Drzewka

Doświadczenie losowe można zilustrować za pomocą tzw. drzewka, które można wykorzystać do obliczania prawdopodobieństw różnych zdarzeń związanych z danym doświadczeniem.

Przykład 1

W dwóch pudełkach znajdują się kule. W pierwszym jest 6 kul czerwonych, 4 zielone i 5 białych, a w drugim są 3 kule czerwone i 7 zielonych. Rzucamy kostką do gry. Jeśli wypadnie 6, losujemy kulę z pierwszego pudełka, a w pozostałych wypadkach - z drugiego. Wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia:

1. „wylosowano kulę białą”

2. „wylosowano kulę czerwoną”

3. „wylosowano kulę z pierwszego pudełka i była ona białą lub czerwona”

4. „wylosowano kulę zieloną”.

Rozwiązanie

Najpierw szkicujemy drzewko prezentujące dane doświadczenie losowe, zapisując przy gałęziach prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia.

Nasze doświadczenie składa się z dwóch etapów: rzutu kotką oraz losowania kuli. Na drzewku gałęzie wychodzące z jednego punktu ilustrują wszystkie możliwe wyniki na danym etapie. Dlatego suma prawdopodobieństw zapisanych przy tych gałęziach musi być równa 1.

Przy rzucie kostką interesują nas zdarzenia:

„wypadła szóstka” (prawdopodobieństwo
) ⇒ losujemy z pierwszego pudełka

„wypadła liczba oczek różna od 6” (prawdopodobieństwo
) ⇒ losujemy z drugiego pudełka

Rzut kostką

Pierwsze pudełko Drugie pudełko (10 kul)

(15 kul)

Losowanie kuli

c z b c z

(c - kula czerwona, z - kula zielona, b - kula biała)

1. „wylosowano kulę białą”

Aby w wyniku naszego doświadczenia wylosowano kulę białą musi nastąpić losowanie z pudełka pierwszego. Aby nastąpiło losowanie z pudełka pierwszego na kostce musi wypaść 6. Interesuje nas zatem ta część drzewka, która dotyczy losowania z pierwszego pudełka z gałęzią prowadzącą do kuli białej. Szukane prawdopodobieństwo otrzymamy mnożąc prawdopodobieństwa zapisane przy napotkanych po drodze gałęziach, tzn.

P(A) =

b) „wylosowano kulę czerwoną”

To zdarzenie „opiera” się na dwóch pudełkach, ponieważ kule czerwone są i w pierwszym i w drugim pudełku. W takim przypadku, by wyznaczyć szukane prawdopodobieństwo obliczamy sumę prawdopodobieństw z obydwu gałęzi. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej z pierwszego pudełka wynosi

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej z drugiego pudełka wynosi

Prawdopodobieństwo, że w tym doświadczeniu wylosowano kulę czerwoną wynosi

P(B) =
+
=

3. „wylosowano kulę z pierwszego pudełka i była ona białą lub czerwona”

Ponieważ w zdarzeniu losowym jest wyraźnie zaznaczone, że chodzi o wylosowanie kuli czerwonej i białej z pierwszego pudełka a, więc interesuje nas tylko gałąź dotycząca pierwszego pudełka.

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi

Szukane prawdopodobieństwo to suma dwóch powyższych prawdopodobieństw

P(C) =
+
=

4. „wylosowano kulę zieloną”.

To zdarzenie „opiera” się na dwóch pudełkach, ponieważ kule zielone są i w pierwszym i w drugim pudełku. W takim przypadku, by wyznaczyć szukane prawdopodobieństwo obliczamy sumę prawdopodobieństw z obydwu gałęzi. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej z pierwszego pudełka wynosi

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej z drugiego pudełka wynosi

Prawdopodobieństwo, że w tym doświadczeniu wylosowano kulę zieloną wynosi

P(D) =
+
=

Przykład 2

W dwóch pudełkach są losy loteryjne. W pierwszym pudełku jest 50 losów, w tym 10 wygrywających. W drugim pudełku jest 80 losów, w tym 20 wygrywających. Rzucamy kostką do gry. Jeśli wypadnie 1 lub 6 - ciągniemy los z pierwszego pudełka. W pozostałych przypadkach ciągniemy los z drugiego pudełka. Oblicz prawdopodobieństwo wyciągnięcia losu wygrywającego.

Rozwiązanie

Rzut kostką

Pierwsze pudełko Drugie pudełko (80 losów)

(50 losów)

Losowanie kuli

w p w p

(w - los wygrywający, p - los pusty)

P(A) =
⋅
+
⋅
=
+
=
+
=

Przykład 3

Doświadczenie polega na rzucie trzema monetami. Wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wyrzuceniu tylko jednego orła.

Rozwiązanie

Rzut pierwszą monetą

R O

Rzut drugą

monetą

R O R O

Rzut

trzecią

monetą

R O R O R O R O

(R - reszka, O - orzeł)

P(A) =

Przykład 4

Losujemy trzy karty z talii 24 kart, składającej się ze wszystkich figur oraz dziewiątek i dziesiątek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród tych kart jest jedna figura?

Rozwiązanie

Figur w talii 24 kart jest 16.

Losowanie pierwszej karty

F B

Z talii ubyła nam jedna karta

Figura lub blotka

Losowanie drugiej karty

F B F B

Losowanie trzeciej karty

B B F

P(A) =

(F - figura, B - blotka - karta nie będąca figurą)

(Nie zawsze musimy rysować całe drzewko, aby obliczyć prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia).

Ćwiczenie 1

Rozwiąż zadania 1- 16 str. 72 -75 z podręcznika.

---