Naprężenie - miara sił wewnętrznych powstających w ciele pod wpływem zewnętrznej, odkształcającej siły. W danym punkcie naprężanie określone jest wektorem P=dF/dS, gdzie dF/dS oznacza siłę działającą na nieskończenie mały element powierzchni przekroju ciała. nNaprężenie dzieli się na: działające w kierunku prostopadłym do powierzchni przekroju S, nazywane naprężeniem normalnym σ, oraz na działające w kierunku stycznym do powierzchni (naprężenie styczne τ), przy czym zachodzi równość P²=σ²+τ². Stan naprężenia w danym punkcie wynikający z wszystkich wektorów naprężenia określa tensor naprężeń.

Zasada de Saint-Venanta - jeżeli na sprężyste ciało działa układ sił statycznych przyłożonych na powierzchni małej w stosunku do powierzchni całego ciała i zastąpimy ten układ sił dowolnym innym układem - jednak statycznie mu równoważnym (o równej sumie układu i sumie momentów sił układu względem dowolnego punktu) - to istnieje taki przekrój tego ciała, dostatecznie odległy od miejsca przyłożenia sił, że różnice w naprężeniach, odkształceniach i przemieszczeniach, pochodzących od obu przypadków obciążenia, są dowolnie małe (tzn. wpływ działających sił uśrednia się).

Prawo Hooke'a

Wartość naprężenia normalnego do przekroju jest proporcjonalna do wartości względnego wydłużenia w kierunku prostopadłym do tego przekroju.

gdzie:
E - współczynnik (moduł) sprężystości wzdłużnej (moduł Younga), e - wydłużenie względne, które obliczamy ze wzoru

gdzie:
∆l - całkowite wydłużenie (skrócenie),
l - długość początkowa.

Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a

Naprężenia dopuszczalne
Naprężenia, które mogą występować w materiale bez obawy naruszenia warunku wytrzymałości i warunku sztywności, nazywamy naprężeniami dopuszczalnymi.
Oznaczamy je literą k z odpowiednim indeksem dolnym, charakteryzującym rodzaj odkształcenia:
kr - naprężenie dopuszczalne przy rozciąganiu,
kc - naprężenie dopuszczalne przy ściskaniu,
kp - naprężenie dopuszczalne przy zginaniu,
kt - naprężenie dopuszczalne przy ścinaniu,
ks - naprężenie dopuszczalne przy skręcaniu.
Liczbę n oznaczającą, ile razy naprężenie dopuszczalne jest mniejsze od granicy wytrzymałości (dla materiałów kruchych) lub od granicy plastyczności (dla materiałów plastycznych), nazywa się współczynnikiem bezpieczeństwa.
W przypadku rozciągania materiałów kruchych


Dla materiałów plastycznych

gdzie:
Rm - granica wytrzymałości na rozciąganie, otrzymana w wyniku prób wytrzymałościowych,
Re - granica plastyczności.

Prawo Hooke'a przy ścinaniu
Jeżeli rozpatrzymy kostkę sześcienną w stanie czystego ścinania, to stwierdzimy przejście sześcianu w równoległościan. Ściany sześcianu pozostaną w dalszym ciągu płaskie, a kąty proste ulegną odkształceniu o kąt g (rys.2.13)

Siła normalna (osiowa, podłużna) - wzajemne oddziaływanie części konstrukcji przeciwdziałające ich przesunięciu się wzdłuż osi pręta w rozważanym punkcie.

Siła tnąca (poprzeczna) - wzajemne oddziaływanie części konstrukcji przeciwdziałające ich przesunięciu się poprzecznie do osi pręta w rozważanym punkcie

Moment gnący - wzajemne oddziaływanie części konstrukcji przeciwdziałające ich wzajemnemu obrotowi w rozważanym punkcie.

Między momentem gnącym, siłą tnącą i obciążeniem ciągłym zachodzą związki: (napisane na kartce)

Związki te można wykorzystać przy sprawdzeniu poprawności zapisu i wykresów momentów gnących i sił tnących.

