodrębnionych elementów. Tworzenie
z nich nowej całości - synteza wtórna. Czyli po dokonaniu analizy nastąpiło zrozumienie.

W oparciu o konkretne czynności na przedmiotach uczniowie zdolni są do przeprowadzenia wielu operacji myślowych: szeregowania, konkretyzacji, klasyfikowania, porównywania, abstrahowania, uogólniania i systematyzacji. Różne procesy myślowe połączone z konkretnym działaniem tworzą u uczniów w młodszym wieku szkolnym złożone systemy powiązań, które stanowią konkretne, odwracalne operacje myślowe.

Proces odwracania operacji myślowych polega na tym, że rozbija się rzecz, zjawisko na części składowe, na prostsze elementy, porównuje je ze sobą, zestawia, nie zmieniając porównywanych elementów i wracając do punktu wyjścia, scala się je w takim układzie, w jakim żąda tego czy przewiduje dane zadanie. Odwracalność myślenia jest podstawową cechą struktur operacyjnych. Bez odwracalności nie ma myślenia logicznego.

Ważną właściwością myślenia jest krytycyzm, który polega na umiejętności sprawdzania i kontrolowania przebiegu myślenia, tolerancji do wydawania sądów i wypowiadania wniosków z należytą ostrożnością na podstawie dostatecznej liczby faktów i przesłanek.

W ścisłym związku z procesem myślenia występują inne procesy poznawcze: spostrzegania, uwagi, pamięci itp. W procesie poznania biorą udział wszystkie procesy poznawcze.

CHARAKTERYSTYKA PROGRAMU

1. CELE KSZTAŁCENIA

Głównym celem zintegrowanej edukacji wczesnoszkolnej jest przyczynienie się do wszechstronnego rozwoju osobowości uczniów, a przede wszystkim do rozwijania ich ogólnych zdolności poznawczych i samodzielnego logicznego myślenia oraz ukształtowanie rozumienia podstawowych pojęć matematycznych wraz z opanowaniem odpowiednich umiejętności. Nauczanie matematyki powinno także wdrażać uczniów do rzetelnej i sumiennej pracy własnej, współdziałania w zespole oraz przyczyniać się do wyrabiania pożądanych postaw i cech, takich jak umiejętność koncentracji, wytrwałość
w przezwyciężaniu trudności, krytyczny stosunek do wykonywanej pracy.

Edukacja matematyczna w klasach I-III ma na celu w szczególności:

• kształtowanie rozumienia pojęcia liczby naturalnej oraz rozumienie czterech działań arytmetycznych wraz z opanowaniem elementarnych podstaw techniki rachunkowej,

• rozwijanie umiejętności posługiwania się metodami matematycznymi
  w życiu, umiejętności schematyzacji, rozwijanie wyobraźni matematycznej, aktywności twórczej i matematycznych zainteresowań uczniów,

• kształcenie myślenia logicznego uczniów poprzez rozwiązywanie zadań tekstowych.

Przy opracowaniu niniejszego programu wykorzystano podstawy programowe kształcenia ogólnego.

Celem programu jest kształcenie myślenia logicznego uczniów klas I-III
w procesie rozwiązywania zadań tekstowych. Podstawowym środkiem rozwijającym logiczne myślenie uczniów są zadania tekstowe. Aby spełniły one swoją rolę należy rozwiązywać różne typy zadań i stosować odpowiednie metody, środki dydaktyczne co stanowi ważny element aktywnej, twórczej
i samodzielnej pracy uczniów oraz przyczynia się do pokonywania trudności
w rozwiązywaniu problemów matematycznych.

Realizacja programu ma również na celu:

• nauczenie dzieci metody dochodzenia do rozwiązania zadania,

• kierowanie procesem myślowym by był on twórczy dla dziecka,

• dostarczenie heurystycznych wskazówek by nie wyręczać dzieci
  w samodzielnym myśleniu,

• pobudzanie uczniów do aktywności poznawczej, do wysiłku myślowego,

• dawanie szansy przeżycia radości z rozwiązanego zadania,

• zapewnienie czasu na samodzielne borykanie się z problemem zawartym w zadaniu,

• wyrabianie w dzieciach matematycznej ciekawości,

• prowokowanie lub zachęcanie uczniów do stawiania pytań,

• skierowanie ich uwagi na coś, czego jeszcze sami na tym poziomie nie dostrzegają,

• przełożenie trudnego zadania „na język dziecka”,

• zachęcanie uczniów do dalszego badania i pracy twórczej przez inspirowanie do układania i rozwiązywania analogicznych i coraz to nowych zadań i stosowania twórczych metod ich rozwiązywania,

• rozwijanie zainteresowań matematycznych uczniów.

Program ma też spowodować by dzieci zdały sobie sprawę, że matematyka może być ciekawa, przyjemna i może sprzyjać rozwijaniu ich zainteresowań matematycznych.

2. TREŚCI NAUCZANIA I UWAGI O REALIZACJI PROGRAMU

W edukacji wczesnoszkolnej zadania tekstowe powinny być podstawowym środkiem rozwijającym logiczną myśl matematyczną dziecka. Należy je wykorzystywać w każdej chwili procesu poznawczego i to dla przyswojenia wiedzy matematycznej jak również w celu jej utrwalenia, a więc przy realizacji wszystkich tematów arytmetycznych.

Treści nauczania

Klasa I

• stopniowe zaznajamianie z budową zadania tekstowego,

• dostrzeganie w zadaniu co jest dane, co jest poszukiwane i jakie są zależności między tymi wielkościami,

• rozwiązywanie prostych zadań tekstowych różnymi metodami
  z wykorzystaniem graficznych schematów,

• układanie zadań do praktycznej sytuacji, do rysunku, do schematu, do pytania, do odpowiedzi oraz działania arytmetycznego,

• przekształcanie zadań tekstowych,

• rozwiązywanie prostych zadań z logiki i kombinatoryki.

