Zjawisko Seebecka

            Na tym zjawisku opiera się zasada działania termopar, przyrządów służących do pomiaru temperatury. Główna zaleta to przetwarzanie bezpośrednio wielkości nieelektrycznej -temperatury na wielkość elektryczną - napięcie. Pozwala to przesyłać sygnały na duże odległości, przetwarzanie i gromadzenie danych o temperaturze badanego obiektu, a także sterowanie różnymi procesami. Ponadto termopary są niezawodne, proste i tanie.

            Aby wyjaśnić trzeba odwołać się do elektronowej budowy metali. Metal składa się z jonów dodatnich tworzących sieć krystaliczną i swobodnych elektronów poruszających się pomiędzy jonami. Koncentracja elektronów swobodnych (to liczba elektronów w jednostce objętości) jest różna w różnych metalach i zależy od temperatury. Na styku dwóch metali przeskakują elektrony z metalu o większej koncentracji do metalu o mniejszej koncentracji w skutek czego jeden z metali ładuje się dodatnio, a drugi ujemnie. Powstające pole elektryczne przeciwdziała przepływowi ładunku. Ustala się stan równowagi dynamicznej. Różnica potencjałów powstająca na styku metali nazywana jest kontaktową różnicą potencjałów, a jej wartość zależy od rodzaju stykających się metali oraz temperatury złącza. 

W przypadku obwodu zamkniętego złożonego z dwóch różnych metali, w których temperatury złącz są jednakowe, napięcie U_AB powstające na jednym ze złącz jest kompensowane przez napięcie U_BA na drugim złączu. W obwodzie prąd nie płynie. Jeżeli temperatury złącz T1 i T2 są różne to U_AB jest różne od U_BA i w obwodzie pojawi się siła termoelektryczna U= U_AB - U_BA powodująca przepływ prądu.

  spis

Zjawisko Peltiera

            Polega na wydzielaniu lub pochłanianiu ciepła Q_P podczas przepływu prądu przez złącze dwóch różnych metali lub półprzewodników. Aby przenieść ładunek elektryczny q przez złącze, na którym występuje różnica potencjałów U_AB, należy wykonać pracę

W = q U_AB

W celu utrzymania stałej temperatury złącza należy doprowadzić lub pobrać ciepło

                                           

gdzie Q_P jest ciepłem Peltiera, a P_P to stała Peltiera, która nie zależy od natężenia prądu płynącego przez złącze oraz powierzchni. W zależności od kierunku prądu ciepło jest wydzielane lub pobierane, więc Q_P może być dodatnie lub ujemne.

            Jeżeli przez złącze płynie prąd I to moc jest równa

                                   

Całkowita energia wydzielona w układzie to suma ciepła Joule'a (P_J=RI²) oraz ciepła Peltiera.

  spis

Zjawisko Thomsona

            Polega na wydzielaniu lub pobieraniu ciepła w przewodniku z prądem, którego temperatura nie jest jednakowa w każdym punkcie. Między dwoma punktami metalu o różnej temperaturze powstaje siła elektromotoryczna nazywana siłą termoelektryczną Thomsona. Niezależnie od temperatury przewodnika, w obwodzie zamkniętym zbudowanym tylko z niego wypadkowa siła elektromotoryczna równa się zeru (nie płynie prąd).

Różnica potencjałów między punktami tego samego metalu zależy tylko od różnicy ich temperatur (nie zależy od temperatury punktów metalu znajdujących się między nimi).

                                       

σ to współczynnik Thomsona i ma wymiar V/K (napięcie powstałe między dwoma punktami o jednostkowej różnicy temperatury).

Jeżeli przez przewodnik, w którym występuje gradient temperatury płynie prąd, to w czasie t następuje wydzielanie lub pochłanianie ciepła w ilości

                                       

Dla małych różnic temperatur stosuje się przybliżenie

                                       

Zjawisko to nazywamy  zjawiskiem Thomsona. Współczynnik Thomsona uznaje się za dodatni jeżeli przepływ prądu od punktu o temperaturze wyższej do punktu o temperaturze niższej powoduje wydzielanie ciepła, w przeciwnym przypadku jest ujemny. Współczynnik Thomsona zależy od temperatury.

  spis

Napięcie kontaktowe Galvaniego

            W temperaturze zera bezwzględnego elektrony zajmują stany o najniższych wartościach energii. Ponieważ liczba elektronów jest ograniczona, w temperaturze 0 K wszystkie stany o energii niższej od pewnej energii granicznej (oznaczoną E_F) są zajęte przez elektrony, natomiast stany o energii wyższej nie są obsadzone. Energię E_F nazywamy energią Fermiego.

