1.Wartość bezwzględna.
2.ZB. SKOŃCZONY-gdy liczba n elementów jest skończona
UPORZ. JEDNOJEDNOZNACZNE-na mocy którego każdemu elementowi jednego zbioru odpowiada tylko jeden element drugiego i na odwrót
ZB. JEDNAKOWO LICZNE-dana wartość jednego zbioru jest równa odpowiedniej wartości drugiego
ZB. PRZELICZALNY-między elementami zbiorów można ustalić ujjz.
(0,1)-nieprzeliczalny->ZBIÓR MOCY KONTINUUM
3.ZAS. CIĄGŁOŚCI(zb. l. rzeczywistych wypełnia całkowicie oś liczbową)-jeśli zb. l. rzeczywistych podzielimy na dwie części A i B w taki sposób,że każda liczba należąca do A jest mniejsza od kazdej z B.Zachodzi wówczas: w zb. A istnieje liczba największa lub w zb. B istnieje liczba najmniejsza
ZAS. PRZEDZIAŁÓW ZSTĘPUJĄCYCH CANTORA-Jeśli mamy zbiór przeliczalnych Q przedziałów postaci: <a1,b1>⊃<a2,b2>⊃...<an,bn>⊃..
To istnieje przedział <an,bn>∈Q którego dł.(|an-bn|<ε ε>0) dąży do 0.Wtedy zb. Q ma tylko jeden punkt należący do wszystkich przedziałów Q.
4.L. ZESPOLONA-uporządkowane pary liczb rzeczywistych(a,b)(c,d) dla których zachodzi:
(a,b)=(c,d)a=c b=d , (a,b)+(c,d)=>(a+c,b+d) , (a,b)*(c,d)=>(ac-bd,ad+bc) , (a,b)-(c,d)=(a-c,b-d) ,
.W zb. l. zespolonych można wydzielić podzbiór o elementach(a,0), dla którego (+),(*) są analogiczne jak w rzeczywistych można ją utożsamić z rzeczywistym a.L.zespolone uogólniają l.rzeczywiste. (0,1)=i jednostka urojona. (a,b)=(a,0) +(0,1)(b,0)=a+ib postać kanoniczna(algebraiczna).INTERPRETACJA GRAFICZNA.Wykorzystując tw. O istnieniu wzajemnej i jednoznacznej odpowiedności między danym punktem płaszczyzny i uporządkowaną parą liczb interpretujemy z=x+iy jako(x,y)
5.POSTAĆ TRYGONOM. Z=r(cos ϕ+i sin ϕ),r=|z| PIERWIASTKI-pierwiastek naturalnego st. n z
Jeżeli
można przedstawić w postaci
=
to Z=R(cosϕ+i sinϕ) jest pierwiastkiem n-stopnia z liczby
i
ϕ
k∈Z ,
modół,
kąt
6.WZÓR
Jeżeli
to
gdy n=2 to k=0,k=1.
7.CIĄG LICZBOWY-przyporządkowanie każdej liczbie nat. Jakąś l.reczywistą
DEF.GRANICY CIĄGU-liczba a jest granicą ciągu nieskończonego
jeżeli dla każdego ε>0 istnieje taka liczba Nże dla wszystkich n>N zachodzi |
-a|<ε a-ε<
<a+ε przykład:
przyjmujemy a=1 ε =>n> N=E( ) [lim
=a]
8.TW. O CIĄGACH MAJĄCYCH GRANICĘ
ciąg nie może jednocześnie dążyć do dwóch różnych granic.
jeśli ciąg ma granicę to jest on ograniczony(granicę można zamknąć między najmniejszym lub/i największym wyrazem.Nie każdy ciąg ograniczony ma granicę
jeśli ciąg jest zbieżny do granicy a,a>p(a<q) to wszystkie jego wyrazy począwszy od pewnego wyrazu są większe od p(mniejsze od q).Łącząc wyrazy ogólne ciągów znakiem równości lub nierówności rozumiemy że chodzi o odpowiednie wyrazy.