Klasa II

• rozwiązywanie złożonych zadań wymagających użycia dwóch różnych działań,

• próby ujmowania zadania w jednym zapisie,

• rozbudowywanie zadań tekstowych,

• rozwiązywanie zadań na porównywanie różnicowe (o tyle więcej, o tyle mniej, o ile więcej, o ile mniej),

• rozwiązywanie prostych zadań niestandardowych,

• rozwiązywanie zadań za pomocą równań z zastosowaniem schematów Venna,

• rozwiązywanie zadań z logiki, kombinatoryki, geometrii.

Klasa III

• rozwiązywanie złożonych zadań tekstowych na porównywanie ilorazowe (tyle razy więcej, tyle razy mniej, ile razy więcej, ile razy mniej)
  i różnicowe,

• rozwiązywanie zadań złożonych niestandardowych i standardowych
  z użyciem kilku działań,

• ujmowanie rozwiązania w jednym zapisie jako krótkie podsumowanie sposobu postępowania,

• rozwiązywanie złożonych zadań z logiki, kombinatoryki i geometrii.

Założeniem programu jest by proces kształcenia logicznego w toku rozwiązywania zadań tekstowych był procesem ciągłym. Podstawowe treści nauczania mają strukturę systematyczno- spiralną. Znaczy to, że do tych samych pojęć można wracać wielokrotnie, ale na coraz to wyższym poziomie abstrakcji, z równoczesnym dołączeniem nowych elementów wiedzy. Podczas rozwiązywania zadań uczniowie powinni mieć wiele okazji do posługiwania się posiadaną wiedzą w coraz to innych nowych sytuacjach. W związku z czym powtarza się i utrwala materiał nauczania oraz kształcą się umiejętności logicznego myślenia jak również procesów analizy i syntezy. Efekty te uzależnione są od doboru treści zadań, metod ich rozwiązywania oraz od materiału dydaktycznego w postaci odpowiednio dobranych ćwiczeń
z zadaniem.

Istotną rolę w realizacji programu odgrywa nauczyciel, który powinien tak organizować proces dydaktyczny, aby przebiegał on od czynności konkretnych, poprzez czynności wyobrażone (wspomagane rysunkiem schematycznym) do abstrakcyjnych wyrażonych symbolami matematycznymi
i sprzyjał rozwijaniu u uczniów zdolności logicznego myślenia. Nauczyciel decyduje, które treści, w jakim zakresie i kolejności będzie realizował. Systematyczne rozwiązywanie zadań tekstowych ma wpływ na strukturyzację wiedzy matematycznej uczniów oraz na rozwój ich myślenia matematycznego. Tematy zadań należy czerpać z życia codziennego i najbliższego otoczenia uczniów. Przy doborze zadań tekstowych nauczyciel powinien kierować się zasadą: od znanych sytuacji - do nowych, od prostych do bardziej złożonych co zabezpieczy dzieciom możliwość samodzielnego parania się z trudnościami przy rozwiązywaniu zadań.

Przy właściwej realizacji programu wiedza matematyczna dziecka powinna stopniowo układać się w logicznie powiązany system, a zarazem powinna zmniejszać się rola myślenia konkretno - obrazowego na rzecz pojęciowego.

W programie wykorzystano treści kształcenia z zakresu arytmetyki, teorii zbiorów, geometrii, logiki i kombinatoryki.

Niniejszy program został napisany na cały okres kształcenia zintegrowanego
tj. na 3 lata i będzie realizowany na zajęciach koła matematycznego.

3. SPOSOBY KSZTAŁCENIA MYŚLENIA LOGICZNEGO UCZNIÓW W PROCESIE ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ TEKSTOWYCH -
- PROPOZYCJE DYDAKTYCZNE

Pojęcie struktury zadania tekstowego kształtuje się stopniowo w umysłach uczniów, na drodze ich własnego doświadczenia poznawczego pod kierunkiem nauczyciela. Zaznajomienie ze strukturą zadania dokonuje się w procesie czynności rozwiązywania zadań, prowadzi zatem do poznania mechanizmu rozwiązywania zadań tekstowych.

Nauczyciel chcąc przybliżyć dzieciom strukturę zadania tekstowego jak również rozwijać ich krytycyzm powinien wykorzystywać szereg ćwiczeń.

Przykłady:

1. Do zadania wypowiedzianego przez nauczyciela uczniowie dobierają odpowiedni obrazek spośród kilku zawieszonych na tablicy.

2. Do podanego obrazka nauczyciel podaje pytanie, a dzieci układają według treści obrazka zadanie.

3. Z kilku obrazków wyznaczeni uczniowie wybierają sobie po jednym i układają do niego zadanie. Po wysłuchaniu zadania pozostałe dzieci dobierają odpowiedni obrazek.

4. Nauczyciel podaje treść zadania , a dzieci uzupełniają brakujące pytanie.

5. Nauczyciel podaje zadanie, w którym brak jednej wielkości.

6. W zadaniu z nadmierną ilością danych uczniowie usuwają zbędną wielkość
   i wypowiadają przeredagowane zadanie.

7. Nauczyciel podaje zadanie ze sprzecznym układem danych.

8. Nauczyciel podaje zadanie niestandardowe.

9. Należy stosować również zadania osnute na treści bajek i inscenizacje zadań co wpływa na radosne ożywienie dzieci, ich aktywną postawę i zaciekawienie problemem.