W temperaturze wyższej od zera bezwzględnego część elektronów zajmuje stany o energii wyższej od Fermiego, a więc część stanów o energii niższej pozostaje nieobsadzona. Energia Fermiego definiowana jest w tym przypadku jako energia stanu, dla którego prawdopodobieństwo obsadzenia wynosi ½. Energia Fermiego w temperaturze T większej od zera dana jest przybliżonym wyrażeniem

            gdzie              
                                                                             

E_F to energia Fermiego w temperaturze zera bezwzględnego, k_B- stała Boltzmanna, h- stała Planka, n- koncentracja elektronów, m_e- masa elektronu.

            Jeżeli wykonamy złącze dwóch różnych metali, to na złączu powstanie kontaktowa różnica potencjałów Galvaniego

                                   

gdzie e to ładunek elektronu. Różnica potencjałów Galvaniego zależy od temperatury złącza oraz różnicy koncentracji elektronów swobodnych w metalach A i B.

  spis

Skalowanie termopary

            Zjawisko termoelektryczne polegające na powstawaniu różnicy potencjałów na styku dwóch różnych metali jest wykorzystywane do budowy termopar. Termoparą nazywamy obwód zbudowany z dwóch różnych metali lub półprzewodników.

Jeżeli temperatury złącz różnią się między sobą ( T₁ jest różne od T₂ ), to między punktami C i D powstaje siła termoelektryczna E. Siła ta jest wypadkową różnicy potencjałów Galvaniego oraz Thomsona. Dla niezbyt dużych różnic temperatur między złączami możemy złożyć, że siła termoelektryczna jest proporcjonalna do różnicy temperatur T₁-T₂.

Aby wyznaczyć siłę termoelektryczną E, do obwodu musimy dołączyć miernik. Przewody łączące miernik z termoparą oraz połączenia wewnątrz miernika mogą być wykonane z różnych materiałów. Jeżeli w obwód termopary włączymy inne przewodniki tak, aby temperatury dodatkowych spojeń były jednakowe, to siła termoelektryczna nie ulegnie zmianie (jest to prawo „trzeciego metalu”).

            Termopary najczęściej wykonywane są z:

        miedzi i konstantanu (40% Ni i 60% Cu)

        platyny i platynorodu (90% Pt i 10% Rh)

        irydu i stopu irydu z rodem

  spis

 

Wyznaczanie temperatury krzepnięcia stopu

            Temperaturę krzepnięcia stopu wyznaczamy mierząc zależność temperatury stopu od czasu (podczas stygnięcia). Zakładamy, że temperatura między stygnącym ciałem i otoczeniem jest mała. Ciało o temperaturze wyższej od temperatury otoczenia stygnie, przekazując energię do otoczenia. Energia przekazywana jest poprzez konwekcję, przewodnictwo cieplne oraz promieniowanie.

Ilość ciepła przekazywana w jednostce czasu (moc) poprzez konwekcję

                                           

gdzie T- temperatura, S- powierzchnia stygnącego ciała, k_B- stała , T- różnica między temperaturą ciała i temperaturą otoczenia T_0.

Moc przekazana do otoczenia na skutek przewodnictwa cieplnego

                                           

gdzie K oznacza współczynnik przewodnictwa cieplnego.

Moc tracona przez promieniowanie jest różnicą między mocą wypromieniowaną przez ciało i mocą pobraną z otoczenia:

                             prawo Stefana -Boltzmanna

A- współczynnik absorpcji, σ_SB  - stała Stefana -Boltzmanna

Całkowite ciepło, moc:

               

gdzie h to sumaryczny współczynnik strat ciepła.

Ciepło dQ przekazane przez stygnące ciało do otoczenia powoduje obniżanie jego temperatury o dT

                                           

Szybkość zmian temperatury jest równa szybkości zmian różnicy temperatur, możemy więc zastąpić dT/dt przez d(T)/dt

Porównując  

                           
    oraz

   otrzymujemy                        

                                       

A rozwiązując to równanie mamy zależność temperatury stygnącego ciała od czasu

                       

T₀ to różnica między temperaturą ciała i otoczenia w chwili t = 0. Równanie to nazywane jest równaniem Newtona. Wynika z niego, że szybkość stygnięcia ciała jest proporcjonalna do różnicy między temperaturą ciała oraz temperaturą otoczenia i zależy eksponencjalnie  od sumarycznego współczynnika strat ciepła oraz pola powierzchni stygnącego ciała. Szybkość stygnięcia jest tym mniejsza, im większa jest pojemność cieplna ciała.