jeżeli ciągi są równe i każdy ma granicę skończoną równą a i b to a=b
jeżeli dla
i lim
=a i lim
=b to
.Dla
>
na ogół nie wynika a>b
9.TW.O TRZECH CIĄGACH
i lim
=lim
=lim
to lim
=a
dow. ∀ ε>0 ∃
∀n>N:|
-a|<ε , ∀ ε>0 ∃
∀n>N:|
-a|<ε ,N=max(
)
a-ε<
<a+ε a-ε
a+ε
10.CIĄGI ZBIERZNE DO 0
-Suma dowolnej skończonej liczby ciągów zbieżnych do 0 jest ciągiem zbieżnym do0.
∀ε>0 ∃
∀n>
:|
|<
.
,∀ε>0 ∃
∀n>
:|
|<
.
,∀ε>0 ∃
∀n>
:|
|<
,N=max(
),
+
-
=
,|
|=|
+
-
|
<ε
-jeśli {
} jest ograniczony a {α}->0 to
*α
będzie także zbieżny do 0
11.DZIAŁANIA NA CIĄGACH
to lim(
)
a
b,lim(
*
)
a*b,lim(
)
12.GRANICE NIESKOŃCZONE
Ciąg ma granicę
∞ jeżeli począwszy od pewnego miejsca wyrazy tego ciągu pozostają większe (mniejsze) od dowolnie dużej M>0(-M),∀M>0 ∃N ∀n>N :
>M(
<-M).Przykład:
=
|
|>1
lim
=lim
=∞
13.CIĄGI MONOTONICZNE
Ciąg jest rosnący (niemalejący) jeżeli
,
to
.Ciąg jest malejący(nierosnący) jeżeli
,
to
.Tw. niech dany ciąg jest rosnący.Jeśli jest on ograniczony z góry
-to ma on granicę skończoną, w przeciwnym razie
.Tak samo ciągi malejące.
14.CIĄGI CZĘŚCIOWE I PUNKTY SKUPIENIA
Tw. Jeżeli ciąg ma granicę =a to jego podciąg ma tę samą granicę(nie działa w drugą stronę).Jeśli nie ma granicy to nie wyklucza to istnienia granicy częściowej-punktu skupienia ciągu częściowego.
Gdy ciąg jest nieograniczony to można z niego wybrać podciąg dążący do ∞-można znaleźć punkt skupienia.LEMAT Bolzano-Welestrass...: gdy ciąg jest ograniczony to można z niego zawsze wybrać podciąg zbieżny do granicy skończonej
15.ZASADA ZBIEŻNOŚCI
Ciąg ma granicę skończoną gdy ∀ε>0 ∃N ∀n>N i ∀p∈N:(
)<ε .Istotne jest by wyrazy ciągu zbliżły się nieograniczenie między sobą w miarę wzrastania indeksów.
16.WYRAŻENIA NIEOZNACZONE
17.F. JEDNEJ ZMIENNEJ
Jeżeli każdej l.rzeczywistej x przyporządkujemy liczbę y=f(x) to okreslona jest funkcja f na zbiorze l.rzeczywistych.Nie każda funkcja określona jest na całym zb l.rzeczywistych
18.DEF GRANIC FUNKCJI
Punkt skupienia a- gdy w każdym otoczeniu sązawarte różne od a wart.Niech dla X,gdzie a jest p.s. będzie określona f. f(x).DEF. Cauch'ego w języku εδ:F.f(x) ma granicę A przy x
a gdy dla każdej ε>0 znajdzie się taka δ>0 że |f(x)-A|<ε jeśli tylko |x-a|<δ.∀ε>0 ∃δ>0:|f(x)-A|<ε jeśli tylko |x-a|<δ.Def.F.f(x)
∞ w punkcie a,gdy dla każdej M>0 znajduje się taka δ>0,że f(x)>M (f(x)<-M) jeśli tylko zachodzi |x-a|<δ ∀M>0 ∃δ>0:f(x)>M (f(x)<-M) jeśli tylko |x-a|<δ.F.f(x)
A,x
+∞ (-∞)jeśli dla dowolnej ε>0 istnieje Δ>0 taka że (f(x)-A)<ε,x>Δ(x<-Δ). ∀ε>0 ∃Δ>0:|f(x)-A|<ε,x>Δ. F.f(x) musi być dowolnie bliska swojej granicy gdy zmienna x zmierza do swojej granicy. Niech zb. X ma p.s. a,wówczas ze zb. X na nieskończenie wiele sposobów wybieramy ciąg dążący do tej samej granicy a.DEF.Heinego w języku ciągów:F.f(x) ma granicę A jeśli dowolnemu ciągowi
o granicy a odpowiada ciąg
o granicy A.
