Marek Małkowski, A-52 26-01-2008

Praca zaliczeniowa wykład Postawy Sterowania I Impuls Dirac'a

Obiekt ten wprowadził brytyjski fizyk teoretyczny Paul Dirac. Delta Diraca ma wiele ciekawych właściwości; jest przydatnym narzędziem w fizyce kwantowej, elektronice, mechanice i analizie matematycznej, gdzie w szczególności jest ona oryginałem dla transformaty Laplace'a F(s) = 1 i pochodną funkcji skokowej Heaviside'a.

Delta Diraca - dystrybucja, czyli operator liniowy działający na pewnej przestrzeni funkcyjnej zdefiniowany jako:

• Funkcja impulsowa

Delta Diraca (albo funkcja impulsowa) to funkcjonał (pseudofunkcja) o następującej definicji: δ(x) = 0, gdy x różne od zera albo plus nieskończoność, gdy x równe zero i dodatkowo wartość całki wynosi:

Delta Diraca jest używana do przedstawienia bardzo krótkiego impulsu o jednostkowym polu (np. przenoszącego jednostkowy ładunek elektryczny), a w statyce - do reprezentowania sił punktowo obciążających belkę (np. w punktach podparcia). . W przypadkach tych, delta Diraca jest matematycznym modelem nierealizowalnego fizycznie, nieskończenie wąskiego impulsu występującego w chwili t=0, o nieskończenie dużej amplitudzie i polu równym 1. Jest to definicja inżynierska tego obiektu.

• Interpretacja graficzna zagadnienia impulsu Dirac'a

• Granica funkcji

Deltę Diraca można reprezentować jako granicę funkcji:

:

gdzie f(t,h) może być wyrażona na wiele sposobów, np.:

• Rozkład gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej

Dystrybucję Diraca można też uważać za funkcję rozkładu gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej pewnej (tzn. takiej, której realizacja jest zawsze taka sama). Inaczej mówiąc rozkład delty Diraca jest granicą dowolnego innego rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x) zmiennej losowej, której wariancja σ² zmierza do zera:

,

gdzie μ jest wartością oczekiwaną (wartością średnią) i zarazem jedyną możliwą realizacją zmiennej losowej X.

• Własności

Wprost z definicji delty Diraca, wynika wiele ważnych własności matematycznych. Najważniejsze z nich to:

δ( − x) = δ(x)

• Zastosowanie funkcji impulsowej - badanie odpowiedzi układu całkującego:

def. Integrator - ogólnie urządzenie do całkowania numerycznego lub graficznego (zob. integraf, integrometr); we współczesnym słownictwie technicznym raczej rodzaj całkującego układu elektronicznego (obwód prądu zmiennego, w którym napięcie wyjściowe jest proporcjonalne do całki oznaczonej z napięcia wejściowego).

Układ całkujący zbudowany przy pomocy wzmacniacza operacyjnego. Idealny układ całkujący odpowiada na sygnał wejściowy u(t) sygnałem y(t) według zależności:

Odpowiedzią idealnego układu całkującego na impuls Diraca jest skok jednostkowy. Odpowiedzią idealnego układu całkującego na wartość stałą jest funkcja liniowo zmienna.

Dobrym przybliżeniem układu całkującego jest układ ze wzmacniaczem operacyjnym, pokazany na rysunku:

Układ inercyjny RC pierwszego rzędu

W żargonie elektronicznym układem całkującym bywa nazywany układ inercyjny pierwszego rzędu złożony z rezystora i kondensatora. W rzeczywistości, napięcie na wyjściu układu (napięcie na kondensatorze) jest opisane równaniem całkowym:

Układ RC zachowuje się zatem jak układ całkujący jedynie w sytuacji gdy kondensator jest rozładowany , czyli gdy v_out(t) = 0.

4

---