UNIWERSYTET KAZIMIERZA WIELKIEGO

Instytut Mechaniki Środowiska

i Informatyki Stosowanej

PRACOWNIA SPECJALISTYCZNA

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ

Nr ćwiczenia

TEMAT: Wyznaczanie przepuszczalności ziarnistych materiałów porowatych metodą zmiennego ciśnienia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z podstawowym prawem (prawem Darcy) rządzącym przepływem płynu przez porowate materiały oraz metodami eksperymentalnego wyznaczania współczynnika ich przepuszczalności.

WYPOSAŻENIE STANOWISKA:

1. Układ do pomiaru przepuszczalności metodą zmiennego ciśnienia.

2. Układ zalewowy.

3. Granulat szklany.

4. Woda destylowana.

5. Stoper.

6. Instrukcja.

LITERATURA:

1. A.Wieczysty: Hydrogeologia inżynierska, W-wa, PWN 1982.

2. E.Myślińska, Laboratoryjne badanie gruntów, W-wa, PWN

3. G.Castany, Poszukiwanie i eksploatacja wód podziemnych, W-wa, PWN 1972.

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

Przepływ płynów przez porowate materiały przepuszczalne.

Wiele materiałów naturalnych i technicznych spośród rodziny ciał stałych charakteryzuje się tym, że posiada przepuszczalną strukturę porowatą. Są to ciała, które zawierają dużą liczbę porów (pustych przestrzeni) o bardzo różnorodnym kształcie, a ich charakterystyczne wymiary są małe w porównaniu z wymiarem charakterystycznym samego ciała. Szczególną i fizycznie bardzo ważną cechą ciał porowatych jest ich przepuszczalność. Jest to zdolność takich materiałów do wchłaniania cieczy i gazów a także ich transportu wewnętrznymi kanałami utworzonymi przez wzajemnie połączone pory.

Przepuszczalne materiały porowate występują powszechnie w przyrodzie jako gleby, roponośne i gazonośne skały, podziemne zbiorniki wodne, a także jako biologiczne materiały porowate np.: tkanka kostna i płuca. Ważną rolę odgrywają techniczne materiały porowaye np.: spieki metalifiltry, katalizatory. Ich znaczenie wynikaz faktu, że jednoczą w sobie dwie przeciwstawne cechy, sztywność struktury zapewnioną przez szkielet i możliwośćtransportu różnych substancji ważnych np. dla życia organizmu.

1.1. Zasada zachowania energii cieczy.

Ciecze doskonałe pozostające w ustalonym ruchu w polu sił ciężkości zachowują swą energię. Wyraża to zasada zachowania energii cieczy doskonałej sformułowanej w 1738 r. przez D. Bernoulliego:

• suma energii kinetycznej, potencjalnej i energii ciśnienia cząstki cieczy doskonałej w ustalonym ruchu w polu sił ciężkości pozostaje stała.

Rys. 1.

Aby przedstawić tę zasadę w postaci formuły matematycznej rozważmy dowolny, ustalony przepływ cieczy o gęstości ρ (Rys. 1.).

Założenie że przepływ jest ustalony oznacza że wielkości opisujące ruch cieczy: prędkość v i ciśnienie p nie zależą od czasu. Wielkości te natomiast mogą przyjmować różne wartości w różnych punktach przestrzeni w której ruch ten ma miejsce.

Biorąc pod uwagę elementarną objętość V cieczy poruszającej się z prędkością V jej energia kinetyczna dana jest wzorem

(1)

gdzie

(2)

jest masą cieczą zawartej w objętości V.

Z kolei wybierając pewien poziom odniesienia dla energii potencjalnej w polu grawitacyjnym, energię tę dla elementu cieczy o masie m znajdującego się na wysokości z od poziomu odniesienia możemy przedstawić w postaci

(3)

gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim.

Ostatnią formą energii wymagającą uwzględnienia przy ruchu płynu jest energia ciśnienia cieczy. Można ją przedstawić w postaci

(4)

Dysponując wyrażeniami (1), (3) i (4) dla poszczególnych form energii zasadę Bernoulliego możemy przedstawić za pomocą równania

(5)
+
+
=
= const.

Oznacza to, że energia całkowita cząstki cieczy doskonałej w ruchu ustalonym w polu sił ciężkości pozostaje stała.

Podstawiając (1), (3) i (4) do (5) otrzymujemy

(6)
+
+
= const.

