ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY W SZCZECINIE
SPRAWOZDANIE Z LABORATORIUM STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ĆW. NR: 2	TEMAT: Weryfikacja hipotez statystycznych
DATA WYK. ĆW.		IMIĘ I NAZWISKO STUDENTA: Mateusz Krawczyk		OCENA:		PODPIS:	GRUPA: T1-21
PROWADZĄCY ĆWICZENIE:			ROK AKADEMICKI: 2		SEMESTR: 3

1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zasadami weryfikacji hipotez statystycznych.

2. Wstęp teoretyczny:

Każde badanie rozpoczyna się postawieniem hipotezy, czyli przypuszczeniem odnośnie rozkładu zmiennej losowej. Hipotezy statystyczne dzieli się na parametryczne, gdy dotyczą wartości parametrów statystycznych rozkładu zmiennej losowej i na nieparametryczne, gdy dotyczą postaci rozkładu zmiennej losowej. Procedurę weryfikacji hipotezy statystycznej nazywa się testem statystycznym. Testy też dzielą się na parametryczne i nieparametryczne, w zależności czy weryfikuje się hipotezę parametryczną, czy nieparametryczną. Hipoteza, która podlega sprawdzeniu nazywa się hipotezą zerową H₀. Prócz hipotezy zerowej należy zawsze przyjąć hipotezę alternatywną, która przyjmujemy, gdy hipotezę zerową należy odrzucić. Hipotezę alternatywną oznaczamy H₁,H₂ lub H₃. Wartość statystyki testowej jest podstawą do przyjęcia lub odrzucenia hipotezy zerowej H_0. W trakcie weryfikacji hipotezy można popełnić dwa błędy:

-błąd pierwszego rodzaju, gdy odrzucimy hipotezę zerową mimo to, że jest ona prawdziwa. Prawdopodobieństwo popełnienia tego błędu nazywa się poziomem istotności testu i oznacza się jako α. Najczęściej przyjmuje się 0,1; 0,05;0,01.

-błąd drugiego rodzaju, gdy przyjmiemy hipotezę zerową mimo, iż jest nieprawidłowa. Prawdopodobieństwo popełnienia tego błędu oznacza się przez β. W testach statystycznych większe znaczenie przypisywane jest poziomowi istotności α. Określa on stopień pewności co do odrzucenia hipotezy H₀. Proces weryfikacji hipotezy przebiega w pięciu etapach:

a) Formułowanie hipotezy zerowej H₀, oraz hipotezy alternatywnej H₁.

b) Przyjęcie poziomu istotności α.

c) Określenie statystyki testowej i obliczenie jej wartości na podstawie danych z próby losowej.

d) Przy ustalonym poziomie istotności określenie obszarów krytycznych.

e) Wnioskowanie o odrzuceniu, lub nieodrzuceniu hipotezy zerowej H₀.

Testy istotności różnicy między wartościami oczekiwanymi dwu zmiennych można podzielić na dwie grupy:

1. Testy przeznaczone do testowania różnic przy próbach niezależnych (test t, test Cochrana-Coxa, test F)

2. Testy przeznaczone do testowania różnic przy próbach zależnych

3. Zadania, zestaw E.

Zadanie 1

Stawiamy hipotezę zerową H₀, oraz hipotezę alternatywną.

H₀: µ₁=µ₂

H₁: µ₁≠µ₂

Przyjmujemy poziom istotności testu α=0,05

Ponieważ nie wiemy, czy spełniony jest warunek jednorodności wariancji w obu populacjach, wykonamy wstępnie obliczenia, przyjmując, że jest on spełniony.

Sprawdzamy, czy spełniony jest warunek jedności wariancji, czyli weryfikujemy hipotezę zerową H₀: σ²=σ² przeciw hipotezie alternatywnej H₁: σ²<σ². Z tablicy wartości krytycznych rozkładu F-Snedecora dla poziomu istotności α=0,05 odczytujemy wartość krytyczną. Obliczona wartość statystyki F= 1,195145 jest mniejszy od wartości krytycznej i nie należy do obszaru krytycznego, świadczy też o tym wartość poziomu prawdopodobieństwa p=0,794923, która jest dużo większa od przyjętego poziomu istotności α=0,05, a więc niema podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o równości wariancji. Można zatem zastosować test t. Obliczona wartość statystyki testowej t=0,667477 jest mniejsza od wartości krytycznej wziętej z tablicy przedstawiającej wartości krytyczne rozkładu t-Studenta, a więc statystyka testowa nie należy do obszaru krytycznego i niema podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Świadczy też o tym wartość poziomu prawdopodobieństwa p=0,512935, która jest większa
od przyjętego poziomu istotności testu α=0,05.

Wnioski:

Hipoteza zerowa zakładała, że przegląd i ponowna kalibracja nie miały wpływu na wskazania maszyny pomiarowej. Po wykonaniu testów okazało się, że niema podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Wniosek jest więc taki, że przegląd i ponowna kalibracja nie miały wpływu na wskazania maszyny pomiarowej.

Zadanie 2

Stawiamy hipotezę zerową oraz hipotezę alternatywną:

H₀: µ₁=µ₂

H₁: µ₁≠µ₂

Przyjmujemy poziom istotności testu α=0,05

Sprawdzamy, czy spełniony jest warunek jedności wariancji, czyli weryfikujemy hipotezę zerową H₀: σ²=σ² przeciw hipotezie alternatywnej H₁: σ²<σ². Z tablicy wartości krytycznych rozkładu F-Snedecora dla poziomu istotności α=0,05 odczytujemy wartość krytyczną. Obliczona wartość statystyki F= 1,195145 jest mniejszy od wartości krytycznej i nie należy do obszaru krytycznego, świadczy też o tym wartość poziomu prawdopodobieństwa p=0,794923, która jest dużo większa od przyjętego poziomu istotności α=0,05, a więc niema podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o równości wariancji. Można zatem zastosować test t. Obliczona wartość statystyki testowej t=0,667477 jest mniejsza od wartości krytycznej wziętej z tablicy przedstawiającej wartości krytyczne rozkładu t-Studenta, a więc statystyka testowa nie należy do obszaru krytycznego i niema podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Świadczy też o tym wartość poziomu prawdopodobieństwa p=0,512935, która jest większa od przyjętego poziomu istotności testu α=0,05.

Wnioski:

Hipoteza zerowa zakładała, że przegląd i ponowna kalibracja nie miały wpływu na wskazania maszyny pomiarowej. Po wykonaniu testów okazało się, że niema podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Wniosek jest więc taki, że przegląd i ponowna kalibracja nie miały wpływu na wskazania maszyny pomiarowej.

---