Zasadnicze elementy w strukturze zadania to: treść, związki, zależności oraz pytanie. Szczególną uwagę należy zwrócić na treści życiowe w zadaniu, które powinny być bliskie uczniom i wiązać się ściśle z ich przeżyciami
i doświadczeniami w celu jednoznacznego zrozumienia struktury zadania. Spełnienie tego postulatu warunkuje łatwe wykrycie związków i zależności pokazanych na tle tematyki, czyli rozwiązanie problemu. Zasadniczym zatem zadaniem jakie staje przed uczniem przy rozwiązywaniu zadania, jest ustalenie zależności między danymi w zadaniu wielkościami zgodnie z warunkiem zawartym w głównym pytaniu. Wykrywanie tych zależności jest łatwe
w zadaniach prostych, jednodziałaniowych, gdyż sprowadza się do zastosowania znanego działania między dwiema danymi w zadaniu liczbami.

Przykład:

Tomek kupił książkę za 30 zł i klaser za 15 zł.

Rozwiązanie:

1. Jeśli chcemy dowiedzieć się ile zapłacił za książkę i klaser zastosujemy dodawanie 30 + 15 = 45.

2. O ile książka jest droższa od klasera zastosujemy odejmowanie 30 ¬15 = 15.

3. Ile razy książka jest droższa od klasera wykonamy dzielenie 30 : 15 = 2.

Punktem wyjścia przy rozwiązywaniu prostych zadań muszą być efektywne manipulacje na konkretach. Od rozwiązywania zadań za pomocą czynności na konkretach należy przechodzić do ich rozwiązywania za pomocą działań arytmetycznych (w oparciu o sytuacje przedstawione słownie).

Nauczyciel wymienia w treści zadania dane, a dzieci układają przed sobą odpowiednią ilość liczmanów. W oparciu o konkrety powtarzają zadanie i w ten sposób uczą się dostrzegać warunki matematyczne w zadaniu, skupiają uwagę na tym co istotne, co dane, czego brak, wyznaczają działanie odpowiednio do warunków zadania i tą drogą kształcą umiejętność samodzielnego układania zadań. Takie postępowanie umożliwia dzieciom szybkie i gruntowne zrozumienie wszystkich warunków zadania i jednocześnie ułatwia samodzielnie znalezienie sposobu rozwiązania.

Proste zadania tekstowe służą jako materiał pomocniczy w kształtowaniu pojęć porównywania różnicowego i ilorazowego. Im lepiej uczniowie zrozumieją i przyswoją sobie wymienione pojęcia w procesie rozwiązywania prostych zadań tekstowych tym większą samodzielność wykażą
w rozwiązywaniu złożonych zadań tekstowych, w których te pojęcia nie występują.

W zadaniach złożonych z kilku działań wytyczenie drogi prowadzącej do wyniku wymaga ustalenia łańcucha zależności, które nie wynikają bezpośrednio z głównego pytania i nie są tak łatwo uchwytne, jak w zadaniach prostych. Dziecko musi tutaj ogarnąć myślą większą ilość danych i ustalić między nimi zależności. Uczeń szukając sposobu rozwiązania zadania musi wziąć pod uwagę nie tylko wielkości wymienione w zadaniu, lecz i ukryte wyrażone za pomocą działań zachodzących między tymi liczbami.

Przykład:

Mama miała 100 zł. Kupiła 2 koszule po 30 zł i 3 szaliki po 10 zł. Ile reszty otrzymała?

Rozwiązanie:

Rozwiązanie zadania można zapisać w postaci formuły matematycznej 100 ¬ (2 ·30 + 3 · 10)

• ustalenie zależności 2 · 30 prowadzi do wydobycia nowej wielkości określającej koszt koszul,

• w działaniu 3 · 10 kryje się koszt szalików,

• powiązanie tych wielkości znakiem + , 2 · 30 + 3 · 10 oznacza należność jaką zapłacono w sklepie odzieżowym,

• wyznaczenie stosunku między ostatnią znalezioną wielkością pozwoli wyodrębnić nową wielkość oznaczającą resztę pieniędzy.

W ten sposób wykrywanie danych potrzebnych do rozwiązania zadania przyczynia się do powstawania łańcucha zależności zbliżającego ucznia do rozwiązania zadania. Zadaniem nauczyciela jest stosowanie odpowiednich ćwiczeń, dzięki którym dzieci nauczą się dostrzegania ukrytych w zadaniu wielkości i brania ich pod uwagę tak, jak gotowe dane liczbowe. Cały ten proces wymaga dokonywania podstawowych operacji myślowych (analizy, porównywania, syntezy, uogólniania). W tym celu nauczyciel powinien zaznajamiać uczniów z różnymi metodami rozwiązywania zadań tekstowych
i schematami graficznymi, aby mogli je ocenić i opowiedzieć się za najbardziej odpowiednią.

Powszechnie znanymi metodami rozwiązywania zadań tekstowych są: syntetyczna, analityczna, analityczno - syntetyczna i symulacji na konkretach. Każdej z wymienionych metod odpowiada określony sposób podejścia przy analizie logicznie zadania.

Metoda syntetyczna charakteryzuje się wydzieleniem zadań prostych przez kolejne wybieranie danych i wyznaczanie niewiadomych, aż do uzyskania ostatecznego rozwiązania całego zadania tekstowego, co często utrudnia znalezienie zależności między danymi i szukanymi. Przebieg rozumowania zadania metodą syntetyczną zawiera załącznik nr 1.

Drugą metodą ocenianą jako bardziej wartościową jest metoda analityczna. Polega ona na wyjściu od końcowego pytania, czyli na nastawienie ucznia na problem tkwiący w zadaniu. Metoda ta w większym stopniu skupia uwagę ucznia na głównym pytaniu postawionym w zadaniu, które ze względu na to, że zawiera istotę zadania, pobudza myślenie uczniów, szczególnie logiczne i nadaje mu główny kierunek. Sam proces, chociaż oparty wyłącznie na analizie odznacza się spoistością i posiada znacznie większą wartość niż poprzedni oparty na syntezie. Przebieg rozumowania metodą analityczną zawiera załącznik nr 2.

