DRGANIA PRĘTÓW JEDNORODNYCH.
RÓWNANIA DRGAŃ STRUN, PRĘTÓW I WAŁÓW.
Rzeczywiste układy mają masy rozłożone w sposób ciągły, dlatego układy dyskretne są dobrym przybliżeniem w przypadku, gdy w grę wchodzi wyznaczanie pierwszej lub drugiej częstości drgań własnych. Ponadto umożliwiają ocenę strefy pierwszej lub drugiej częstości i w tym przypadku są bardzo pomocne w analizie drgań układów ciągłych. Układy ciągłe można modelować za pomocą strun (jednakowe napięcia w przekrojach ) prętów, wałów, płyt, powłok, tarcz, wirników i profili zamkniętych i otwartych. Najprostszym przypadkiem drgania struny dochodzimy do równania cząstkowego ze względu na współrzędną czasową i liniową np. x i równanie uzyskane nazywa się równaniem falowym.
Równanie drgań poprzecznej struny.
Będziemy rozważać strunę napiętą siłą F.
Przez strunę rozumiemy napiętą wiotką nić, która w każdej chwili jest styczną do osi. Zakładamy, że wektor wychylenia każdego punktu struny leży w jednej płaszczyźnie wyznaczony przez ugięcie i OXY.
Ponadto zakładamy, że wychylenie U⊥X a oś struny pokrywa się w fazie początkowej z osią x. Przy takich warunkach współrzędne struny można scharakteryzować za pomocą u(x,t).
Aby wyprowadzić równanie drgań struny rozpatrujemy element tej struny :
Jeśli dla małych ugięć u kąt :
(1)
a siła masowa :
(2)
oraz dla strun i prętów wysmukłych :
(3)
to z tw. d'Alamberta przyjmujemy dla strun :
(4)
Uwzględniając (2) w (4) :
(5)
(6)
W ten sposób uzyskaliśmy równanie drgań struny wymuszone obciążeniem q, a wstawiając :
(7)
otrzymamy :
(8)
W przypadku gdy q = 0 :
- równanie falowe (9)
Otrzymane równanie nazywamy równaniem małych drgań poprzecznych strun albo falowym. Uwzględniając warunki brzegowe i początkowe możemy wyznaczyć stałe całkowania.
(10)
Warunki przy układach ciągłych są charakterystyczne tym, że uzyskujemy całe pole prędkości i całe pole przemieszczeń.
Równanie drgań podłużnych prętów.
Badanie drgań polega na tym, aby pod wpływem sił ustalić pole przemieszczeń. Rozważamy drgania jednorodne pręta o małozmiennym przekroju. Załóżmy, że linearyzujące odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń (prawo Hooka) jeśli przyjmie siłę osiową :
(11)
Stosując warunek równowagi możemy napisać :
(12)
(13)
Podstawiając równanie (11) i (13) do równania (12) otrzymamy :
(14)
Wprowadzając :
(15)
otrzymujemy :
(16)
W przypadku swobodnych drgań wzdłużnych pręta otrzymamy równanie :
(16a)
a - prędkość rozprzestrzeniania się fali.
W przypadku drgań skrętnych wałów współrzędną opisującą drgania jest kąt opisujący skręcenie profilów w chwili (x,t).
Taki odcięty walec znajduje się w stanie równowagi dynamicznej pod wpływem sił :
(17)
G - moduł Kirchoffa
I0 - geometryczny moment osiowy
Ponadto z zasady d'Alamberta moment sił bezwładności dla elementów będzie się równał :
(18)
Układając warunek równowagi w sensie d'Alamberta odniesiony do wyciętego wału o długości dx możemy napisać :
m - intensywność obciążenia zewnętrznego w postaci momentu odniesionego do długości jednostki.
(19)
W przypadku kiedy sztywność na skręcanie jest stała otrzymujemy :
(20)
(20a)
(21)
a - prędkość rozprzestrzeniania się fali skrętnej.
Wniosek :
Poza warunkami początkowymi trzeba uwzględnić warunki brzegowe. Wyprowadzone równania (9), (16a), (20a) są prawdziwe w każdym wewnętrznym punkcie ośrodka. Dla pełnego określenia rozwiązania poza warunkami początkowymi konieczne jest określenie warunków zachodzących na brzegu.
W przypadkach rozważanych drgań struny, pręta, wała należy każdorazowo podać dwa warunki brzegowe. Każdy z warunków brzegowych określa zjawisko na jednym brzegu.
Przeanalizujemy warunki dla drgań wzdłużnych pręta :
Załóżmy, że pręt jest umocowany na brzegu.
1. U(0,t)=0
Jeśli pręt byłby swobodny na lewym brzegu to naprężenie jest równe zero.
Inne warunki brzegowe należy przyjąć w zależności od danego przypadku.
Uwaga :
Rozważania o których mówiliśmy dotyczyły materiału idealnie sprężystego i założenia stąd wynikającego, że nie występują straty energii. Może się zdarzyć, że materiał posiada cechy lepko-sprężyste - wówczas w miejsce modelu ciała Hooka można zastosować model Voigta albo Maxwella. Innym bardziej złożonym modelem jest model standardowy.
Naprężenia sumujemy przy połączeniu równoległym :
Drgania poprzeczne pręta.
W równaniach drgań giętnych belki w przeciwnie do osiowych prowadzą do równań różniczkowych cząstkowych czwartego rzędu. Uwzględniamy już naprężenia pochodzące od zginania. Będziemy opisywać prostopadle do osi przemieszczenia u(x,t), obciążenia q(x,t).
I(x) - moment względem osi obojętnej.
Q(x,t) - siła poprzeczna.
M.(x,t) - moment zginający.
Układając warunek momentu względem środka oraz warunek rzutu na osi x otrzymuję równanie drgań belki w postaci :
WYKŁAD 9.