Po podzieleniu obu stron równania (6) przez mg przyjmuje ono postać

(7)

gdzie wykorzystano definicję gęstości (2) oraz wprowadzono nową stałą po prawej stronie równania.

Równanie (7) znajduje szerokie zastosowanie przy analizie różnych zagadnień związanych z ustalonym przepływem cieczy doskonałej.

Przykładowo umożliwia określenie prędkości wypływu cieczy ze zbiornika wywołanego naporem słupa cieczy o wysokości h (Rys. 2.).

Rys. 2.

Stan cząstki płynu w punkcie P określony jest parametrami

p = p_o, v = 0, z = h,

natomiast w punkcie Q tej samej linii prądu przyjmują one wartości

p = p_o, v = v_o, z = 0,

Wykorzystując równanie Bernoulliego (7) otrzymamy

czyli

.

Stąd mamy

.

1.2. Wysokość hydrauliczna, wysokość piezometryczna.

W zagadnieniach związanych z hydrauliką i hydrologią wód podziemnych suma trzech członów występujących w równaniu (7) i oznaczana jest przez H nazywana jest wysokością hydrauliczną, wysokością naporu hydraulicznego lub wprost naporem. Mamy tu jak w (7)

(8)
.

Każda z wielkości występujących w tej sumie ma wymiar wysokości (długości). Dlatego z - jest nazywana wysokością położenia,
- wysokością ciśnienia, a
- wysokością prędkości.

Wysokość ciśnienia
jest wysokością słupa cieczy o ciężarze właściwym γ  ρ g, nad punktem cieczy w którym panuje ciśnienie p (Rys. 3.)

Rys. 3.

Wysokość położenia z jest to wysokość wzniesienia rozważanego punktu nad dowolnie przyjętym poziomem odniesienia.

Wysokość prędkości
jest miarą ciśnienia dynamicznego jakie wywiera ciecz płynąca z prędkością v. Odpowiada ona wysokości na jaką wzniesie się ciecz w pionowej rurce jeśli na drugi koniec rurki napływa ciecz z prędkością v. (Rys. 4.)

Rys. 4.

Te trzy wysokości stanowią miarę trzech rodzajów energii mechanicznej tj. energii ciśnienia, energii położenia i energii kinetycznej cząstek cieczy. Suma wysokości ciśnienia i wysokości położenia

(9)

jest nazywana wysokością piezometryczną, i stanowi część statyczną całkowitej energii cząstek płynu. Wysokość prędkości stanowi część dynamiczną tej energii. Uwzględniając (9), wzór (8) możemy przedstawić w postaci

(10)

Aby wyznaczyć (zmierzyć) wysokość piezometryczną (hydrauliczną) w nasyconym cieczą (wodą) porowatym gruncie w punkcie A położonym na pewnej głębokości pod powierzchnią ziemi (Rys. 5.) należy wywiercić otwór aż do punktu A i wpuścić rurkę⁾. Po ustaleniu się położenia powierzchni swobodnej wody w rurce, wyznaczenie

Rys. 5.

wysokości położenia z_B umożliwia wyznaczenie wysokości hydraulicznej H_A w punkcie A gdyż w nieruchomej cieczy (a taka jest w rurce) wysokości hydrauliczne w każdym punkcie rurki są jednakowe. Biorąc pod uwagę, że

p_A = ρg ( z_B - z_A )

otrzymujemy:

.

Dla cieczy doskonałej energia cząstek (elementarnej objętości) cieczy w trakcie ich ustalonego ruchu (wzdłuż strugi cieczy) pozostaje stała

(11) H = const.

W zagadnieniach związanych z przepływem cieczy rzeczywistej np. przez ośrodki porowate ze względu na dysypację energii powodowaną lepkością płynu, wysokość hydrauliczna H nie jest wielkością stałą wzdłuż strugi cieczy. W takim przypadku prędkość przepływu cieczy przyjmuje małe wartości a wysokość prędkości v² / 2g jest znacznie mniejsza od wysokości piezometrycznej H_s i dlatego może być pominięta. Wówczas wysokość hydrauliczną H możemy utożsamiać z wysokością piezometryczną H_s

(12)
.