Za najlepszy sposób rozwiązania zadania uznaje się metodę analityczno - syntetyczną. Postępowanie według tej metody rozpoczynamy od wyróżnienia przez uczniów problemu matematycznego, co wiąże się z uświadomieniem wielkości podanych w zadaniu i wielkości poszukiwanej (głównego pytania). Dokładne uświadomienie przez uczniów problemu jest istotne z uwagi na to,
że ukierunkowuje to dalsze rozumowanie podczas ustalania łańcucha związków i zależności między danymi i przy wyznaczeniu kolejnych działań w poszukiwaniu odpowiedzi na główne pytanie. Uczeń chcąc odpowiedzieć na problem szuka koniecznych danych w treści zadania, dobiera tylko te związki między danymi, które prowadzą do jego rozwiązania, a inne odrzuca. Świadomość problemu, pozwala uczniom kontrolować swoje rozumowanie, wysuwać hipotezy i sprawdzać je samodzielnie opierając się na praktycznym
i teoretycznym działaniu. Szukając sposobów rozwiązania zadania uczeń ujmuje swój sposób rozumowania w postaci określonych formuł, czyli wzorów, kontroluje i weryfikuje ich poprawność następnie oblicza i daje odpowiedź na pytanie główne. A zatem przy rozwiązywaniu zadania metodą analityczno -
- syntetyczną wyznaczanie kolejnych działań (w formule) jest kolejnym ogniwem w łańcuchu czynności, a zapis formuły ułatwia uczniowi sprawdzenie, czy związki między danymi są prawidłowe. Ze względu na kształcącą wartość tej metody postuluje się, aby do umiejętności posługiwania się nią wdrażać uczniów już od najmłodszych lat. Przebieg rozumowania metodą analityczno -
- syntetyczną zawiera załącznik nr 3.

W tym toku rozumowania wszystkie ogniwa procesu myślenia zostały odzwierciedlone przez dzieci w postaci prostych symboli: kółek, kwadratów, strzałek, znaków zapytania i liczb. Jest to upoglądowienie procesów myślowych, ich „zmaterializowanie” i tym samym utrwalenie. Po uświadomieniu sobie końcowego pytania: Ile Ania zapłaciła za zakupy? Uczniowie szukają tych zależności i stosunków, które warunkują odpowiedź. Następnie w pamięci, czy poprzez bezpośrednie spostrzeganie szukają tych danych, które są potrzebne do udzielenia odpowiedzi. Jeżeli brakuje którejś z danych przed uczniami staje nowe pytanie na które trzeba znaleźć odpowiedź w sposób analogiczny. W taki sposób uczniowie posuwają się naprzód w swoim rozumowaniu, aż znajdą wszystkie dane niezbędne do rozwiązania głównego problemu. Proces rozumowania jest tu wyraźnie ukierunkowany. Mamy doczynienia ze stałym zawężaniem problemu, ogniskowaniem się myślenia na problemach podrzędnych. Wynik myślenia został utrwalony w sposób graficzny. Ilustracja graficzna daje nauczycielowi możliwość śledzenia przebiegu myślenia uczniów. W tej sytuacji nauczyciel łatwo dostrzega, które ogniwo zawodzi i kiedy przyjść z pomocą. Również uczeń zdobywa możliwość kontrolowania własnej działalności myślowej. Dopiero po dokonaniu takiej pracy myślowej można przystąpić do rozwiązania zadania pod względem arytmetycznym. Rozwiązywanie zadań tą metodą jest dość trudne dla dzieci. Istota trudności tkwi, w tym, że występuje tu pełny akt myślowy, na który składają się różnego rodzaju operacje myślowe, które wdrażają ucznia do rozwiązywania problemów, gdyż każde zadanie rozwiązane w ten sposób staje się dla ucznia problemem. Mimo tych trudności tego rodzaju praca posiada wielką wartość kształcącą zarówno dla ucznia jaki i nauczyciela. Taki sposób postępowania z zadaniem jest najwłaściwszy dla kształcenia myślenia logicznego, wyrabiania odpowiedniej postawy intelektualnej i usamodzielniania uczniów.

Inną metodą rozwiązywania zadań tekstowych jest metoda symulacji na konkretach. Symulacja na konkretach ułatwia dziecku abstrahowanie pojęć, gdyż uczeń musi wytłumaczyć treść zadania na język modelu, a następnie interpretować otrzymane wyniki ponownie w kontekście zadania. Wykorzystując tę metodę używamy różnego rodzaju dostępnych dzieciom konkretów: patyczki, liczydła, kasztany, żetony lub ilustrujemy treść za pomocą grafów, które ułatwiają dziecku wyrażanie własnych myśli matematycznych. Dziecko konstruując np. „drzewo” rozumie ściśle logicznie, konkretyzując kolejne ogniwa rozumowania w rysunku i „mówiąc” za pomocą tego „drzewa”. Symulację całkowitą stosujemy na liczbach mniejszych. Jest ona niezbędna przy rozwiązywaniu zadań z teorii zbiorów. (załącznik nr 4 )

Do rozwiązywania trudnych zadań stosujemy metodę symulacji częściowej na dużych liczbach. Rozwiązując zadanie uczeń manipuluje na konkretach lub ilustruje rysunkiem nie wykonując czynności do końca, lecz wyobraża sobie dalszy ciąg czynności i przechodzi do obliczania na liczbach. Przebieg rozumowania metodą symulacji na konkretach zawiera załącznik nr 4.

