Geometria wykreślna

Wykład 1

Geometria wykreślna jest nauką o metodach odwzorowań punktów, figur, brył, które tym elementom przyporządkowują obrazy leżące na płaszczyźnie rysunku. Do tego przyporządkowania (odwzorowania) niezbędne są takie przepisy, aby rzeczywiste elementy dało się przedstawić na płaszczyźnie rysunku i odwrotnie tzn. z obrazów na płaszczyźnie rysunku dało się odtworzyć kształt i położenie w przestrzeni rzeczywistych elementów.

1. Rzut środkowy

Rzutem środkowym punktu A na rzutne  nazywamy punkt A', w którym prosta rzutująca a, przechodząca przez środek rzutowania - punkt S i punkt A przebija rzutnię 

Przy rzutowaniu środkowym nie można znaleźć obrazu punktów leżących na płaszczyźnie równoległej do  i przechodzące przez punkt S. Płaszczyznę tą nazywamy płaszczyzną zniknienia.

Każdemu punktowi w przestrzeni jest przyporządkowany tylko jeden punkt na rzutni, ale jednemu punktowi na rzutni może być przyporządkowanych wiele punktów w przestrzeni. Wszystkie punkty leżące na jednej prostej rzutującej mają ten sam rzut na płaszczyźnie 

2. 
   Rzut równoległy

Rzutem równoległy punktu A na rzutnię  nazywamy punkt A', w którym prosta a ( równoległa do kierunku rzutowania k) przebija płaszczyznę rzutowania.

Podobnie jak przy rzucie środkowym jednemu punktowi przyporządkowany jest jeden punkt na płaszczyźnie rzutni, ale jeden punkt na rzutni może być obrazem wielu punktów w przestrzeni -punkty B i C.

3. Rzuty Monge'a

Aby w jednoznaczny sposób przedstawić położenie punktu w przestrzeni niezbędne są jego dwa rzuty na dwie rzutnie. Metodą taką jest rzutowanie Monge'a (Gaspard Monge 1746-1818)
w którym wyznaczamy dwa rzuty prostokątne na dwie wzajemnie prostopadłe rzutnie poziomą-₁ i pionową-₂. Prostą będąca przecięciem płaszczyzn rzutujących nazywamy osią rzutów. Układ odniesienia dzieli przestrzeń na cztery ćwiartki oznaczane cyframi rzymskimi I-IV.

Układ odniesienia jest jednak tworem przestrzennym na którym nie da się wykonywać operacji rysunkowych. Należy zatem sprowadzić ten układ do płaszczyzny rysunku. Operację tą przeprowadza się przez obrót płaszczyzny poziomej o 90 stopni tak aby dodatnia część płaszczyzny poziomej +₁ jednoczyła się z ujemną częścią płaszczyzny pionowej -₂ (rysunek).

4. Rzuty punktu A

Aby znaleźć rzuty punktu A na rzutniach ₁ i ₂ należy poprowadzić dwie proste prostopadłe do tych rzutni i przechodzące przez punkt A. Miejsca w których proste te przebijają rzutnie są rzutami punktu A - A'- rzut poziomy punktu A, A” - rzut pionowy punktu A. Odległość punktu A od rzutni ₂ nazywamy głębokością punktu i jest ona równa odległości rzutu A' od osi x. Odległość punktu A od rzutni ₁ nazywamy wysokością punktu i jest ona równa odległości rzutu A” od osi x. Po złożeniu rzutni tak aby tworzyły one płaszczyznę otrzymamy obraz punktu
w rzutach Monge'a.

5. Rzuty punktów leżących we wszystkich ćwiartkach układu

Zadania

1. Narysuj rzuty punktów: A - w=3cm, g=4cm; B - w= -3cm, g=0cm; C - w=0cm, g= -5cm;
   D - w=g=0

2. Narysuj rzuty punktu A - w=2, g=4, a następnie rzuty punktów: B- symetryczny do A względem rzutni poziomej, C - symetryczny do A względem rzutni pionowej, D - symetryczny do A względem os X

2

a

D

π

C

B

k

A'

D'

B'C'

A

a

x

x

g_A

w_A

II

IV

III

I

A'

A”

A

+π₂

+π₁

x

A'

A”

w_A

g_A

x

+π2= - π1

prosta odnosząca

x

A”

A'

B”

C'

C”

x

D”

D'

B'

D'

D”

D

C'

C”

C

B'

B”

B

x

x

A'

A”

A

π₂

π₁

-π₁

-π₂

-π2= + π1

w_A

g_A

---