1.3. Prawo Darcy

Henry Darcy badając przepływy wody przez materiały porowate utworzone z piasku eksperymentalnie stwierdził, że objętość wody jaka przepływa w jednostce czasu przez warstwę przepuszczalnego piasku o grubości L jest wprost proporcjonalna do różnicy wysokości hydraulicznych ΔH = H_A - H_B po obu stronach porowatej warstwy (Rys. 6.) oraz do wielkości pola A jej przekroju poprzecznego przez którą przepływa woda, natomiast jest odwrotnie proporcjonalna do grubości tej warstwy. Mamy

(13)

gdzie K jest współczynnikiem proporcjonalności. Zależy on od własności porowatego materiału a także od lepkości cieczy (wody).

Współczynnik ten w hydrologii nazywany jest przewodnością hydrauliczną.

Wielkość Q nazywana jest wydatkiem przepływu cieczy.

Rys. 6.

Biorąc pod uwagę, że

natomiast

dla przyrostu ΔH wysokości hydraulicznych otrzymamy

(14)

uwzględniając (14) w równaniu (13) otrzymamy

(15)

Równanie Darcy (13) możemy także zapisać w postaci

(16) U = K i

gdzie wielkość

(17)

jest nazywana prędkością filtracyjną, natomiast wielkość

18. 
    

jest nazywana gradientem hydraulicznym.

Równanie (16) jest najprostszą postacią prawa Darcy.

Inną postać prawa Darcy otrzymamy rozważając poziomy przepływu dowolnej cieczy przez porowatą warstwę (Rys. 7.)

Rys. 7.

W takim przypadku

,
.

Ponieważ z_A= z_A mamy

(19)
.

Podstawiając wyrażenie (19) do (18) równanie (16) przyjmie postać

(20)
.

Stosunek Δp / L spadku ciśnienia Δp do długości L na którym on występuje nazywany jest gradientem ciśnienia.

Doświadczalnie i teoretycznie wykazano, że współczynnik K /ρ g jest odwrotnie proporcjonalny do lepkości cieczy 

(21)
.

Wówczas z (20) mamy

.

Współczynnik k nazywany jest przepuszczalnością porowatego ośrodka. Wielkość ta dla umiarkowanej prędkości przepływu płynów nie zależy od własności płynu i jest parametrem charakteryzującym wyłącznie strukturę porów porowatego materiału.

2. PODSTAWOWE METODY WYZNACZANIA PRZEPUSZCZALNOŚCI MATERIAŁÓW POROWATYCH

Przepuszczalność materiału porowatego charakteryzuje jego zdolność do przepuszczania płynu pod działaniem różnicy ciśnień (gradientu ciśnienia, gradientu hydraulicznego). Określa ją współczynnik przewodności hydraulicznej K (patrz wzór (16)) lub współczynnik przepuszczalności k (patrz wzór (21)) . Wartość współczynnika K jest zdeterminowana przez strukturę porowatego materiału i własności płynu, natomiast parametr k jedynie przez strukturę.

Przepuszczalność materiału porowatego może być mierzona przy pomocy cieczy lub gazu, przy czym zastosowanie cieczy jest korzystniejsze ze względu na konieczność pomiary mniejszej liczby parametrów.

Przepuszczalność i przewodnośc wyznacza się bądź przez badanie próbek w laboratorium, bądź w warunkach badań terenowych.

Do najważniejszych metod laboratoryjnych poniaru przepuszczalności materiałów porowatych należą:

• metoda ze stałym ciśnieniem cieczy,

• metoda ze zmiennym ciśnieniemcieczy.

2.1. Metoda ze stałym ciśnieniem cieczy.

Metoda ze stałym ciśnieniem cieczy polega na tym, że przez próbkę materiałui porowatego przepuszczana jest ciecz przy stałej różnicy ciśnień po obu stronach próbki. Do tego wykorzystuje się urządzenie zwane przepuszczalnomierzem (Rys. 6). Urządzenie to zbudowane jest z komory pomiarowej i zbiornika utrzymującego stałe ciśnienie. Do zbiornika w sposób ciągły doprowadzana jest ciecz. Zbiornik wyposażony jest w przelew, dzięki któremu można utrzymać stały poziom cieczy w zbiorniku. W komorze pomiarowej zamocowana jest próbka materiału porowatego, przez którą przepływa ciecz. Nadmiar cieczy usuwany jest z komory za pomocą przelewu.

Podczas wykonywania pomiarów tą metodą mierzymy objętość wody V jaka przepływa przez próbkę o grubości L i powierzchni poprzecznego przekroju A w czasie t . Wysokość Δh oraz pole przekroju A są wielkościami znanymi. Współczynnik K wyznacza się z prawa Darcy danego wzorem (15). Biorąc pod uwagę, że V = Q⋅t ze wzoru (15) otrzymujemy

.