Ważną rolę w rozwijaniu myślenia dzieci spełniają zadania na porównywanie różnicowe i ilorazowe, które powiązane są logicznie
z dodawaniem i odejmowaniem; mnożeniem i dzieleniem choć wyrażone są
w zadaniu w sposób abstrakcyjny. Nauczyciel powinien tak dobierać treść zadań by była bliska dzieciom i by rozwiązania były związane z konkretnymi czynnościami uczniów. W klasie I uczniowie powinni porównywać dwa zbiory przez tworzenie par po jednym elemencie z każdego zbioru. W dalszym postępowaniu nauczania porównywanie dwóch zbiorów powinno odbywać się za pomocą liczenia. W klasie II i III nawiązując do znanych uczniom pojęć uczymy ich nie tylko wskazywania, który z dwóch zbiorów jest większy, lecz również określać ich różnice oraz rozróżniać pojęcia „o tyle więcej”, „ile razy więcej” i przeciwstawiać je. Aby ten cel osiągnąć należy wychodzić z dziećmi od sytuacji przedstawionych na konkretach, rysunkach i przechodzić powoli
i stopniowo do sytuacji przedstawionych za pomocą słów.

Przykład:

1. Rozwiązanie konkretne

Nauczyciel prosi dwoje dzieci i poleca wybranemu uczniowi, aby dał jednej osobie trzy kredki, a drugiej o dwie kredki więcej. Potem poleca innemu uczniowi aby dał jednemu dziecku osiem kasztanów a drugiemu dwa razy mniej.

2. Rozwiązania rysunkowe

Uczeń rysuje na tablicy sześć jabłek, a drugi otrzymuje polecenie narysować poniżej w szeregu o dwa jabłka więcej lub dwa razy więcej.

Sprzyjając rozwojowi logicznego myślenia uczniów nauczyciel powinien stosować również takie zadania, które sugerują rozwiązanie za pomocą odejmowania, a w istocie wymagają dodawania lub odwrotnie.

Przykład:

Tomek kupił znaczki pocztowe. Nie włożył ich od razu do klasera i 4 znaczki zgubił. Ma teraz tylko 15 znaczków. Ile znaczków kupił Tomek?

Zadania tego typu są tak sformułowane, że trudno jest dzieciom ustalić właściwe związki między danymi, a głównym pytaniem. Skoro Tomek zgubił 4 znaczki to już ich nie ma. Stąd uczniowie często nie mogą znaleźć związku 15 +4 niezbędnego do odpowiedzi na główne pytanie. Takie zadania należy rozwiązywać z uczniami na konkretach. Przedstawienie danych na liczmanach pozwoli dzieciom uprzytomnić sobie, że przy rozwiązywaniu zadania trzeba wziąć pod uwagę sytuację pierwotną: przed zgubieniem 4 znaczków.

Zajęcia matematyczne należy urozmaicać też ćwiczeniami
w przekształcaniu treści zadań, a to ze względu na ich rolę w kształtowaniu
u dzieci pojęcia struktury zadania tekstowego.

Przykład 1

Nauczyciel podaje formułę 12 + 8, a dzieci układają do niej zadanie. Następnie nauczyciel pisze formułę odejmowania 20 ¬ 8 i podaje polecenie, aby dzieci zmieniły to zadanie, tak żeby trzeba było rozwiązać je za pomocą odejmowania. Dzieci zmieniają warunki zadania pozostawiając tę samą fabułę.

Tego rodzaju ćwiczenia uprzytamniają dzieciom, że przy rozwiązywaniu zadania należy brać pod uwagę nie sytuację życiową, lecz warunki matematyczne. Ukazują również współzależność struktury zadania i formułę. Tego typu ćwiczenia można stosować również przy rozwiązywaniu zadań na mnożenie i dzielenie.

Przykład 2

Nauczyciel podaje zadanie a dzieci dopisują brakujące pytania i działania.

• Za 9 biletów do teatru zapłacono 72 zł.

Ile.........................................................?

• Za kilka biletów do teatru zapłacono 72 zł. Cena 1 biletu wynosi 8 zł.

Ile.........................................................?

• Kupiono 9 biletów do teatru w cenie po 8 zł każdy.

Ile..........................................................?

Przykład 3

Nauczyciel podaje przekształcone zadania, a uczniowie układają formułę.

• W bibliotece jest dwutomowy „Atlas zwierząt”. Tom I ma 260 stron, a tom II 340 stron. Ile stron mają dwa tomy „Atlasu zwierząt”?

• 
  
  
  Dwa tomy „Atlasu zwierząt” mają 600 stron. Tom I ma 260 stron. Ile stron ma tom II?

• Dwa tomy „Atlasu zwierząt” mają 600 stron. Tom II ma 340 stron. Ile stron ma tom I?

• 
  
  Tom I „Atlasu zwierząt” ma 260 stron. Tom II ma o 80 stron więcej. Ile stron ma tom II?

• 
  Tom II „Atlasu zwierząt” ma 340 stron. Tom I ma o 80 stron mniej. Ile stron ma tom I?

Kształcącą, a zarazem ciekawą formą ćwiczeń jest rozbudowa zadania, czyli tworzenie z zadania prostego, jednodziałaniowego zadania złożonego
z kilku działań. Jest to proces, który należy rozpocząć już w klasie I, ale jego rozwój przypada na klasę II i III. Wartość kształcąca tych ćwiczeń polega na tym, że każdy uczeń powinien mieć w tym względzie swobodę i powinien rozbudowywać zadanie na swój sposób, a jednocześnie myśleć i tworzyć sytuacje dostosowane do zadania wyjściowego.

Przykład

• Monika i Kasia robiły zabawki na choinkę. Monika zrobiła 9 zabawek, a Kasia 2 razy więcej. Ile zabawek zrobiła Kasia?

9 · 2 = 18

• Monika i Kasia robiły zabawki na choinkę. Monika zrobiła 9 zabawek, a Kasia 2 razy więcej. Ile zabawek zrobiły dziewczynki?

