Prawdopod 3, Ir. ETI MU, Podstawy analizy danych eksperymentalnych


3. Rozkłady wielowymiarowe.

3.1. Wstępne określenia.

Definicja 3.1.1. Wektor losowy 0x01 graphic
nazywamy dwuwymiarową zmienną losową, jeżeli jest określony jego rozkład, tzn. jeśli dla każdego prostokąta na płaszczyźnie 0x01 graphic
określone jest prawdopodobieństwo, że wektor losowy 0x01 graphic
zaznacza pewny punkt tego prostokąta.

Definicja 3.1.2. Dystrybuantą wektora losowego 0x01 graphic
nazywamy funkcję

0x01 graphic
.

Dla dwuwymiarowej zmiennej losowej 0x01 graphic
dyskretnej wystarczy podać prawdopodobieństwa

0x01 graphic
0x01 graphic

Definicja 3.1.3. W niektórych sytuacjach fizycznych jest pożyteczne określenie rozkłady zmiennych oddzielnie — rozkłady brzegowe

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Definicja 3.1.4. Zmienne losowe 0x01 graphic
i 0x01 graphic
nazywamy niezależnymi jeśli

0x01 graphic
0x01 graphic

Definicja 3.1.5. Rozkład warunkowy zmiennej losowej 0x01 graphic
pod warunkiem, że 0x01 graphic
nazywamy wielkość

0x01 graphic
0x01 graphic

oraz

0x01 graphic
0x01 graphic

Dla dwuwymiarowej zmiennej losowej 0x01 graphic
ciągłej wystarczy podać prawdopodobieństwo w postaci

0x01 graphic
.

Gęstość brzegowa zmiennej losowej 0x01 graphic
określamy całką

0x01 graphic

oraz zmiennej losowej 0x01 graphic
wzorem

0x01 graphic

Gęstością warunkową nazywamy zmiennej losowej 0x01 graphic
pod warunkiem, że 0x01 graphic
nazywamy wielkość

0x01 graphic

oraz zmiennej losowej 0x01 graphic
pod warunkiem, że 0x01 graphic

0x01 graphic
.

Zmienne losowe 0x01 graphic
i 0x01 graphic
niezależne jeśli

0x01 graphic
.

3.2. Funkcje zmiennych losowych.

Załóżmy, że pewną zależność funkcjonalną

0x01 graphic
.

Rozkład zmiennej losowej 0x01 graphic
określa się wzorem

0x01 graphic

w przypadku zmiennej skokowej oraz

0x01 graphic

Łatwo jest sprawdzić następujące wzory

0x01 graphic
,

więc gęstość zmiennej losowej 0x01 graphic
ma postać

0x01 graphic
,

Podobnie sprawdzamy, że

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

Jeśli zmienne losowe 0x01 graphic
i 0x01 graphic
niezależne, to

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

Wartość oczekiwania zmiennej losowej 0x01 graphic
określa się jako

0x01 graphic

w przypadku dyskretnym, lub

0x01 graphic

w przypadku ciągłym.

Mamy zawsze

0x01 graphic
,

a dla zmiennych losowych 0x01 graphic
i 0x01 graphic
niezależnych mamy też

0x01 graphic
.

Definicja 3.2.1. Ostatni wzór sugeruje, że różnica

0x01 graphic
,

zwana kowariancją, może być użyta jak miara zależności zmiennych losowych 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

Definicja 3.2.2. Wówczas współczynnik korelacji określamy wzorem

0x01 graphic
.

Współczynnik korelacji równia się zero 0x01 graphic
jeśli zmienne losowe 0x01 graphic
i 0x01 graphic
są niezależne. W tym przypadku

0x01 graphic
.

Z tego, że 0x01 graphic
nie wynika niezależność zmiennych losowych 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, za wyjątkiem, gdy mają one rozkład normalny.