Zginanie ukośne - jest to takie obciążenie przyłożone do ścianek czołowych pręta prostego, pryzmatycznego, o dowolnym litym przekroju poprzecznym, które na obu końcach pręta redukuje się do przeciwnych par, leżących w tej samej płaszczyźnie ale nie zawierającej żadnej z osi głównych centralnych.

Zależności między odkształceniami a naprężeniami (E i G)

Odkształcenia uwarunkowane są odpowiednimi własnościami fizycznymi materiału, które z kolei zależą od jego struktury. Naprężenia zależą od wzajemnego położenia atomów w sieci ciała poddanego działaniu sił zewnętrznych. Tak więc odkształcenia i naprężenia zależą od struktury krystalicznej ciała

stałego i mogą być powiązane między sobą pewnymi zależnościami funkcyjnymi. Charakter funkcji zależy od wielkości naprężeń oraz odpowiadających im odkształceń i określa się go na podstawie

wyników prób wytrzymałościowych. W przedziale proporcjonalności

zależność między odkształceniem a naprężeniem ujmuje prawo Hooke'a, w myśl którego, w ogólnym przypadku ciał anizotropowych, składowe tensora odkształceń są liniowymi jednorodnymi funkcjami składowych tensora naprężeń. Natomiast w przypadku odkształceń objętościowo-postaciowych, których przykładem może być jednostronne rozciąganie lub ściskanie ciała,

rolę współczynnika proporcjonalności spełnia odwrotność modułu sprężystości podłużnej E, znanego też jako moduł Younga.

Liczba Poissona - jest stosunkiem odkształcenia poprzecznego do odkształcenia podłużnego przy osiowym stanie naprężenia. Współczynnik Poissona jest wielkością bezwymiarową i nie określa sprężystości materiału, a jedynie sposób w jaki się on odkształca.

Uogólnione prawo Hooke'a stwierdza, że przyłożone do kryształu jednorodne naprężenie t_ij wywołuje jednorodne odkształcenie r_kl takie, że każda składowa tensora odkształceń r_kl związana jest ze wszystkimi składowymi tensora naprężeń t_ij, czyli: (napisane na kartce)

Naprężenie - miara sił wewnętrznych powstających w ciele pod wpływem zewnętrznej, odkształcającej siły. W danym punkcie naprężanie określone jest wektorem P=dF/dS, gdzie dF/dS oznacza siłę działającą na nieskończenie mały element powierzchni przekroju ciała. nNaprężenie dzieli się na: działające w kierunku prostopadłym do powierzchni przekroju S, nazywane naprężeniem normalnym σ, oraz na działające w kierunku stycznym do powierzchni (naprężenie styczne τ), przy czym zachodzi równość P²=σ²+τ². Stan naprężenia w danym punkcie wynikający z wszystkich wektorów naprężenia określa tensor naprężeń.

Zasada de Saint-Venanta - jeżeli na sprężyste ciało działa układ sił statycznych przyłożonych na powierzchni małej w stosunku do powierzchni całego ciała i zastąpimy ten układ sił dowolnym innym układem - jednak statycznie mu równoważnym (o równej sumie układu i sumie momentów sił układu względem dowolnego punktu) - to istnieje taki przekrój tego ciała, dostatecznie odległy od miejsca przyłożenia sił, że różnice w naprężeniach, odkształceniach i przemieszczeniach, pochodzących od obu przypadków obciążenia, są dowolnie małe (tzn. wpływ działających sił uśrednia się).

Prawo Hooke'a

Wartość naprężenia normalnego do przekroju jest proporcjonalna do wartości względnego wydłużenia w kierunku prostopadłym do tego przekroju.

gdzie:
E - współczynnik (moduł) sprężystości wzdłużnej (moduł Younga), e - wydłużenie względne, które obliczamy ze wzoru

gdzie:
∆l - całkowite wydłużenie (skrócenie),
l - długość początkowa.

Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a

Naprężenia dopuszczalne
Naprężenia, które mogą występować w materiale bez obawy naruszenia warunku wytrzymałości i warunku sztywności, nazywamy naprężeniami dopuszczalnymi.
Oznaczamy je literą k z odpowiednim indeksem dolnym, charakteryzującym rodzaj odkształcenia:
kr - naprężenie dopuszczalne przy rozciąganiu,
kc - naprężenie dopuszczalne przy ściskaniu,
kp - naprężenie dopuszczalne przy zginaniu,
kt - naprężenie dopuszczalne przy ścinaniu,
ks - naprężenie dopuszczalne przy skręcaniu.
Liczbę n oznaczającą, ile razy naprężenie dopuszczalne jest mniejsze od granicy wytrzymałości (dla materiałów kruchych) lub od granicy plastyczności (dla materiałów plastycznych), nazywa się współczynnikiem bezpieczeństwa.
W przypadku rozciągania materiałów kruchych


Dla materiałów plastycznych

gdzie:
Rm - granica wytrzymałości na rozciąganie, otrzymana w wyniku prób wytrzymałościowych,
Re - granica plastyczności.

Prawo Hooke'a przy ścinaniu
Jeżeli rozpatrzymy kostkę sześcienną w stanie czystego ścinania, to stwierdzimy przejście sześcianu w równoległościan. Ściany sześcianu pozostaną w dalszym ciągu płaskie, a kąty proste ulegną odkształceniu o kąt g (rys.2.13)

Siła normalna (osiowa, podłużna) - wzajemne oddziaływanie części konstrukcji przeciwdziałające ich przesunięciu się wzdłuż osi pręta w rozważanym punkcie.

Siła tnąca (poprzeczna) - wzajemne oddziaływanie części konstrukcji przeciwdziałające ich przesunięciu się poprzecznie do osi pręta w rozważanym punkcie

Moment gnący - wzajemne oddziaływanie części konstrukcji przeciwdziałające ich wzajemnemu obrotowi w rozważanym punkcie.

Między momentem gnącym, siłą tnącą i obciążeniem ciągłym zachodzą związki: (napisane na kartce)

Związki te można wykorzystać przy sprawdzeniu poprawności zapisu i wykresów momentów gnących i sił tnących.

Zginanie ukośne - jest to takie obciążenie przyłożone do ścianek czołowych pręta prostego, pryzmatycznego, o dowolnym litym przekroju poprzecznym, które na obu końcach pręta redukuje się do przeciwnych par, leżących w tej samej płaszczyźnie ale nie zawierającej żadnej z osi głównych centralnych.

Zależności między odkształceniami a naprężeniami (E i G)

Odkształcenia uwarunkowane są odpowiednimi własnościami fizycznymi materiału, które z kolei zależą od jego struktury. Naprężenia zależą od wzajemnego położenia atomów w sieci ciała poddanego działaniu sił zewnętrznych. Tak więc odkształcenia i naprężenia zależą od struktury krystalicznej ciała

stałego i mogą być powiązane między sobą pewnymi zależnościami funkcyjnymi. Charakter funkcji zależy od wielkości naprężeń oraz odpowiadających im odkształceń i określa się go na podstawie wyników prób wytrzymałościowych. W przedziale proporcjonalności zależność między odkształceniem a naprężeniem ujmuje prawo Hooke'a, w myśl którego, w ogólnym przypadku ciał anizotropowych, składowe tensora odkształceń są liniowymi jednorodnymi funkcjami składowych tensora naprężeń. Natomiast w przypadku odkształceń objętościowo-postaciowych, których przykładem może być jednostronne rozciąganie lub ściskanie ciała, rolę współczynnika proporcjonalności spełnia odwrotność modułu sprężystości podłużnej E, znanego też jako moduł Younga.

Liczba Poissona - jest stosunkiem odkształcenia poprzecznego do odkształcenia podłużnego przy osiowym stanie naprężenia. Współczynnik Poissona jest wielkością bezwymiarową i nie określa sprężystości materiału, a jedynie sposób w jaki się on odkształca.

Uogólnione prawo Hooke'a stwierdza, że przyłożone do kryształu jednorodne naprężenie t_ij wywołuje jednorodne odkształcenie r_kl takie, że każda składowa tensora odkształceń r_kl związana jest ze wszystkimi składowymi tensora naprężeń t_ij, czyli: (napisane na kartce)

---