Rozdział 1

Obwody prądu stałego

1.1. Podstawowe metody analizy obwodów

UKŁAD JEDNOSTEK SI - JEDNOSTKI W ELEKTROTECHNICE

wielkość			jednostka
1	częstotliwość	f	Hz
2	indukcyjność	L	H
3	konduktancja, przewodność	G	S
4	konduktywność, przewodność właściwa	γ
5	ładunek	Q	C
6	moc czynna	P	W
7	moc bierna	Q	var
8	moc pozorna	S	VA
9	napięcie elektryczne	U	V
10	natężenie prądu	I	A
11	pojemność elektryczna	C	F
12	praca energia	W	J
13	przenikalność elektryczna	ε
14	przenikalność magnetyczna	μ
15	pulsacja	ω
16	rezystancja, opór	R	Ω
17	rezystywność, opór właściwy	ρ	Ωm
18	strumień magnetyczny	Φ	Wb

przedrostki jednostek pokrewnych w układzie SI

T	tera	10^12	D	decy	10^-1
G	giga	10^9	C	centy	10^-2
M	mega	10^6	M	mili	10^-3
k	kilo	10^3	μ	mikro	10^-6
h	hekto	10^2	N	nano	10^-9
dk	deka	10^1	P	piko	10^-12
			F	femto	10^-15
			A	atto	10^-18

OBWODY ELEKTRYCZNE - POJĘCIA PODSTAWOWE

ELEMENTY PASYWNE OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH

rezystor (opornik), rezystancja (oporność)

dwójnik pasywny

indukcyjność (cewka)

pojemność (kondensator)

ELEMENTY AKTYWNE OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH

ogniwa elektryczne (akumulatory, baterie)

źródła napięcia (generatory)

źródła prądu (np. tranzystor)

SKŁADNIKI OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH

GAŁĄŹ - jeden lub kilka połączonych elementów, np. opornik i generator.

WĘZEŁ - połączenie trzech lub więcej zbiegających się gałęzi.

OCZKO - zbiór połączonych gałęzi tworzących drogę zamkniętą dla przepływu prądu.

I₁, I₂, I₃, I₄- prądy gałęziowe

E₁, E₃ - siły elektromotoryczne

E₁- E₃= I₁R₁+ I₂R₂- I₃R₃- I₄R₄

PODSTAWOWE PRAWA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH

Prawo Ohma

gdzie:
przewodność (konduktancja)

U - napięcie [V]

R - rezystancja [Ω]

I - natężenie prądu [A]

I Prawo Kirchhoffa (I PK)

W każdym punkcie węzłowym sieci, suma algebraiczna natężeń prądów równa się zeru.

Przykład:

I₁+ I₄- I₂ - I₃ = 0 ⇔ I₁+ I₄ = I₂+ I₃

II Prawo Kirchhoffa (II PK)

Suma sił elektromotorycznych w obwodzie zamkniętym jest równa sumie spadków napięć na poszczególnych opornościach

Przykład: dla oczka obwodu jak wyżej, II PK wyraża się wzorem

E₁- E₃= I₁R₁+ I₂R₂- I₃R₃- I₄R₄

SCHEMAT ZASTĘPCZY I CHARAKTERYSTYKA ŹRÓDŁA NAPIĘCIA

na przykładzie akumulatora samochodowego

I_N - prąd znamionowy, I_Z - prąd zwarcia

I_r - prąd rozruchu pobierany w momencie uruchomienia silnika spalinowego.

MOC PRĄDU STAŁEGO

Moc odbiornika o rezystancji R

↑ z prawa Ohma

Moc źródła o sile elektromotorycznej E

POŁĄCZENIA ODBIORNIKÓW

Połączenie szeregowe oporności

U= U₁+ U₂+ U₃+.....+ U_n

Powyższą sumę napięć można obliczyć uwzględniając prawo Ohma

U_i=I⋅ R_i , (i=1....n),

Prąd w obwodzie wyraża się wzorem

gdzie
oporność zastępcza połączenia szeregowego

Połączenie równoległe oporności

Z prawa Ohma można określić prądy w gałęziach

Na podstawie I PK można napisać
, co pozwala na wyznaczenie prądu sumarycznego I

Wprowadzając

można napisać

gdzie
zastępcza

PRZEKSZTAŁCENIE UKŁADU POŁĄCZENIA GWIAZDOWEGO W TRÓJKĄT

R₁₀, R₂₀, R₃₀- rezystancje gwiazdy

R₁₂, R₂₃, R₃₁-rezystancje trójkąta

PRZEKSZTAŁCENIE TRÓJKĄTA W RÓWNOWAŻNĄ GWIAZDĘ

PODSTAWOWE METODY ANALIZY OBWODÓW

Analiza obwodów dotyczy określenia napięć i prądów w gałęziach.

Założenia- obwód posiada b - gałęzi i v - węzłów.