Jeżeli podczas stygnięcia zachodzi przemiana fazowa pierwszego rodzaju, w naszym przypadku krzepnięcie ciała, to wydziela się ciepło bez zmiany temperatury ciała i jest to ciepło przemiany fazowej. Wtedy na krzywej stygnięcia pojawia się plateau (plato) - pozioma część wykresu. Temperatura, w której obserwowane plateau odpowiada temperaturze przemiany fazowej. Długość plateau związana jest z ciepłem przemiany fazowej. Linia przerywana oznacza zjawisko przechłodzenia. Tzn. można uzyskać ciecz o temperaturze niższej od temperatury krzepnięcia. Po pojawieniu się zarodków fazy stałej ciecz gwałtownie krystalizuje wydzielając ciepło krzepnięcia.

Reguła Pauliego, zwana też zakazem Pauliego, została zaproponowana przez Wolfganga Pauliego w 1925 dla wyjaśnienia zachowania się fermionów, czyli cząstek o spinie połówkowym. Reguła Pauliego jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego twierdzenia o związku spinu ze statystyką.

Zakaz Pauliego głosi, że w danym stanie kwantowym może znajdować się jeden fermion - albo inaczej, że żadne dwa fermiony nie mogą w jednej chwili występować w dokładnie tym samym stanie kwantowym.

W sformułowaniu szczególnym - Jeżeli wśród stanów jednocząstkowych
wystąpią choćby dwa jednakowe stany, np. ψ₁ = ψ₂, to wyznacznik Slatera znika tożsamościowo.

Zakaz Pauliego w sformułowaniu szczególnym stosuje się ściśle do układu jednakowych fermionów które nie oddziałują ze sobą. Dla układu jednakowych fermionów, które z sobą oddziałują, ma znaczenie przybliżone.

Zakaz Pauliego odgrywa ważną rolę przy opisie własności jąder atomowych i atomów. Stanowi punkt wyjścia dla zasady rozbudowy powłok elektronowych oraz wyjaśnienia okresowości konfiguracji elektronowych atomów.

Reguła ta ma wielkie znaczenie w chemii i fizyce atomowej. Szereg fundamentalnych własności materii jest jej wynikiem, gdyż materia jest zbudowana właśnie z fermionów, z których najczęściej spotykane to protony, elektrony i neutrony.

Implikacje te to:

• Tworzenie się struktury orbitalowej poziomów elektronów wszystkich atomów, z której z kolei wynikają wszystkie własności chemiczne pierwiastków chemicznych. Gdyby reguła Pauliego nie obowiązywała dla elektronów, wszystkie one przebywałyby na orbitalu 1s każdego atomu, gdyż elektrony położone na tym orbitalu mają zawsze niższą energię w porównaniu z elektronami zajmującymi wszystkie inne orbitale. W takiej sytuacji wszystkie pierwiastki zachowywałyby się jak gazy doskonałe i nie byłoby żadnych przemian chemicznych. Każdy orbital może jednak zostać obsadzony przez co najwyżej dwa elektrony różniące się spinem, co stanowi podstawowe prawo mające swe odbicie w układzie okresowym pierwiastków.

• Nieprzenikalność materii przez samą siebie. Na skutek "działania" reguły Pauliego żaden z dwóch fermionów nie może jednocześnie przebywać w tym samym miejscu, jeśli znajdują się w tym samym stanie kwantowym. W wielu przypadkach uniemożliwia to występowanie pewnych konfiguracji przestrzennych orbitali blisko położonych atomów czy cząsteczek. W związku z tym atomy nie mogą przenikać się nawzajem w dowolny sposób, a w momencie zderzenia dwóch atomów dochodzi albo do ich połączenia w związek chemiczny, albo sprężystego odbicia.

• Względna trwałość obiektów materialnych - z reguły Pauliego wynika, że wszelkie przemiany materii muszą być związane z jakimś efektem energetycznym, gdyż są zawsze związane ze zmianami stanów kwantowych tworzących je fermionów. Każda taka przemiana wymaga przekroczenia pewnej bariery potencjału energetycznego. Przemiany te zawsze podlegają regułom termodynamiki.