19.DZIAŁANIA NA GRANICACH F.
Niech w X będą określone f(x) i g(x) i niech dla p.s. a,przy x
a obie mają skończone granice: lim f(x)=A i lim g(x)=B.lim[f(x)
g(x)]
A
B , lim[f(x)*g(x)]
A*B , lim[
]
g(x)≠0 i B≠0
20.PRAWO-I LEWOSTRONNE GRANICE
Def :liczbe A nazywamy prawostronna(lewostr.)granica funkji f(x)->a jeśli dla każdego
istnieje taka
, że
, jeśli tylko
(prawosronna) ,
Def: liczbe A nazywamy parawo/lewosronna granica funkcji f(x) w punkcie (a), jeśli dowolnemu ciagowi dazocemu do
(
) odpowiada ciag majacy granice A
f(x)=A prawostr. A=f(a+0)
f(x)=A lewosrt. A=f(a-0)
Tw: jezeli funkcja f(x) ma prawostronna granice f(a+0) w punkcie (a) i lewostr.gr. f(a-0)w tym samym punkcie , przyczym f(a+0)=f(a-0) to f(x) ma granice w (a), która jest A
Tw (kryterium Causchy'ego): na to by funkcja f(x) miała skończona granice przy x->a potrzeba i wystarczy by dla każdej
isniala
aby nierówność
była spelniona jeżeli tylko
i
22.CIĄGŁOŚC FUNKCJI
Tw:funkcja f(x) monotonicznie rosnaca (malejaca) może mieć w przedziale X, conajwyzej nieciągłości pierwszego rodzaju czyli skoki(poslugujac się tym tw można udowodnic natepne tw)
Tw: jeśli wartosc funkcji f(x) monotonicznie rosnacej (malejacej) w obszarzeX , sa zawarte w przedziale Y i wypeilniaja go calkowicie , tak ze kazda wartość
jest przybieralna przez funkcje co najmniej jeden raz , to funkcja jest ciagla w obszarze X i odwrotnie jeżeli monotoniczna f(x) jest ciagla w obszarze X to jej wartosci wypelniaja calkowicie pewien obszar Y
25.FUNKCJA ODWROTNA
Tw: niech funkcja y=f(x) jest okreslona mnotoniczna i ciagla w pewnym przedziale <a,b> i niech
wówczas w przedziale <c,d> istnieje jednoznaczna odwrotna funkcja , która takrze jest monotoniczna i ciagla.
26.POCHODNE i ROZNICZKI
Def: niech będzie dana funkcja y=f(x) okreslona w X . wychodzac od pewnej wartosci
nadamy jej przyrost
nie wychodzac poza przedzial X, wtedy wartosc funkcji y
=f(x
)zmienia się o przyrost
Def: jeżeli granica stosunku
istniej i jest skonczona i nie zalezy od sposobu dazenia
, to ona nazywa się pochodna funkcji y=f(x) względem zmiennej niezależnej x w punkcie
Tw: jeśli funkcja y=f(x) jest okreslona w obszarze X i ma w punkcie
pochodna to f(x) jest ciagla w tym punkcie
27.POCHODNA F. ODWROTNEJ
Tw:niech funkcja y=f(x) spełnia zalozenia tw.o funkcji odwrotnej i po drugie w punkcie
ma skonczona i rożną od 0 pochodną f'(x) wówczas w odpowiednim punkcie
istnieje pochodna funkcji odwrotnej
29.REGUŁY OBLICZANIA POCH.