Metoda klasyczna analizy obwodów - metoda praw Kirchhoffa

1. Numerowanie oczek (k- numer oczka)

2. Wykorzystanie I prawa Kirchhoffa (I PPK) do sformułowania równań dla

v-1 węzłów niezależnych

równanie dla węzła i

3. Sformułowanie równań wynikających z II prawa Kirchhoffa (II PPK) dla

b-v+1 oczek niezależnych

4. Obliczenie pradów galęziowych

Metoda prądów oczkowych - metoda oczkowa

Tok postępowania:

1. Wybór b-v+1 oczek liniowo niezależnych

2. Numeracja oczek i zaznaczenie zwrotów prądów oczkowych.

3. Utworzenie macierzy [R'_kl] o elementach R_kl obliczanych zgodnie z regułami:

a) rezystancje własne R_kk są równe sumie rezystancji oczka „k” (R_kk >0),

b) jeśli zwroty prądów we wspólnej gałęzi oczka „k” i „l” są zgodne to rezystancje wzajemne R_kl >0, w przeciwnym przypadku R_kl<0.

c) jeśli oczka „k” i „l” nie stykają się ze sobą to R_kl =0.

4. Utworzenie wektora napięć źrodłowych oczkowych [E'_k]:

element tego wektora, czyli napięcie żródłowe oczkowe jest równe sumie algebraicznej sił elektromotorycznych występujących w danym oczku. Jeśli zwrot siły elektromotorycznej w oczku jest zgodny ze zwrotem prądu oczkowego to ma ona znak +. W przeciwnym wypadku jej wartość jest ujemna.

5. Rozwiązanie równania macierzowego z obliczanym wektorem prądów oczkowych

[ E'_k ] = [ R'_kl] [ I'_l]

gdzie: [I'_l] - wektor prądów oczkowych

[E_k'] - wektor napięć źrodłowych oczkowych (wymuszeń napięciowych)

[ R'_kl ] - macierz rezystancji wzajemnych oczek k oraz l

6. Obliczenie prądów w gałęziach obwodu z wykorzystaniem superpozycji prądów oczkowych.

Metoda potencjałów węzłowych - metoda węzłowa

Jest stosowana gdy dla analizowanego obwodu liczba (v-1) równań z I prawa Kirchhoffa jest dużo mniejsza od liczby (b-v +1) równań z II prawa Kirchhoffa

Tok postępowania:

1. Numeracja węzłów

2. Założenie zerowej wartości potencjału w wybranym węźle obwodu. Zwykle w tym, w którym zbiega się najwięcej gałęzi. Tzw. uziemienie węzła.

3. Wyznaczenie macierzy konduktancji [G] z elementami G_jk zależnymi od przewodności gałęzi zbiegających się w danym węźle

a) konduktancja własna G_kk , dotycząca k-tego węzła jest równa sumie konduktacji gałęzi zbiegających się w tym węźle,

2. konduktancja wzajemna G_jk jest równa sumie konduktancji łączących bezpośrednio węzeł j z węzłem k, pomnożonej przez -1. Gdy węzły te nie są połączone bezpośrednio, wówczas konduktancja wzajemna jest równa zeru

4. Obliczenie elementów wektora [I_wk ] . Są to tzw. prądy węzłowe. Każdy z nich jest sumą algebraiczną iloczynów konduktancji i sił elektromotorycznych
każdej gałęzi dochodzącej do węzła k Każdy z tych iloczynów ma znak dodatni gdy siła elektromotoryczna E jest skierowana do węzła.

5. W wyniku rozwiązania układu równań [G]⋅[V]=[I_wk] wyznacza się potencjały w węzłach obwodu.

[G]- macierz konduktancji

[V]- wektor potencjałów węzłowych

[I_wk]- wektor prądów węzłowych

Przykład zastosowania metody potencjałów - wyznaczenie napięcia połączonych równolegle akumulatorów o rezystancjach wewnętrznych
i siłach elektromotorycznych
(i=1…n), obciążonych rezystancją

E₁ E₂ .......... E_n

I₁ I₂ ....... I_n U R_n+1

R_W1 R_W2 ........ R_Wn

Jeśli założyć, że węzeł B jest uziemiony (V_B= 0) , to potencjał węzła A jest równy napięciu na odbiorniku V=V_A - V_B . Zastosowanie metody potencjałów węzłowych prowadzi do jednego równania, które w postaci macierzowej przedstawia się następująco:

, gdzie:

Szukana wartość potencjału wynosi

16

R

- +

L

C

E

I

E

R₁

R₂

E

R₁

R₃

E₁

E₃

R₂

R₄

R₁

I

U

R

I₄

I₃

I₂

I₁

I

E

U

R_W

R

12,2

11,9

4,7

I_N

I_Z

I[A]

I_r

U[V]

R₃

R_n

R₂

R₁

U

I

0

U

I

I_n

I₂

I₁

R_n

R₂

R₁

A

B

I₁

I₂

I₃

I₄

1

R₁₀

R₁₂

R₃₀

R₂₀

R₃₁

R₂₃

2

3

3

1

R₂₃

R₁₀

R₃₀

R₂₀

R₃₁

R₁₂

2

U₁

U₂

U₃

U_n

U=E

---