Wzory pomocnych całek:

Wzory trygonometryczne

cos2α=1-2sin²α=cos²α-sin²α

1-cosα=2sin²

sinx⋅cosx =

cos²x=

sin2α=2⋅sinα⋅cosα

1+cosα = 2cos²

Zadania

1. Obliczyć podane całki krzywoliniowe niezorientowane po wskazanych łukach:

za y podstawiamy daną funkcję y=f(x)

2. Obliczyć długość łuku.

3. Obliczyć pole powierzchni bocznej np. walca x²+y²=R² ograniczonej płaszczyzną np. z=0 oraz powierzchnią np. z=a

d(x,y) - powierzchnia ograniczająca z dołu

g(x,y) - - / / - - / / - z góry

Następnie parametryzujemy biegunowo i podstawiamy za x,y , pamiętając że do dl podstawiamy parametry biegunowe.

4. Obliczyć masę łuku o gęstości liniowej masy λ(x,y)=

5. Określić współrzędne środka masy ...

linia śrubowa y_c ; x=rcost, y=rsint, z=bt z_c

6. Obliczyć moment bezwładności ...

I_x=
- względem osi

- względem (0,0)

7. Obliczyć całki krzywoliniowe zorientowane z podanych pól wektorowych po wskazanych łukach (zorientowanych zgodnie z parametryzacją)

Przykład:

F(x,y)=(x,-y)

8. Obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną po łuku określonym równaniem, zorientowanym zgodnie ze wzrostem parametru x.

Do obliczenia całki zorientowanej z pola wektorowego F(x,y,)=(P(x,y),Q(x,y)) po łuku Γ: y=y(x), a≤x≤b, stosujemy wzór:

y podstawiamy do całki, a w drugiej części wzoru pochodna z y

9. Obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną
po wskazanych łukach zamkniętych Γ:

Parametryzujemy łuk i podstawiamy do całki.

10. Obliczyć całki krzywoliniowe zorientowane z podanych potencjalnych pól wektorowych po dowolnym łuku o początku A i końcu B:

U(x,y,z)=

porównujemy z Q(x,y) i wyznaczamy ϕ przedtem je całkując. Następnie bawimy się jeszcze pochodną po z (jak jest) i wyznaczamy w ten sposób ψ(y) + C. Gotową U(x,y,z) wykorzystujemy we wzorze:

11. Sprawdzić, że podane całki krzywoliniowe nie zależą od kształtu krzywej całkowania.

Całki nie zależą od kształtu krzywej całkowania, gdy w punktach tego obszaru spełniony jest warunek: (jest też warunkiem istnienia pola potencjalnego)

12. Wykorzystując twierdzenie Greena obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną.

13. Za pomocą całki krzywoliniowej zorientowanej obliczyć pola obszarów ograniczonych podanymi łukami zamkniętymi:

14. Obliczyć pracę w podanych polach wektorowych podczas ruchu po wskazanych łukach zorientowanych:

Można zbadać czy pole jest potencjalne i wtedy obliczać ( 11. i 10)

15. Obliczyć podane całki powierzchniowe niezorientowane po wskazanych płatach

np. ∑: z=f(x,y)

16. Obliczyć pola powierzchni podanych płatów

17. Obliczyć masy podanych płatów o wskazanych gęstościach powierzchniowych

18. Znaleźć położenie środków masy podanych jednorodnych płatów materialnych

19. Obliczyć momenty bezwładności podanych jednorodnych płatów materialnych względem wskazanych osi.

Całka - ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).

Całki można sobie wyobrazić jako sumy nieskończenie wielu nieskończenie małych wartości, takich jak np. wartość funkcji pomnożona przez jej nieskończenie małą różniczkę: f

całka oznaczona - intuicyjnie: pole powierzchni między wykresem funkcji f(x) w pewnym przedziale [a,b], a osią odciętych, wzięte ze znakiem plus dla dodatnich wartości funkcji i minus dla ujemnych. Pojęcie całki oznaczonej, choć intuicyjnie proste, może być sformalizowane na wiele sposobów. Jeśli jakaś funkcja jest całkowalna według dwóch różnych definicji całki oznaczonej, wynik całkowania będzie taki sam.

---