Tw1:niech funkcja
ma pochodna w
wtedy funkcja y=c*u ma tez pochodna w tym punkcie y'=(c*u)'=c*u'. To znaczy ze czynnik stały można wylaczyc przed znak pochodnej
Tw2:niech funkcja
i
maja w okreslonym punkcie
pochodne u' i v' wtedy funkcja
ma również pochodną w tym punckie przyczym
Tw3:przy tych samych założeniach co do funkcji u i v iloczyn ma poczhodna y'=(uv)'=u'v+uv'
Tw4:
Tw5funkcjazlozona:
30.POCHODZNE NIESKONCZONE I JEDNOSTRONNE
Jeśli stosunek przyrostu
przy
dazacych do 0 dazy do
to te liczbe niewlasciwa nazywamy pochodna i oznaczamy
Niech y=f(x) jest określone w X i niech punkt
będzie jednym z końców przedziału.Przy obliczanu stosunku
musimy poprzestać na dążeniu
tylko z prawej strony gdy mowa o lewym końcu
=prwostr. F'(x0+0)
31.POJECIE ROZNICZKI
Niech f(x) określ. w X i ciągła w x0,przyrostowi Δx arg odp. przyrost Δy funkcji
DEF:funkcja y=f(x) nazywa się różniczkowalną(dla danej wartosci
) jeśli jest spełniona rownosc
gdziea jest stala i nie zalezy od
, a granica
, jeśli A nie jest rowna 0 to oznacza to , że nieskonczenie male A*
jest rownowazne z nieskonczenie mala
, wiec jest czescia glowna tej ostaniej
Cechy rozniczki:
1)jest funkcja liniowa jednorodna przyrostu
2)rozni się od przyrostu funkcji
o wielkosc , która przy
jestnieskonczenie mala rzedu wyzsszego niz
Tw: na to żeby funkcja y=f(x) była rozniczkowalna w punkcie
potreba i wystarcza by miala ona w tym punkcie pochodna skonczona
ostateczny wzor na rozniczke funkcji
32.POCHODNE RÓŻNICZKI WYŻSZYCH RZEDOW
Jeśli funkcja y=f(x) ma pochodna skonczona
w przedziale X tak ze ta ostatnia sama jest znowu funkcja x, to może się zdarzyc, że ta funkcja ma takze w pewnym punkcie X pochodna skonczona (lub nieskoń) Pochodna ta nazywa się pochodna rzedu drugiego.3.n-tego
33.TW.1. BOLZANO-CAUCH'EGO
Tw: niech funkcja f(x) będzie okreslona i ciagla w przediale domknietym <a,b> i niech na koncach tego przdzialu przybiera wartosci o roznych znakach, wówczas pomiedzy ai b znajdzie się c w którym f(c)=0
Dow.Podzielmy <a,b> na pół punktem c=(a+b)/2 jeśli f(c)=0 tw. zostało udowodnione jeśli nie f(x) będzie zmieniać znak na końcach jednego z przedziałów ...Albo natkniemy się na f(c)=0 albo otrzymamy nieskończony ciąg przedziałów jeden w drugim z zasady przed. Zstepujących C. Steierdzamy że istnieje taki punkt c,że lim an=c, lim bn=c. f(a)<0,f(b)>0 wszystkie f(a) są ujemne a lim an niedodatni,wszystkie f(b) są dodatnie a lim bn nieujemne lim f(c)=0.