Poziom Fermiego - w fizyce statystycznej, w statystyce Fermiego-Diraca, w układzie nieoddziałujących fermionów, najmniejsza energia o jaką zwiększy się energia układu fermionów po dodaniu jeszcze jednego elementu. Energia ta odpowiada maksymalnemu poziomowi energetycznemu, zajętemu przez fermion (elektron) w układzie znajdującym się w temperaturze zera bezwzględnego, w której wszystkie poziomy aż do energii Fermiego są zajęte, a powyżej wolne. Istnienie tego poziomu jest konsekwencją zakazu Pauliego a ten konsekwencją tego, iż elektrony są fermionami (podlegają statystyce Fermiego - Diraca).

W swobodnym gazie elektronowym stany kwantowe elektronu mogą być opisane przez jego pęd
(lub wektor falowy k) i spin. Dla nierelatywistycznych elektronów ich energia jest równa

gdzie m_* jest masą efektywną elektronu w krysztale lub masą spoczynkową w próżni.

Bardzo podobna sytuacja ma miejsce w środowisku periodycznym, takim jak kryształ (elektrony niosą tam kwazipęd - analog pędu w układach periodycznych z funkcjami Blocha jako funkcjami własnymi). Energia Fermiego wyznacza w przestrzeni pędów pewną powierzchnię nazywaną powierzchnią Fermiego. Dla swobodnego gazu elektronowego jest to sfera.

Zgodnie z zakazem Pauliego zajmowane są kolejne poziomy energetyczne do ostatniego, nazywanego poziomem Fermiego. Jego energię nazywa się energią Fermiego (ε_F). W temperaturze zera bezwzględnego energia Fermiego jest równa potencjałowi chemicznemu.

Pojęcie poziomu Fermiego dotyczy nie tylko elektronów w atomie wieloelektronowym ale wszystkich fermionów. Swobodny gaz fermionowy (np. gaz elektronowy w metalu czy białym karle) charakteryzuje się jeszcze pędem Fermiego. Pęd Fermiego p_F jest pędem fermionu którego energia jest równa energii Fermiego:

Energia Fermiego swobodnych elektronów jest związana z potencjałem chemicznym μ równaniem

gdzie ε_F jest energią Fermiego, k jest stałą Boltzmanna a T jest temperaturą.
Dla temperatur mniejszych niż 10⁵K potencjał chemiczny jest w przybliżeniu równy energii Fermiego.

Praca wyjścia - najmniejsza energia, jaką należy dostarczyć elektronom danego ciała aby opuściły to ciało i stały się elektronami swobodnymi.

Praca wyjścia jest jednym z parametrów charakteryzujących powierzchnię przewodnika lub półprzewodnika. Określa zdolność danej substancji do emisji elektronów pod wpływem różnych czynników - np. pola elektrycznego, energii cieplnej, światła, promieniowania albo padających cząstek.

Praca wyjścia określa także stykową różnicę potencjałów (napięcie kontaktowe).

Często używaną jednostką pracy wyjścia jest elektronowolt.

Dla czystych powierzchni polikrystalicznych pierwiastków praca wyjścia wynosi: cez - 1,8 eV, wolfram - 4,5 eV, platyna - 5,3 eV. Dla katody aktywowanej cezem wynosi około 1 eV.

Równowaga dynamiczna jest rodzajem stanu równowagi pomiędzy siłami, zjawiskami lub procesami (fizycznymi, chemicznymi, społecznymi, biologicznymi, doboru naturalnego itp.), w której:

• w stanie równowagi siły są sobie równe - ich wypadkowa równa jest zeru:

• satelita, księżyc lub planeta na orbicie (fizyka)

• w stanie równowagi szybkości procesów są sobie równe - ich wypadkowa równa jest zeru:

• np. równowaga chemiczna (chemia)

Szczególną cechą równowagi dynamicznej jest to, że dla układu w stanie równowagi z reguły zmiana parametrów (w pewnych granicach - zależnie od charakteru zjawiska) prowadzi do ilościowej (a nie jakościowej) zmiany stanu równowagi, ale w mniejszym stopniu niż by to wynikało z samej zmiany takiej jak ją wprowadzono - oznacza to reakcję na zmianę opisywaną w chemii przez regułę przekory, albo jako sprzężenie zwrotne ujemne.

