2.3.5. Wyboczenie

2.3.5.1. Równanie linii ugięcia. Przykłady.

 

Przy omawianiu zagadnień rozciągania, ściskania, skręcania analizowaliśmy odkształcenia wywołane przez te rodzaje obciążeń. Odkształcenia jak wydłużenie, kąt skręcania, wykorzystano m.in. przy rozwiązywaniu zadań statycznie niewyznaczalnych. Ponieważ nie zajmujemy się zginaniem belek statycznie niewyznaczalnych, problem odkształceń belek zginanych wykorzystamy przy analizie wyboczenia.
Porównując wzór na krzywiznę belki zginanej momentem Mg (por. rozdz. 2.3.3.4) ze znanym z geometrii różniczkowej wzorem na krzywiznę linii płaskiej otrzymamy równanie różniczkowe linii ugięcia:

(2.30)

Po scałkowaniu równania (2.30) otrzymamy kąty  ugięcia osi pręta oraz równanie linii ugięcia (strzałkę ugięcia).

Przykład 2.37.

Dla belki obciążonej jak na rysunku wyznaczyć linię ugięcia oraz kąt ugięcia pręta.

Wyznaczamy reakcje podpór:

Wyznaczamy momenty gnące w poszczególnych przedziałach:

Równania różniczkowe linii ugięcia belki mają postać:

Po scałkowaniu otrzymamy kąty ugięcia:

Po ponownym scałkowaniu otrzymamy linię ugięcia:

Stałe całkowania C₁ , C₂ , D₁ , D₂ wyznaczamy z warunków brzegowych oraz z warunków ciągłości:
Dla x₁ = 0 y = 0 oraz x₂ = l y = 0
Na granicy przedziałów ugięta oś belki jest linią ciągłą:

Po wyznaczeniu stałych całkowania otrzymamy kąty ugięcia osi belki na podporach.

Strzałka ugięcia belki w połowie rozpiętości wynosi:

Jeżeli siła P będzie przyłożona w środku belki otrzymamy:

Znaki minus we wzorach na strzałki i kąty ugięcia można pominąć, jeżeli nie budzą wątpliwości.
Wzory na strzałki ugięcia f i kąty ugięcia  dla kilku prostych przypadków przedstawiono w tabeli 2.3.

schemat	kąt ugięcia	strzałka ugięcia
	 = Pl^2/2EJ	f = Pl^3/3EJ
	 = ql^3/6EJ	f = ql^4/8EJ
	 = ql^3/24EJ	f = (5/384)*(ql^4/EJ)

Tabela 2.3 - Wzory na odkształcenia belek zginanych

 

2.3.5.2.Wyboczenie pręta ściskanego

Ważnym zagadnieniem w wytrzymałości materiałów, oprócz obliczeń wytrzymałościowych, odkształcalności jest stateczność układu. Równowaga jest stateczna, jeżeli dowolnie niewielkie odkształcenie układu wywołuje siły przywracające mu postać pierwotną. Jeżeli siła ściskająca P pręt będzie wzrastać, to przy pewnej jej wartości P_kr minimalny impuls (Q = 0) (Rys.2.22a) spowoduje, że pręt nie wróci do prostoliniowego stanu równowagi lecz pozostanie w stanie równowagi przy krzywoliniowej postaci pręta.

Jest to stan, gdzie oprócz ściskania siłą P_kr , powstaje również zginanie pręta momentem Mg = P_kr  y, co może spowodować zniszczenie pręta nawet przy niewielkim wzroście siły ściskającej. Przejście układu ze stanu równowagi chwiejnej lub obojętnej (krzywoliniowa postać równowagi pręta) nazywamy utratą stateczności układu, a siłę powodującą zmianę stanu równowagi nazywamy siłą krytyczną P_kr (lub siłą wyboczającą).
Wykorzystując równanie różniczkowe linii ugięcia (por.2.30) oraz rys.2.22b można uzyskać równanie linii ugięcia pręta ściskanego siłą krytyczną, a stąd najmniejszą wartość siły krytycznej, która dla pręta ściskanego między dwoma przegubami wynosi:

(2.31)

Jeżeli rozpatrzymy inne przypadki (rys.2.23) zamocowania końców pręta to otrzymamy wzory na siłę krytyczną, podobnie jak wzór (2.31). Zwróćmy uwagę, że przy innych mocowaniach pręta linie ugięcia składają się z fragmentów linii ugięcia podstawowego przypadku przedstawionego na rys.2.22
Wprowadzając pojęcie długości wyboczeniowej l_w zamiast l we wzorze (2.31), możemy wyznaczyć siłę krytyczną P_kr, dla różnych przypadków ściskania prętów.

 

2.3.5.3.Naprężenia krytyczne. Granice stosowalności wzorów wyboczeniowych.

Jeżeli wyznaczymy siłę krytyczną, to oczywiście uzyskamy naprężenia krytyczne (σ _kr = P_kr / F), przy których następuje utrata stateczności pręta ściskanego.
Wprowadzając pojęcie minimalnego promienia bezwładności przekroju:

a następnie wielkość charakteryzującą wymiary pręta:

zwaną smukłością pręta, otrzymamy wzór (2.32) na naprężenia krytyczne zwane wzorem Eulera:

(2.32)

Wzór Eulera możemy przedstawić na wykresie we współrzędnych s, σ (Rys.2.24).

Ze wzoru (2.32) możemy korzystać tylko wtedy, gdy naprężenia nie przekraczają granicy stosowalności prawa Hook'a (σ _kr  σ _prop), czyli:

stąd

Obliczenia za pomocą wzoru (2.32) możemy przeprowadzić tylko wtedy, gdy smukłość pręta s jest większa od smukłości granicznej S_gr. Dla smukłości mniejszej od S_gr stosuje się wzory (krzywe) otrzymane doświadczalnie dla danego materiału.

 

2.3.5.4.Praktyczne metody przy obliczaniu prętów ściskanych.

W celu ominięcia kłopotów przy obliczaniu prętów ściskanych za pomocą wzoru Eulera i innych krzywych doświadczalnych skorzystajmy z normy PN-62/B-03200. Zgodnie z tą norma "Konstrukcje stalowe, obliczenia statyczne i projektowanie" sprawdzenie na wyboczenie pręta ściskanego siłą P przeprowadzamy według wzoru:

(2.33)

gdzie ( < 1) jest współczynnikiem wyboczeniowym, zależnym od smukłości s pręta i granicy plastyczności Re materiału pręta (wg PN-62/B-03200).
Nowsza norma PN-76/B-03200 wydana w miejsce poprzedniej normy zaleca przeprowadzać obliczenia według wzoru:

(2.34)

gdzie (m._w > 1) jest współczynnikiem wyboczeniowym zależnym od smukłości s i wytrzymalości obliczeniowej R (wg PN-76/B-03200).
Dalsze modyfikacje w obliczeniach elementów ściskanych na wyboczenie wprowadza najnowsza norma: PN-90/B-03200.

---