34. TW.2. BOLZANO-CAUCH'EGO
Tw:niech funkcja y=f(x) będzie okreslona i ciagla w pewnym przedzialeX (domknietym lub nie,skonczonym lub nieskoń). Jeśli w dwoch punktach x=a i x=b a<b funkcja przybierac rozne wartosci f(a)=A f(b)=B a jakakolwiek jest liczba (C) lezy A<C<B znajdzie się taki punkt c lezacy a<c<b ze f(c)=C
Dow.Niech A<B i A<C<B rozpatrzmy w <a,b> funkcję pom.δ(x) ciągłą i przybierającą na końcach przedziału r/óżne znaki a<c<b δ(c)=0 δ(c)=f(c)-C=0=>f(c)=C
35.TW. WEIRSTRASSA
Tw1:jeseli funkcja f(x) jest okreslona i ciagla w przedziale <a,b>to jest ona ograniczona ,tzn,. isnieje takie stale m,M ze f(x) zawwiera się
Lemat : niech funkcja f(x) ma w punkcie
poczodna skonczona. Jeśli ta pochodna f'(
) jest wieksa od 0 (lub mniejsza) to dla wartosci x dostatecznie bliskiej
ma prawo od
będzie f(x)>f(
)(lub minejsze), a dla wartosci x dostatecznie blisko
na lewo od
będzie f(x)<f(
)(i wicewer.)
Tw.2Jeżeli f(x) jest określona i ciągła w <a,b> to osiąga tam kres górny i dolny.
36.TW FERMAT'A :
niech f(x) okreslona w X osiaga w punkcie wewnetrznym (c) najwieksza(najmniejsza)wartosc . jeśli istnieje w tym punkcie pochodna skonczona f'(x) to musi być f'(c)=0
dow.niech f(x) ma w tym przedziale max. Przypuszczenie,że f'(x)<>0 prowadzi do sprzecz
37.TW ROLE'A:
niech popierwsze f(x) będzie okresona i ciagla w przedziale domknietym <a,b>, po drugie istnieje pochodna skonczona f'(x) przynajmniej w przedziale otwartym (a,b) po trzecie na koncach przedzialow funkcje przyjmuja równe wartosci f(a)=f(b). Wówczas miedzy a i b znajdzie się c (a<c<b) ze pochodna f'(c)=0
38.TW LAGRANGE'A:
Jeżeli f(x) jest określona i ciągła w <a,b> i istnieje poch. Skończonaconajmniej w (a,b) wtedy istnieje punkt a<c<b
Wnioski:
1.jeśli f(x) jest stała w (a,b) to f'(x)=0 xε(a,b) i vice
2.jeśli f'(x)>0 w każdym punkcie (a,b) to f. rosnąca.
3......malejaca
39.OBLICZANIE NIEOZ. DELOPITALEM
Tw1 (0/0) - Niech f.f(x) i g(x) będą określ. w przedz. (a,b>. Po drugie f(x)→0, g(x)→0, dla x→a. Po trzecie w przedz. (a,b> istnieją poch. skończ. f'(x) i g'(x) przy czym g'(x)0. Po czwarte istnieje granica (skończ. lub nieskończ.)
40.WZÓR TAYLORA
Jeżeli f(x) ma ciągłe pochodne do rzędu (n-1) włącznie, w przedziale domkniętym o końcach x0 i x oraz ma poch. rzędu (n) wew. Tego przedziału, to istnieje taki punkt c, że
f(x) = f(x0) +(f'(x0)/1!)(x-x0)+...+ (f(n) (c)/n!) (x-x0)n+o(x-x0)n (wzór Taylora z resztą w postaci Peano) Δf(x0)=(1/1!)df(x0)+(1/2!)d2f(x0)+(1/3!) d3f(x0)+...+ (1/n!) dnf(x0)+ o(Δx)n Postać różniczkowa Taylora.
41.BADANIE FUNKCJI
f(x) ma w x0 max.(min.) jeśli istnieje takie otoczenie (x0-δ,x0+δ) że dla wszystkich x tego otoczenia: f(x)<=f(x0)(=>)jeśli są to ostre nierówności to jest to ekstremum właściwe
PUNKT STACJON. Poch.=0(war. Konieczny)
PUNKT KRYTYCZ.poch nie istnieje lub ±∞
Oba są podejrzane o ekstremum.