9 + (9 · 2) = 9 + 18 = 27

• Monika i Kasia robiły zabawki na choinkę. Monika zrobiła 9 zabawek, a Kasia 2 razy więcej. Z wszystkich zabawek wybrały 6 najładniejszych i zaniosły chorej koleżance. Ile zabawek zostawiły sobie?

9 + (9 · 2) - 6 = 9 + 18 - 6 = 27 - 6 = 21

Rozbudowywanie zadań przyczynia się do lepszego zrozumienia przez dzieci rozwiązywania zadań w jednym zapisie, utrwalenia pojęcia formuły matematycznej.

Proces rozwiązywania zadań tekstowych należy też wzbogacać układaniem zadań przez uczniów do danej formuły, do sytuacji przedstawionej graficznie lub do danego równania.

W celu aktywizowania wszystkich uczniów do uczestnictwa w zajęciach matematycznych nauczyciel powinien stosować gry i zabawy matematyczne, które są środkiem wzbogacania aktywności matematycznej dziecka przy rozwiązywaniu różnych problemów oraz przyczyniają się do ich wszechstronnego rozwoju. Działanie bowiem rozwija myślenie i jest podstawą kształtowania czynności umysłowych.

Przykład

• Robimy zakupy

Jest to zabawa tematyczna polegająca na projektowaniu zakupów na określoną kwotę pieniędzy. Uczniowie tworzą grupy. Każda grupa otrzymuje do dyspozycji określoną sumę pieniędzy, na którą ma dokonać zakupów według wywieszonego cennika. Uczniowie zgłaszają swoje propozycje zakupów i zapisują odpowiednie działania. Mówią o artykułach tańszych i droższych w porównaniu z innymi. Obliczają różnice w podanych cenach. Wygrywa grupa, której uczniowie najlepiej rozdysponują swoją kwotę pieniędzy.

• Jak liczy ta maszyna?

Nauczyciel rozdaje uczniom schematy rysunkowe.

5 3 4

23 10

Uczniowie mają za zadanie wykryć zasadę według której maszyna pracuje. Odpowiedź powinna stanowić odpowiednie równanie i zadanie tekstowe. Wygrywa grupa, która pierwsza wykona zadanie jakie stawia jej zabawa. Zabawę tę nauczyciel powinien stosować w celu sprowokowania uczniów do poszukiwania reguł i związków funkcyjnych między liczbami, do układania zadań tekstowych i równań typu:

5+x=23; 23-x=5; x+5=23; (3+4)+x=10; x+(3+4)=10

• Ustal liczbę sadzonek (gra planszowa - załącznik nr 5)

Uczniowie dobierają się parami. Każda para uczniów otrzymuje planszę z warunkami zadania oraz karty liczbowe (od 1 do 20). Uczniowie tasują karty i rozdają je sobie po równo. Każdy czyta kolejno warunki umieszczone na planszy i sprawdza swoje karty. Jeżeli karta spełnia warunek, to kładzie się ją na planszy, jeżeli nie spełnia - odkłada się na bok. Wygrywa ten, kto ma kartę spełniającą wszystkie warunki podane na planszy.

W celu pobudzenia rozwoju logicznego myślenia u uczniów nauczyciel powinien stosować również zadania rozmaite rozwijające twórcze myślenie
z logiki, geometrii i kombinatoryki (załącznik nr 6).

OPIS ZAŁOŻONYCH OSIĄGNIĘĆ UCZNIA

I PROPOZYCJE METOD ICH SPRAWDZANIA

1. PRZEWIDYWANE OSIĄGNIĘCIA UCZNIÓW

Po zrealizowaniu zajęć nad kształceniem myślenia logicznego uczniów
w procesie rozwiązywania zadań tekstowych należy oczekiwać, że uczniowie:

• poznają i zrozumieją strukturę zadania tekstowego,

• nauczą się analizować i dostrzegać zależności między danymi
  a szukanymi w zadaniu,

• poznają różne typy zadań i metody ich rozwiązywania,

• nauczą się dobierać odpowiednią metodę i środki dydaktyczne do danego typu zadania,

• będą potrafili rozwiązywać proste i złożone zadania tekstowe,

• będą ujmować rozwiązanie zadania w jednym zapisie jako podsumowanie sposobu postępowania,

• nauczą się przekształcać zadania tekstowe,

• będą potrafili rozbudowywać zadania proste w złożone,

• poprawnie ułożą zadanie do każdej przedstawionej sytuacji,

• ocenią różne sposoby, formy pracy i stopień w jakim zajęcia zainteresowały dzieci,

• określą jak zajęcia wpłynęły na rozwój ich samodzielnego myślenia,

• przekonają się, że matematyka jest ciekawa, interesująca i ma wpływ na rozwój zainteresowań matematycznych.

2. PROCEDURY OSIĄGANIA CELÓW

• nauczyciel organizuje proces poznawczy, by był on twórczy i stanowił doskonałą gimnastykę umysłu,

• pomysłowo projektuje sytuacje dydaktyczne - wie co już dzieci umieją, zna ich możliwości poznawcze i jakie przejawiają zainteresowania,

• stwarza dzieciom możliwość zaspakajania matematycznej ciekawości,

• dostarcza dzieciom okazji do zdziwienia, którego konsekwencją jest pytanie, uruchamiające proces myślenia,

• zapewnia dzieciom poczucie bezpieczeństwa i aprobaty dla indywidualności każdego dziecka,

3. PROPOZYCJE METOD KONTROLOWANIA I OCENIANIA UCZNIÓW

Kontrola i ocena uczniów będzie dotyczyć:

• aktywnego uczestnictwa w zajęciach,

• stopnia zaangażowania i włożonego wysiłku,

• prowadzenia kart pracy i obserwacji działań uczniów,

• udziału w konkursie matematycznym.

