Wykład 9 18.04.01.

Struktura pola prędkości płynu

Elementarny ruch dowolnego elementu płynu złożony jest z :

• prostego przesunięcia (postępowego),

• obrotu elementu,

• odkształcenia objętościowego (zmiana długości boków i objętości elementu),

• odkształcenia postaciowego elementu (zmiana kątów kształtu elementu).

Odpowiednio odróżnia się :

• prędkość ruchu postępowego,

• prędkość wirowania,

• prędkość odkształcania.

Prędkość odkształceń kątów elementu płynu :

Zmiana kształtu wynika ze zmiany prędkości w kierunku osi x.

Średni kąt obrotu (względem osi z) :

Prędkość kątowa odkształcenia postaciowego elementu to średni kąt obrotu krawędzi odniesiony do jednostki czasu :

W płaszczyźnie O_xy :

W płaszczyźnie O_yz :

W płaszczyźnie O_xz :

Prędkości kątowe odkształcenia objętościowego :

Prędkości kątowe obrotu i odkształcenia po pomnożeniu przez odpowiedni wymiar liniowy elementu wyrażają odpowiednio prędkość wirowania lub prędkość odkształcenia.

Równanie linii wirowej (linii prądu) :

Rotacja wektora prędkości :

Rotacją wektora prędkości v nazywa się następującą zależność :

Zależność pomiędzy składowymi rotacji a składowymi prędkości kątowej chwilowego obrotu xyz jest następująca :

Równanie ciągłości płynu :

Przepływ trójwymiarowy nieustalony płynu nieściśliwego : v=f(x,y,z,t); p=f(x,y,z,t).

Strumień masy - masa przepływająca w jednostce czasu przez daną powierzchnię.

Jednostkowa zmiana strumienia

Jeżeli zapiszemy to jako równanie analityczne : strumień * pole powierzchni * czas = masa

Suma przyrostów masy w objętości elementu w czasie dt :

Przyrost masy wynika ze zmiany gęstości po czasie dt.

Zmiana masy w elemencie płynu wskutek zmiany gęstości :

Pochodne cząstkowe strumieni :

Równanie ciągłości przepływu nieustalonego płynu ściśliwego :

Zmiany gęstości w zależności od położenia

I równanie w czasie

div - dywergencja prędkości = zmiana wektora prędkości (pochodna substancjalna).

Dla ruchu ustalonego płynu ściśliwego ρ  0

Dla ruchu ustalonego płynu nieściśliwego ρ = const.

Sens fizyczny dywergencji wektora prędkości :

Podstawowe równanie opisujące ciągłość przepływu ruchu nieustalonego :

Dywergencja wektora prędkości określa względną zmianę szybkości zmiany objętości płynu :

Dla przepływu ustalonego płynu nieściśliwego dV/dt=0 to divv=0

Natężenie przepływu :

Objętość płynu przepływająca w jednostce czasu lub masa przepływająca w jednostce czasu.

Objętościowe natężenie przepływu :

Jeżeli ρ=ρ(x,y,z,t) to posługujemy się masowym natężeniem przepływu :

Dla płynu nieściśliwego :

Dynamika :

Różniczkowe równanie ruchu Eulera płynu doskonałego :

Płyn doskonały - pozbawiony lepkości.

Siły masowe czynne :

Siły masowe bezwładności :

Zasada d'Alemberta :

Suma rzutów sił na dany kierunek równa jest zero

Analogicznie dla osi y i z

Ogólne równanie ruchu Eulera :

Mechanika Płynów - Wykład 9

- 1 -

z

v_yρ

dy

v_xρ

dz

dx

v_zρ

x

y

y

d

y

d

v_y

v_x x

x

dF

• v

F

(p+dp/dz*dz)dxdy

z

pdxdz

pdydz z (p+dp/dx*dx)dydz

x

z

(p+dp/dy*dy)dxdz pdxdy

x

y

---