Układy dynamiczne mają z reguły ograniczoną odporność na zewnętrznie spowodowane zmiany i po przekroczeniu pewnych granic zmian parametrów układ może zmienić się gwałtowniej przechodząc zmianę jakościową w wyniku czego mamy do czynienia z zupełnie innym stanem równowagi. Ściślej, mówimy, że układ jest w stanie równowagi chwiejnej, gdy wystarczy niewielka zmiana do wyprowadzenia go ze stanu równowagi (odpowiada to maksimum energii), obojętnej, gdy niewielka zmiana powoduje niewielką zmianę stanu układu, ale nadal jest to stan równowagi (energia stała na otoczeniu), trwałej lub metatrwałej gdy po dokonaniu niewielkiej zmiany układ powraca do stanu początkowego (odpowiednio globalne i lokalne minimum energii).

Np. w chemii tzw. układ buforowy składający się ze słabego kwasu oraz jego soli z mocną zasadą charakteryzuje się tzw. pojemnością buforową co oznacza słabą reakcję (niewielkie zmiany pH) na dodawanie kwasu lub zasady.

• Jeżeli dodamy za dużo mocnej zasady, wówczas zobojętnimy cały wolny kwas - pH zmieni się bardzo silnie i pH układu będzie określane praktycznie przez nadmiar zasady, a więc będzie to równowaga inna jakościowo niż na początku

• Jeżeli dodamy za dużo mocnego kwasu, wówczas przereaguje cała sól - zostanie słaby kwas i nadmiar mocnego kwasu - pH zmieni się bardzo silnie i pH układu będzie określane praktycznie przez nadmiar mocnego kwasu, a więc znów będzie to równowaga inna jakościowo niż na początku.

Termopara

Schemat termopary

Termoelement

Termopara (termoogniwo, termoelement, ogniwo termoelektryczne) to czujnik temperatury wykorzystujący zjawisko Seebecka, będący połączeniem dwóch różnych metali.

Składa się z pary (dwóch) różnych metali zwykle w postaci przewodów, spojonych na dwóch końcach. Jedno złącze umieszczane jest w miejscu pomiaru, podczas gdy drugie utrzymywane jest w stałej temperaturze odniesienia. Pod wpływem różnicy temperatury między miejscami złączy (pomiarowego i "odniesienia") powstaje różnica potencjałów (siła elektromotoryczna), zwana w tym przypadku siłą termoelektryczną, proporcjonalna do różnicy tych temperatur. Spoina pomiarowa może znajdować się w obudowie o dużym przewodnictwie cieplnym. Instaluje się ją w miejscu pomiaru temperatury. Złącze odniesienia może umieszczane w ściśle określonej temperaturze odniesienia, np. topniejącym lodzie. Złącze to może nie być złączem bezpośrednim a zamkniecie obwodu odbywa się poprzez zaciski miernika.

Termopary odznaczają się dużą dokładnością i elastycznością konstrukcji, co pozwala na ich zastosowanie w różnych warunkach. Wadą jest mechaniczna nietrwałość złącza pomiarowego i możliwość przepływu prądu poza obwodem termopary, gdy złącze nie jest izolowane. Izolacja złącza eliminuje ten efekt, ale wydłuża czas reakcji termopary na zmianę temperatury. Dlatego w pomiarach o dużej dynamice zmian stosuje się termopary bez osłony.

Materiały wykorzystywane do budowy termoelementów powinny w miarę możliwości posiadać:

• wysoką temperaturę topnienia,

• dużą odporność na czynniki zewnętrzne,

• małą rezystywność,

• wysoką temperaturę pracy ciągłej,

• mały współczynnik cieplny rezystancji,

• niezmienność parametrów w czasie.

Do budowy wykorzystuje się metale szlachetne: platyna i platynorod, wolfram i molibden, oraz nieszlachetne. Np.: żelazo i miedź-nikiel, miedź i miedź-nikiel, nikiel-chrom i nikiel-aluminium.

Zalety termopar [edytuj]

• nie wymagają zewnętrznego zasilania

• niewielkie rozmiary - możliwość lokalnego pomiaru temperatury

• niska pojemność cieplna

• mała bezwładność czasowa

• szeroki zakres pomiarowy przy dość dobrej liniowości

• prostota budowy

• duża niezawodność

Pomimo bardzo prostej konstrukcji, przemysłowe wykonanie dokładnych termopar o powtarzalnych charakterystykach nie jest zadaniem łatwym. Dlatego też termopary nie są tak tanie jak się powszechnie uważa. Własności metrologiczne termopary zależą przede wszystkim od jakości drutów użytych do wykonania termoelektrod (ich czystości). Istotny jest też dobór przyrządu użytego do pomiaru napięcia termoelektrycznego, gdyż napięcia powstające w termoparach nie przekraczają kilkudziesięciu miliwoltów. W przypadku termopar z metali szlachetnych wartości te są jeszcze mniejsze - kilka miliwoltów.