ZAŁĄCZNIK Nr 1

Przebieg rozumowania zadania metodą syntetyczną

(od wielkości danych do wielkości szukanej)

Zadanie

Mama kupiła za 18 zł orzeszków w cenie po 6 zł za kg i za 10 zł mandarynek w cenie po 5 zł za kg. Zakupione owoce przyniosła do domu w skórzanej torbie, która ważyła 1 kg. Jaki ciężar dźwigała mama?

wielkości dane - О

wielkości pośrednie - □

wielkość szukana - ∆

Ile kg orzeszków kupiła mama?

О : Ο = □

Ile kg mandarynek kupiła mama?

Ο : Ο = □

Ile kg owoców kupiła mama?

□ + □ = □

Ile kg waży torba z owocami?

□ + □ = ∆

Ο Ο Ο Ο Ο

: :

□ ciężar orzeszków □ ciężar

mandarynek

+

□ ciężar owoców

+

∆ ciężar torby z owocami

ZAŁĄCZNIK Nr 2

Przebieg rozumowania zadania metodą analityczną

(od wielkości szukanej do wielkości danych)

Zadanie

Zuzia kupiła farby i 2 pudełka kredek. Za wszystko zapłaciła 53 zł. Farby kosztowały 35 zł. Ile kosztowało 1 pudełko kredek?

wielkości dane - Ο

wielkości pośrednie - □

wielkość szukana - ∆

∆ koszt 1 pudełka kredek

:

□ koszt 2 pudełek

-- kredek

O O O

Rozwiązanie arytmetyczne

a/ 53 - 35 = 18

18 : 2 = 9

b/ ujęcie rozwiązania zadania w jednym zapisie

(53 - 35) : 2 = 18 : 2 = 9

Rozwiązanie algebraiczne

Dane: Szukane:

35 zł - cena farb x - koszt 1 pudełka kredek

2 pudełka kredek 2 · x - koszt 2 pudełek kredek

53 zł - wartość zakupów

Rozumowanie uczniów może przebiegać np. tak.

Do kosztu kredek 2 · x dodaję cenę farb 35 zł i otrzymuję koszt zakupów 53 zł.

Uczniowie układają równanie i ilustrują za pomocą „grafu strzałkowego”.

2 · x + 35 = 53

x · 2 + 35 = 53

· 2 + 35

: 2 - 35

Śledząc strzałki i zapisy u dołu grafu uczeń rozwiązuje równanie:

X = ( 53 - 35) : 2

X = 18 : 2

X = 9 Sprawdzenie: 2 · 9 + 35 = 53

Rozwiązanie za pomocą konkretów

Uczniowie zamiast zł biorą do ręki 53 patyczki. Następnie odliczają 35 patyczków - koszt farb i dochodzą do wniosku, że reszta patyczków to koszt kredek. Uczniowie dzielą koszt kredek na tyle równych części, ile jest pudełek kredek. Z odtworzonej sytuacji odczytują odpowiedź.

ZAŁĄCZNIK Nr 3

Przebieg rozumowania zadania sposobem analityczno - syntetycznym

(od wielkości szukanej do wielkości danych)

Zadanie

Robert zapłacił 36 zł za 6 jednakowych długopisów. Ania kupiła 4 takie długopisy i 2 albumy po 15 zł każdy. Ile Ania zapłaciła za zakupy?

wielkości dane - O

wielkości pośrednie - □

wielkość szukana - ∆

∆ koszt zakupów Ani

+

□ koszt albumów □ koszt 4 długopisów

· ·

O O O □ koszt 1 długopisu

O : O

ZAŁĄCZNIK Nr 4

Przebieg rozumowania zadania metodą symulacji całkowitej i częściowej

Zadanie

Ola ma 6 piłek. 3 duże i 4 czerwone. Ile jest piłek dużych i czerwonych?

D - zbiór piłek dużych

C - zbiór piłek czerwonych

Uczniowie układają na klockach

D C

Przebieg rozumowania zadania metodą symulacji częściowej

Zadanie

W sklepie sportowym stały 52 pudełka wypełnione piłkami. W dużych pudełkach było po 5 piłek, a w małych po 3. Ile było dużych pudełek, a ile małych, jeżeli wszystkich piłek było 200?

Proponujemy dzieciom ilustrowanie najpierw małych pudełek. Układają one wtedy po 3 patyczki i dochodzą do wniosku, że mogą tak układać aż 52 razy.

52 · 3 = 156

Pozostałe piłki mieszczą się w dużych pudełkach. Możemy więc obliczyć ile piłek należy dołożyć do dużych pudełek?

200 - 156 = 44

wiadomo już, że do dużych pudełek włożyliśmy już po 3 piłki, a mieści ich się 5, więc, żeby zapełnić duże pudełka należy dołożyć po 2 piłki do każdego z nich.

Powstaje problem: Do ilu pudełek można dołożyć 44 piłki?

44 : 2 = 22

Stąd wniosek, że dużych pudełek jest 22, wobec tego małych pudełek jest:

52 - 22 = 30

ZAŁĄCZNIK Nr 5

GRA PLANSZOWA Z UŻYCIEM KART LICZBOWYCH DLA KLASY III

„Ustal liczbę sadzonek”

Karolina ma sadzonki tulipanów. Planuje, jak je posadzić na grządce, aby było ładnie i aby nie zmarnowała się żadna sadzonka. Posłuchaj jej rozumowania i powiedz, ile miała sadzonek?

1. Mam sadzonek więcej niż 7, ale mniej niż 17.

2. Jeżeli je posadzę w 2 równych rzędach, to nie zostanie ani jedna sadzonka.

3. Mogę je posadzić w 3 równych rzędach, ale wówczas zostanie mi 1 sadzonka.

4. Najlepiej posadzę je w 4 równych rzędach, wówczas będzie i ładnie, i nie pozostanie mi ani jedna sadzonka.

5. A może posadzić w 5 równych rzędach? Nie, bo wtedy pozostałaby w skrzynce 1 sadzonka.

Ile sadzonek miała Karolina ?