2.2 Metoda ze zmiennym ciśnieniem cieczy

Schemat stanowiska do pomiaru metodą zmiennego ciśnienia przedstawia Rys.8.

Rys.8.

Cechą charakterystyczną tej metody jest to, że w trakcie pomiaru różnica wysokości hydraulicznych ΔΗ(t) = H_A(t) - H_B , wymuszające przepływ płynu przez warstwę porowatego materiału ulega zmianie. W rezultacie zmienia się również wydatek Q(t) przepływającej cieczy.

Równanie (13) przepływu Darcy w takim przypadku przyjmuje postać

(22)

gdzie

ΔΗ(t) = H_A(t) - H_B

Biorąc pod uwagę, że wysokość hydrauliczna H_A nad warstwą porowatego materiału określana jest wzorem

,

natomiast wysokość hydrauliczna H_B pod warstwą wynosi

,

dla różnicy ΔΗ(t) otrzymamy

23. ΔΗ (t) = h (t) .

Podstawiając (23) do (22) mamy

(24)
.

Z drugiej strony o wydatku przepływu cieczy przez porowatą warstwę decyduje szybkość ruchu powierzchni cieczy w rurce pomiarowej. Przyjmując, że pole przekroju tej rurki wynosi a , wydatek cieczy będzie określony wzorem

(25)
.

Uwzględniając wyrażenie (25) z prawa Darcy (24) otrzymamy wyrażenie

(26)

opisując ruch powierzchni wody w rurce pomiarowej.

Rozwiązaniem równania (26) jest wyrażenie

(27)

gdzie h_o jest wartością początkową wysokości h, którą zajmuje powierzchnia wody w rurce w chwili t = t_o.

Pomiar czasu
, w którym powierzchnia wody przemieści się z wysokości
na wysokość h oraz zależność (27) umożliwiają wyznaczenie przewodności hydraulicznej K . Przekształcając zależność (27) otrzymujemy

(28)

a po wprowadzeniu średnicy rurki pomiarowej d (
) oraz średnicy komory pomiarowej D (
) wyrażenie (29) przyjmuje postać

(29)

Jeśli wielkości L ,
, h , d , D wyrazimy w centymetrach [cm], a czas w sekundach [s], wówczas przewodność hydrauliczna określona będzie w jednostkach [cm/s].

Wykorzystując zależność (21) możemy określić wartość przepuszczalności k.

Wielkość ta dana będzie wzorem

(30)
.

W układzie SI jednostką podstawową przepuszczalności jest m2. Jednak dla ciał porowatych jest to jednostka zbyt duża i dlatego stosuje się inną jednostkę zwaną darcy [Da]. Za przepuszczalność równą 1 Da uważa się przepuszczalność takiego ośrodka porowatego, przez którego próbkę o powierzchni przekroju 1 cm2 = 10-4 m2, ciecz o lepkości 10-3 Pa s , pod wpływem gradientu ciśnienia 9.8 10-4 Pa/m przepływa z natężeniem 10-3 m3/s . Jednostka przepuszczlności 1 Da jest w przybliżeniu 1012 razy mniejsza od jednostki przepuszczalności 1 m2. Np. przepuszczalność 1 Da ma kapilara o promieniu r = 2.8 10-6 m , a przepuszczalność skał roponośnych i gazonośnych leży zazwyczaj w granicach 10-15 - 10-12 , a więc od kilku milidarcy do kilku darcy.

Zależność pomiędzy przepuszczalnością k i przewodnością hydrauliczną K dana wzorem (30) w przypadku wody (μ= 10-3 Pa s , ρ = 103 kg/m3 , g = 9.81 m/s2) przyjmuje postać

k ≈ 10-7 K .