Termoparę można wykonać samodzielnie, nawet do bardzo zaawansowanych pomiarów. Wymaga ona jednak cechowania w zakresie temperatur, w jakim ma być użyta. Dokładnie przeprowadzone cechowanie umożliwia korzystanie z termopary w bardzo szerokim zakresie temperatur, nawet jeżeli zależność U(ΔT) przestaje już być liniowa.

Pierwsze prawo Ohma [edytuj]

Prawo Ohma mówi, że natężenie prądu stałego I jest proporcjonalne do całkowitej siły elektromotorycznej w obwodzie zamkniętym lub do różnicy potencjałów (napięcia elektrycznego U) między końcami części obwodu nie zawierającej źródeł siły elektromotorycznej.

Prawidłowość tę odkrył w 1827 roku niemiecki fizyk, profesor politechniki w Norymberdze i uniwersytetu w Monachium Georg Simon Ohm. Można ją opisać jako:

Współczynnik proporcjonalności w tej relacji nazywany jest konduktancją, oznaczaną przez G.

lub w ujęciu tradycyjnym:

Odwrotność konduktancji nazywa się rezystancją (lub oporem elektrycznym) przewodnika i oznaczana jest wielką literą R:

Prawo Ohma określa opór elektryczny przewodnika:

Prawo to jest prawem doświadczalnym i jest dość dokładnie spełnione dla ustalonych warunków przepływu prądu, szczególnie temperatury przewodnika. Materiały, które się do niego stosują, nazywamy przewodnikami omowymi lub "przewodnikami liniowymi" - w odróżnieniu od przewodników nieliniowych, w których opór jest funkcją natężenia płynącego przez nie prądu. Prawo to także nie jest spełnione gdy zmieniają się parametry przewodnika, szczególnie temperatura. Ze wszystkich materiałów przewodzących prawo Ohma najdokładniej jest spełnione w przypadku metali.

Różniczkowy opór elektryczny [edytuj]

Dla przewodników nie spełniających prawa Ohma oprócz wyżej wymienionego prawa, zwanego tu prawem statycznym, określa się też dynamiczne (różniczkowe) prawo Ohma:

• różniczkowe prawo Ohma, w postaci:

Jeśli odbiornik spełnia pierwsze prawo Ohma, to jego opór statyczny jest równy oporowi dynamicznemu.

Różniczkowe prawo Ohma [edytuj]

Obecnie różniczkowe prawo Ohma w ośrodkach ciągłych wyraża się w postaci wektorowej:

Gdzie J to gęstość prądu, σ to przewodność (która w ogólnym przypadku jest tensorem, a w ośrodkach izotropowych jest stałą), po działaniem na dany infitezymalny element przewodnika gęstości siły
σ jest to przewodność elektryczna właściwa.

W polu elektromagnetycznym w przewodniku na nośniki prądu działa gęstość siły Lorentza na jednostkowy ładunek o wartości:

,

gdzie:

- wektor indukcji pola magnetycznego.

- jest to wektor natężenia pola elektrycznego.

Ponieważ prędkość nośników jest mała w porównaniu z prędkością termiczną nośników prądu, którego średnia prędkość jest równa zero a nie jego wartość bezwzględna, zatem różniczkowe prawo Ohma, przyjmuje postać:

Drugie prawo Ohma [edytuj]

Załóżmy, że mamy przewodnik o średnicy S długości l, i jest podłączony do prądu o napięciu U, zatem mamy co do wartości z definicji natężenia pola elektrycznego poprzez iloraz różnicy potencjałów na odbiorniku przez jego długość:

,

a także korzystając z definicji gęstości prądu, jako ilorazu natężenia prądu przez średnicę przewodnika w której płynie prąd, zatem mamy:

.

Korzystając z definicji różniczkowego prawa Ohma otrzymujemy:

Korzystając z pierwszego prawa Ohma oraz jeśli oznaczymy przez:

,

co jest oporem elektrycznym właściwym, to otrzymujemy treść drugiego prawa Ohma.

Opór przewodnika z prądem zależy od długości przewodnika z prądem jest do niego proporcjonalna i odwrotnie proporcjonalna do średnicy przewodnika z prądem.

---