Równania obserwacyjne. Równania normalne
Dodatek. Układ równań obserwacyjnych i odpowiadający mu układ równań normalnych
Układ równań obserwacyjnych (poprawek)
Układ normalny
, 
, 
, itp.
Rozwiązanie układu równań normalnych (metoda pierwiastka krakowianowego Banachiewicza):
[aa] |
[ab] |
[ac] |
[la] |
1 |
|
|
|
|
|
[bb] |
[bc] |
[lb] |
|
1 |
|
|
|
|
|
[cc] |
[lc] |
|
|
1 |
|
|
A1 |
B1 |
C1 |
L1 |
M1 |
|
|
|
A1+B1+C1+L1+M1 |
|
B2 |
C2 |
L2 |
M2 |
N2 |
|
|
B2 +C2+L2+M2+N2 |
|
|
C3 |
L3 |
M3 |
N3 |
P3 |
|
C3+L3+M3+N3+P3 |
Dodatkowa kontrola obliczeń. Sprawdzić czy
, 
?
Wartości niewiadomych wyznacza się na podstawie zależności
, 
, 
,
Błąd średni jednostkowy pojedynczej obserwacji 
otrzymujemy wyznaczając poprawki z równań obserwacyjnych 
tj. wystarczy podstawić do nich wartości znalezionych niewiadomych 
. Błąd 
, gdzie n to ogólna ilość obserwacji, 
ilość obserwacji nadliczbowych, k - ilość niewiadomych. Sumę 
kwadratów poprawek można obliczyć także ze wzorów:
.
Błędy średnie niewiadomych w powyższym przypadku wyrażone są wzorami:
, 
Oznaczenie kąta |
Przyrosty współrzędnych wzdłuż lewego i prawego ramienia kąta
|
Tangens przybliżonej wartości kąta
|
Wartości kąta α Przybliżona Obserwowana |
l = αprz - αobs |
Współczynniki kierunkowe |
Równanie obserwacyjne kąta
|
||||
|
|
|
αprz |
αobs Poprawka Wartość wyrównana |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
A |
B |
|
||
Wielokrotne wcięcie wprzód (kolorem czerwonym oznaczono wielkości otrzymane w wyniku wyrównania)
|
||||||||||
1 |
2469,14 -370,37 1234,53 494,04 |
16 77087 28 65250 0,58532 |
30°20'29" |
30°20'00" 0" 30°20'00" |
29" |
92 144 |
-12 53 |
|
||
2
|
493,82 2716,05 -1254,61 864,41 |
3780125 1738106 2,17485 |
65°16'25" |
65°19'00" -8" 65°18'52" |
-35" |
13 -112 |
74 78 |
|
||
3
|
-2222,22 -123,45 -1728,43 -1851,64.
|
3901577 4069537 0,95868 |
45°47'29" |
43°47'30" 9" 43°47'39" |
-1" |
- 93 -56 |
- 5 -60
|
|
||
4
|
493,79 -1728,19 2222,22 123,45 |
3901377 683965 4,41350 |
77°14'01" |
77°14'00" 11" 77°14'11" |
1" |
32 93 |
-110 5 |
|
||
W naszym przypadku układ równań poprawek (układ obserwacyjny) jest następujący
, 
W nawiasie zapisano go w postaci symbolicznej.
Stowarzyszony z powyższym układ równań normalnych ma, więc postać:
gdzie:
Zauważmy, że układ normalny (przeciwnie do wyjściowego) posiada tyle równań ile jest niewiadomych tj. dwa równania i dwie zmienne 
,
. Powyższe zależności można, przez analogię, łatwo rozszerzyć na większą liczbę niewiadomych. Po wyznaczeniu wartości współczynników 
itp. otrzymujemy:
Korzystając z algorytmu pierwiastka krakowianowego mamy:
; 
;
;
;
;
;
25148 |
544 |
878 |
1 |
0 |
26571 |
|
544 |
37440 |
8120 |
0 |
1 |
46105 |
|
158,6 |
3,430 |
5,537 |
0,006305 |
0 |
167,6 |
167,6 |
0 |
193,5 |
42,07 |
-0,0001118 |
0,005168 |
235,3 |
235,5 |
; 
;
Po podstawieniu wartości 
i 
do równań poprawek otrzymujemy:
Teraz możemy wyznaczyć błąd średni pojedynczego spostrzeżenia:
.
(Błąd średni zaokrąglamy w górę).
Następnie wyznaczamy błędy średnie współrzędnych wyznaczanego punktu 
;
Do rozwiązania układu można zastosować tutaj (ekonomiczniejszą w tym przypadku od metody pierwiastka krakowianowego) metodę wyznacznikową tj.
Tak jak w powyższym przypadku z równań obserwacyjnych wyznaczamy wartości poprawek 
,
,
,
.
Aby wyznaczyć błędy średnie należy wyznaczyć macierz (krakowian) odwrotną do macierzy (krakowianu) współczynników 
układu równań normalnych.
, to dopełnienia algebraiczne elementów macierzy a.
Błędy średnie 
pojedynczej obserwacji i współrzędnych 
wyznaczamy ze związków:
, 
, 
.
Schowek. Dla rozwiązania układu równań normalnych metodą Banachiewicza.
1
Obliczenie przybliżonych współrzędnych p. 31
X0 = F(1) = 1604,90; Y0 = F(2) = 1601,69
X = 2839,51
Y = 737,28
X = 1111,11
Y = 3329,88
65°19'00"
X = 370,37
Y = 1107,65
31
24
17
18
X0 = 1604,90
Y0 = 1601,69
43°47'30"
30°20'00"
77°14'01"
2
3
4
1
20
X = 3333,33
Y = 3453,33
Szkic