3. STANOWISKO DO POMIARU PRZEPUSZCZALNOŚCI ZIARNISTYCH MATERIAŁÓW POROWATYCH METODĄ ZMIENNEGO CIŚNIENIA

Schemat stanowiska do wyznaczania przepuszczalności ziarnistych materiałów porowatych przedstawia się na rys. 9. Zasadniczą część stanowią: dwie szklane rurki o różnych średnicach, zawór kulkowy oraz dwie kolby wraz z zestawem elastycznych rurek i ręczną pneumatyczną pompką. Zawór kulkowy, którego zadaniem jest blokowanie strumienia spływającej grawitacyjnie cieczy, pełni również rolę łącznika pomiędzy cieńszą rurką pomiarową umieszczoną powyżej zaworu, a grubszą rurką tworzącą komorę pomiarową umieszczoną poniżej zaworu. W rurce znajdują się szklane kulki tworzące warstwę materiału porowatego. Dolny koniec komory rurki umieszczony jest w szczelnie zamkniętej kolbie wypełnionej badaną cieczą. W kolbie tej umieszczono także rurkę przelewową. Ten koniec rurki zamknięty jest drucianą siateczką o otworach mniejszych niż średnica kulek utrzymującą je we wnętrzu komory. Cienka rurka pomiarowa spełnia rolę pola do odczytu szybkości opadania poziomu badanej cieczy, znajdującej się w jej wnętrzu. Kolba druga pełni rolę przyrządu zalewowego. Dzięki niej można w prosty i szybki sposób napełnić rurkę pomiarową badaną cieczą. Wykorzystuje się w tym celu nadciśnienie wytwarzane przez pompkę pneumatyczną.

4. PRZEBIEG ĆWICZENIA

Przygotowanie stanowiska pomiarowego

Pierwszym etapem przygotowania układu pomiarowego do badań jest napełnienie komory pomiarowej (grubsza rurka) wypełnionej nasyconym wodą materiałem ziarnistym. Aby zapewnić całkowite nasycenie porowatego materiału napełniamy najpierw kolbę pomiarową wodą. Czynność tę należy przeprowadzać w taki sposób, aby po zamknięciu kolby korkiem z umocowaną w nim komorą pomiarową, wewnątrz kolby nie było powietrza. Następnie do komory pomiarowej wsypujemy materiał ziarnisty tak, aby utworzona warstwa materiału porowatego miała założoną grubość.

Taka kolejność postępowania zapewnia, że pomiędzy ziarnami utworzonej warstwy materiału porowatego nie zostaną uwięzione pęcherzyki powietrza, które zaburzałyby prowadzone pomiary.

Kolbę wraz z osadzoną w niej komorą pomiarową łączymy z rurką pomiarową umocowaną w statywie.

Kolbę urządzenia zalewowego napełniamy do połowy wodą i zamykamy korkiem z którego wyprowadzony jest plastikowy wężyk. Drugi koniec wężyka wkładamy do górnego końca rurki pomiarowej.

Opis procedury pomiarowej

Podstawową wielkością mierzoną przy wyznaczaniu przepuszczalności materiałów porowatych metodą zmiennego ciśnienia jest czas opadania lustra wody w rurce pomiarowej pomiędzy górnym i dolnym punktem pomiarowym.

Aby przeprowadzić pomiar czasu opadania lustra wody zamykamy zawór i napełniamy rurkę pomiarową powyżej początkowego (górnego) punktu pomiarowego. Następnie otwieramy zawór i w momencie gdy lustro wody przekroczy początkowy punkt pomiarowy, włączamy stoper. Stoper zatrzymujemy w momencie gdy lustro wody osiągnie końcowy (dolny) punkt pomiarowy. Po przekroczeniu tego punktu zawór zamykamy. Zmierzony czas zapisujemy w tabeli pomiarowej. Czynności pomiarowe powtarzamy trzykrotnie dla każdej granulacji materiału ziarnistego.

W ramach ćwiczenia przewiduje się przeprowadzenie pomiarów przepuszczalności dla trzech-czterech różnych granulacji materiału ziarnistego.

Wyznaczanie przepuszczalności

Przewodność hydrauliczną K materiału porowatego przy pomiarze metodą zmiennego ciśnienia wyznaczamy na podstawie wzoru (29), który ma postać

Podstawowe parametry stanowiska pomiarowego:

• średnica rurki pomiarowej d = 9 mm

• średnica rurki komory pomiarowej D = 16 mm

• grubość warstwy granulatu szklanego L = 100 mm

Tabela wyników pomiarów i obliczeń

Rodzaj			Przewodność hydrauliczna
granulatu	Nr pomiaru	Czas	K [cm/s]	Kśr [cm/s]
Próbka I
Próbka II
Próbka III

Wykres zależności przewodności hydraulicznej K od średnicy kulek szklanych.

TREŚĆ SPRAWOZDANIA

1. Krótki opis stanowiska laboratoryjnego oraz metody pomiaru.

2. Zestawienie wyników - tabela i wykres.

3. Uwagi i wnioski.

Urządzenie tego typu nazywa się piezometrem.

2

---