1.Jeśli poch. zmienia znak przech przez p.s /p.k.
2.2 poch.>0 max.=0 brak rozwiązań
42.WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ
Niech f(x) ma w (a,b) ciągłą 2 poch.Warunkiem wystarczającym do istnienia wypukłości jest f''(x)<0,wklęsłościf''(x)>0
PUNKT PRZEGIĘCIA-jeżeli krzywa na której leży ten punkt w pewnym lewostronnym otoczeniu jest wypukła a w prawostronnym wklęsła to f''(x)=0
Asymptoty:pozioma y=limf(x)=b,ukośna y=ax+b
lim f(x)/x=a , lim(f(x)-ax)=b
43. MACIERZE I WYZNACZNIKI
|a11 a12| det =a11*a21-a12*a22
|a21 a22|
1.przestawienie kol i wier nie zmienia wyznacz
2.jeśli dany wier pomnożyć a to a*det
3.jeśli pewien wier.=0 to det=0
4.jeśli do elementu pewnego wiersza dodamy element innego pomnożony prez a to det=const
5.jeśli elementy pewnego wier są proporcjonalne do elementów innego to det=0
6.przestawienie 2 wierszy to det=(-1)det
44.MINOR DOPEŁNIENIA
DEF. - Minorem wyznacznika przynależnym do elem. aik nazywamy ten podwyznacznik danego wyznacznika, który otrzymamy usuwając z macierzy danego wyznacznika wiersz oraz kolumnę na przecięciu którym znajduje się ten element. Np.
| 1 0 3 | |5,8|
| 5 7 8| minor |9,0|
| 9 4 0|
DEF. - Dopełnieniem algebraicznym Aik elem. aik nazywamy iloczyn minoru tego wyznacznika przynależnego do elem. aik oraz czynnika (-1)i+k ; Np.Aik=(-1)1+2| 2 3|
|-1 1| =
Np.| 1 0 1 |
| 2 2 3|=-(2+3)=-5
|-1 1 1|
Dopełnienie algebraiczne
Tw. Laplace`a - Wyznacznik jest równy sumie iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza (kolumny) i odpowiadającego temu elementowi dopełnienie algebraiczne, czyli det A=
45.DZIAŁANIA NA MACIERZACH..
A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C a1(a2A)=a1a2A a(A+B)=aA+Ab a(AB)=aAB (AB)C=A(BC) AB≠BA(mnożenie tylko A[]mp B[]pn)
Rzędem mac. A nazywamy najwazszy stopień różnych od 0 wyznaczników tej mac. R(A). Rząd mac. A=[aik]mxn spełnia zależność 0<R(A)<min(m,n). Jeżeli mac. jest zerowa to rząd też. Mac. ulega zmianie gdy: 1) przy * wiersz lub kolumny przez liczbę różną od 0; 2) przy przestawieniu wiersz lub kol.; 3) przy dodaniu do wier. lub kol. mac. kombinacji liniowych pozostałych wier. lub kol.
Mac. dołącz. mac. kwadrat. A=[aik] nazywamy mac. AD=[Aki]. Mac. kwadrat. A nazywamy nieosobliwą gdy jej wyznacznik detA0 Mac. odwrotną mac. nieosobliwej nazywamy mac. A-1, taką że A*A-1=A-1*A=E
46.UKŁ.RÓWNAŃ LIŃ.
Układem m-równań linowych o n niewadomych x. Nazywamy układ:
a11x1+ a12x2+ a13x3+...+ a1nxn= b1
a21x1+ a22x2+ a23x3+...+ a2nxn= b2
a31x1+ a32x2+ a33x3+...+ a3nxn= b3 (1)
…………………………………
an1x1+ an2x2+ an3x3+...+ annxn=ꗬÁ‹Е
ዸ¿ က Ѐ 橢橢쿽쿽