Ponadto mamy zawsze

0x01 graphic

i

0x01 graphic

wtedy i tylko wtedy, gdy 0x01 graphic
. Przy czym jeśli 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
, oraz jeżeli 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

Przykład 3.2.1. Rozpatrzymy 0x01 graphic
niezależnych powtórzeń pewnego doświadczenia, w wyniku którego mamy trzy możliwe zdarzenia 0x01 graphic
z prawdopodobieństwom 0x01 graphic
, 0x01 graphic
0x01 graphic
i 0x01 graphic
z prawdopodobieństwom 0x01 graphic
. Niech 0x01 graphic
i 0x01 graphic
oznaczają ilości zdarzeń 0x01 graphic
i 0x01 graphic
. Przy tym ilość realizacji zdarzenia 0x01 graphic
wynosić będzie 0x01 graphic
. Łączny rozkład 0x01 graphic
ma postać

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Rozkłady brzegowe maja postać dwumianową

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

Przykład 3.2.2. Zmienna losowa 0x01 graphic
ma dwuwymiarowy rozkład normalny z gęstością

0x01 graphic
.

Drogą prostego całkowania przekonujemy się, że rozkłady brzegowe zmiennych losowych 0x01 graphic
i 0x01 graphic
są normalne o parametrach

0x01 graphic
.

Rozkład warunkowy zmiennej losowej 0x01 graphic
pod warunkiem, że 0x01 graphic
, ma postać

0x01 graphic

i jest rozkładem normalnym o parametrach

0x01 graphic
.

3.3. Centralne twierdzenie graniczne.

Jest to uogólnienie twierdzenia de Moivre'a - Laplace'a. Jeżeli zmienne losowe 0x01 graphic
są niezależne mają jednakowy rozkład o wartości przeciętnej 0x01 graphic
i odchyleniu standardowym 0x01 graphic
, to dla dowolnych 0x01 graphic
i 0x01 graphic
(0x01 graphic
) zachodzi relacja

0x01 graphic
.

Przykład 3.3.1. Komputer dokonał milion operacji. W każdej operacji otrzymujemy wynik z nadmiarem 0x01 graphic
z prawdopodobieństwom 0x01 graphic
i niedomiarem 0x01 graphic
z prawdopodobieństwom 0x01 graphic
. Kolejny błędy są niezależne i sumują się. Jaki rozsądne granicy błędu możemy przypisać w wynikowi?

Nich 0x01 graphic
oznacza wielkość błędu w j-tej operacji. Mamy 0x01 graphic
, a zatem

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

więc 0x01 graphic
. Na mocy centralnego twierdzenia granicznego mamy

0x01 graphic
.

Jeśli 0x01 graphic
, a 0x01 graphic
, to prawa strona wynosi 0,99. Więc z prawdopodobieństwom 99% błąd sumy 0x01 graphic
zawarty jest w granicach 0x01 graphic
.

3.4. Elementy teorii informacji.

Pojęcia wstępne. Teorią informacji jest nauka, która bada podstawowe prawa związane z otrzymaniem, przekazaniem, obróbką i zachowaniem informacji.

Było by dobrze określić - co to jest informacja? Pojęcie podstawowe?

Do typowych zagadnień teorii informacji nalezą:

Rozwiązanie wymienionych zagadnień opiera się na dwóch podstawowych pojęciach - liczbie możliwych stanów układu fizycznego oraz ich prawdopodobieństwie.

Niech przez 0x01 graphic
odnotowany będzie pewny układ fizyczny oraz przez 0x01 graphic
jego różne stany fizyczne. Notację 0x01 graphic
wykorzystujemy dla tego, żeby zaznaczyć, że układ 0x01 graphic
przebywa w stanie 0x01 graphic
(0x01 graphic
). Wówczas prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w tym stanie notujemy jak 0x01 graphic
(0x01 graphic
). Oczywistym jest, że spełniony jest warunek normowania, mianowicie 0x01 graphic
.

Popularnym sformułowaniem opisanej sytuacji układu fizycznego w różnych stanach 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, jest w postaci tablicy standardowej

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

...

0x01 graphic

...

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

...

0x01 graphic

...

Definicja 3.4.1. Entropią układu fizycznego 0x01 graphic
nazywamy liczbę skalarna

0x01 graphic
.