X: 5 =

r 1

X : 4 =

r. 0

X : 3 =

r 1

X : 2 =

r 0

7 < X < 17

ZAŁĄCZNIK Nr 6

Przykłady zadań z logiki

Klasa I

Cel:

• rozwijanie logicznego rozumowania i ścisłego precyzowania informacji,

• rozumienie relacji siostra - brat

Warzyła sroczka

kaszkę jaglaną

zaraz sroczęta

obiad dostaną

Sroczka miała 3 synków i każdy miał 2 siostry. Oblicz ile dzieci miała sroczka.

Uczniowie mają dwa kolory guzików. Niebieskie - to synkowie, białe to ich siostry. Układają tyle guzików niebieskich, ilu było synków i tyle guzików białych - ile mieli sióstr.

Po ułożeniu dochodzą do

wniosku, że sroczka miała 5 dzieci - 3 synów i 2 córki

O O

Klasa II

Cel:

• ćwiczenie uczniów w logicznym myśleniu,

• uczenie metody rozwiązania (drogą rozumowania bez zapisywania działań matematycznych),

• zachęcanie do rozbudowy zadania, pokazywanie konsekwencji wynikających
  z wprowadzenia nowej danej.

„Podaj liczbę książek”

Radek ma 13 książek. Tomek ma 10 książek. Każda z 2 dziewczynek: Ola i Magda ma więcej książek niż jeden chłopiec, ale mniej niż drugi. Ola ma więcej książek od Magdy. Po ile książek ma każda dziewczynka?

Uczniowie układają treść zadania w postaci ilustracji z wykorzystaniem sylwetek dzieci
i zapisanych na kartonikach liczb i znaków.

13

>

12, 11

>

10

R T

O M

12

>

11

Klasa III

Cel:

• rozwijanie logicznego rozumowania,

• uczenie graficznej metody rozwiązywania zadań,

• dostrzegania w zadaniu informacji nie podanej wprost.

„Ustal numer kolarzy”

Anna, Jola, Mateusz i Kamil biorą udział w wyścigach rowerowych. Mają numery: 5, 7, 9, 11. Jaki numer ma każdy z nich jeżeli:

• jeden z chłopców ma numer najmniejszy z podanych,

• Anna ma numer mniejszy niż numer Mateusza,

• suma numerów dziewczynek dzieli się przez 3.

Uczniowie układają kartoniki z imionami dzieci pod rysunkami kolarzy. Czytają warunki
i ustalają wniosek:

I - najmniejszy numer, czyli 5 ma Mateusz lub Kamil,

II - Mateusz nie może mieć numeru 5, bo Anna ma numer mniejszy niż Mateusz,
a więc Kamil ma numer 5.

Ustalają, że Mateusz może mieć numer 7, 9, 11 i szukają w zadaniu dalszych informacji. Z warunku

3. wynika, że dziewczynki mają numery 7, 11 a więc Mateusz ma numer 9, Anna 7, Jola 11.

7 11 9 5

A

J

M

K

Przykłady zadań z kombinatoryki

Klasa II

Cel:

• utrwalenie pojęcia figury geometrycznej,

• dostrzeganie jednych figur w drugich,

• rozwijanie wyobraźni przestrzennej uczniów.

Zbuduj z patyczków figurę złożoną z 8 jednakowych kwadratów.

Uczniowie kolejno odkładają po jednym patyczku i układają figury zgodnie z poleceniem nauczyciela np.

zabierz 4 patyczki tak, by pozostała figura była złożona z 5 jednakowych kwadratów.

Klasa III

Cel:

• rozwijanie wyobraźni przestrzennej dziecka,

• utrwalenie pojęcia figury geometrycznej,

• precyzowanie i wyrażanie poczynionych spostrzeżeń.

Rozłóż 12 guzików w 4 rzędach tak, by w każdym było po 4 guziki.

LITERATURA POMOCNICZA

Do realizacji programu konieczne są następujące materiały edukacyjne:

J. Hanisz - Program wczesnoszkolnej zintegrowanej edukacji XXI-w klasy 1-3.

A. Szemińska - Stadia rozwoju psychicznego.

Z. Putkiewicz - Pomagajmy uczniom myśleć.

W. Szewczuk - Trudności myślenia i rozwijanie zdolności uczniów.

W. Dobrołowicz - Kierowanie myśleniem przy rozwiązywaniu zadań

tekstowych.

M. Cackowska - Rozwijanie myślenia uczniów przy rozwiązywaniu zadań.

M. Potemkowska - Rola zadań tekstowych typu problemowego w edukacji

wczesnoszkolnej.

J. Hawlicki - Sposoby rozwiązywania zadań tekstowych.

E. Puchalska, Z. Semadeni - Rozwiązywanie zadań tekstowych metodą

symulacji na konkretach.

Z. Kałużny - Rozwiązywanie zadań tekstowych metodą analityczno -

syntetyczną z zastosowaniem rysunku i wykresu.

T. Kołodziej - Rola zadań tekstowych w rozwijaniu myślenia dzieci.

Z. Krygowska - Czy to zabawa, czy uczenie matematyki?

S. Lipina - Praca nad rozwijaniem myślenia dzieci w pierwszych latach

nauczania.

J. Hanisz - Zadania na szóstkę kl. I ,II ,III

ŚRODKI DYDAKTYCZNE

Zbiory zadań, liczmany, indywidualne karty pracy, schematy rysunkowe - grafy, drzewa, tabele funkcyjne, ilustracje, gry planszowe, przyrządy, liczydła ,

zabawy matematyczne

53

18

X

20

10

4

1

11

12

13

14

15

16

17

18

19

9

8

7

6

5

3

2

---