Niestety, w teorii informacji, za zwykle przyjmuje się, że 0x01 graphic
, oraz mówi się, że entropia mierze się w dwójkowych jednostkach.

Właściwości entropii:

Definicja 3.4.2. Wielkość fizyczna, w szczególności entropia, która będąc określoną dla układu 0x01 graphic
, gdzie przyjmuje wartość 0x01 graphic
, dla układu złożonego

0x01 graphic

jest sumą ich wartości

0x01 graphic
.

Zmiana podstawy logarytmu 0x01 graphic
oznacza mnożenie entropii przez stałą liczbę. Jeśli 0x01 graphic
, to za jednostkę pomiaru entropii przyjęto entropię układu fizycznego 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, albo

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

ponieważ

0x01 graphic
.

Taka jednostka pomiaru w teorii informacji nazywa się „bit” (binary digit).

Entropia fizycznego układu ze stanami o równym prawdopodobieństwie 0x01 graphic
, 0x01 graphic
jest entropią układu 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, tzn.

0x01 graphic
.

Entropia warunkowa. Rozważamy dwa układy fizyczne 0x01 graphic
i 0x01 graphic
. Oznaczymy przez 0x01 graphic
prawdopodobieństwo warunkowe tego, że układ 0x01 graphic
znajduje się w stanie 0x01 graphic
jeśli układ 0x01 graphic
jest w stanie 0x01 graphic
, tj.

0x01 graphic
.

Definicja 3.4.3. Entropię warunkową 0x01 graphic
układu 0x01 graphic
za warunku, że układ 0x01 graphic
znajduje się w stanie 0x01 graphic
określa wzór

0x01 graphic
,

gdzie

0x01 graphic
.

Definicja 3.4.4. Pełną entropią warunkową 0x01 graphic
układu 0x01 graphic
nazywamy

0x01 graphic
.

Definicja 3.4.5. Informacją cząstkową o tym, że układ 0x01 graphic
znajduje się w stanie 0x01 graphic
nazywamy wielkość

0x01 graphic
.

Definicja 3.4.6. Ilość informacji, która może być otrzymana o układzie fizycznym 0x01 graphic
przy obserwacji układu fizycznego 0x01 graphic
określamy wzorem

0x01 graphic
.

Z powyższych definicji wynika

0x01 graphic
.

Zaznaczmy, że dla niezależnych układów fizycznych 0x01 graphic
i 0x01 graphic
mamy 0x01 graphic
. Wówczas 0x01 graphic
.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Prawdopod 2, Ir. ETI MU, Podstawy analizy danych eksperymentalnych
Pojencja Wstepne, Ir. ETI MU, Podstawy analizy danych eksperymentalnych
instrukcja-porowatości metodą wagową , Ir. ETI MU, Mechanika środowiska
Analiza danych eksperymantalnych
instrukcja-pomiar przepuszczalności, Ir. ETI MU, Mechanika środowiska
instrukcja-porowatość objętościo wa, Ir. ETI MU, Mechanika środowiska
Metodologia z elelmentami statystyki dr Izabela Krejtz wyklad 12 Analiza danych z eksperyme
Data science od podstaw Analiza danych w Pythonie Wydanie II dascp2
Ćw 1 Podstawowa statystyczna analiza danych AJ
CHROMATOGRAFIA CIECZOWA, I MU, Zaawansowana analiza
SPSS paca domowa 1 odpowiedzi, Studia, Kognitywistyka UMK, I Semestr, Statystyczna analiza danych
Analiza danych wyjściowych
podstawy analizy niepewności pomiarowych
Wyznaczanie niepewności pomiarów, PWr W9 Energetyka stopień inż, II Semestr, Podstawy metrologii i t
Podstawy analizy fundamentalnej Nieznany
Metody analizy danych
karta podst analiz.stacj, gik, gik, I sem, podstawy analiz sieci pomiarowych
08 Zalozenia i podstawy analizy statycznej pretow cienkoscie

więcej podobnych podstron