WYKťAD1(1), Studia


DRGANIA PRĘTÓW JEDNORODNYCH.

RÓWNANIA DRGAŃ STRUN, PRĘTÓW I WAŁÓW.

Rzeczywiste układy mają masy rozłożone w sposób ciągły, dlatego układy dyskretne są dobrym przybliżeniem w przypadku, gdy w grę wchodzi wyznaczanie pierwszej lub drugiej częstości drgań własnych. Ponadto umożliwiają ocenę strefy pierwszej lub drugiej częstości i w tym przypadku są bardzo pomocne w analizie drgań układów ciągłych. Układy ciągłe można modelować za pomocą strun (jednakowe napięcia w przekrojach ) prętów, wałów, płyt, powłok, tarcz, wirników i profili zamkniętych i otwartych. Najprostszym przypadkiem drgania struny dochodzimy do równania cząstkowego ze względu na współrzędną czasową i liniową np. x i równanie uzyskane nazywa się równaniem falowym.

Równanie drgań poprzecznej struny.

Będziemy rozważać strunę napiętą siłą F.

Przez strunę rozumiemy napiętą wiotką nić, która w każdej chwili jest styczną do osi. Zakładamy, że wektor wychylenia każdego punktu struny leży w jednej płaszczyźnie wyznaczony przez ugięcie i OXY.

Ponadto zakładamy, że wychylenie U⊥X a oś struny pokrywa się w fazie początkowej z osią x. Przy takich warunkach współrzędne struny można scharakteryzować za pomocą u(x,t).

Aby wyprowadzić równanie drgań struny rozpatrujemy element tej struny :

Jeśli dla małych ugięć u kąt :

(1)

a siła masowa :

(2)

oraz dla strun i prętów wysmukłych :

(3)

to z tw. d'Alamberta przyjmujemy dla strun :

(4)

Uwzględniając (2) w (4) :

(5)

(6)

W ten sposób uzyskaliśmy równanie drgań struny wymuszone obciążeniem q, a wstawiając :

(7)

otrzymamy :

(8)

W przypadku gdy q = 0 :

- równanie falowe (9)

Otrzymane równanie nazywamy równaniem małych drgań poprzecznych strun albo falowym. Uwzględniając warunki brzegowe i początkowe możemy wyznaczyć stałe całkowania.

(10)

Warunki przy układach ciągłych są charakterystyczne tym, że uzyskujemy całe pole prędkości i całe pole przemieszczeń.

Równanie drgań podłużnych prętów.

Badanie drgań polega na tym, aby pod wpływem sił ustalić pole przemieszczeń. Rozważamy drgania jednorodne pręta o małozmiennym przekroju. Załóżmy, że linearyzujące odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń (prawo Hooka) jeśli przyjmie siłę osiową :

(11)

Stosując warunek równowagi możemy napisać :

(12)

(13)

Podstawiając równanie (11) i (13) do równania (12) otrzymamy :

(14)

Wprowadzając :

(15)

otrzymujemy :

(16)

W przypadku swobodnych drgań wzdłużnych pręta otrzymamy równanie :

(16a)

a - prędkość rozprzestrzeniania się fali.

W przypadku drgań skrętnych wałów współrzędną opisującą drgania jest kąt opisujący skręcenie profilów w chwili (x,t).

Taki odcięty walec znajduje się w stanie równowagi dynamicznej pod wpływem sił :

(17)

G - moduł Kirchoffa

I0 - geometryczny moment osiowy

Ponadto z zasady d'Alamberta moment sił bezwładności dla elementów będzie się równał :

(18)

Układając warunek równowagi w sensie d'Alamberta odniesiony do wyciętego wału o długości dx możemy napisać :

m - intensywność obciążenia zewnętrznego w postaci momentu odniesionego do długości jednostki.

(19)

W przypadku kiedy sztywność na skręcanie jest stała otrzymujemy :

(20)

(20a)

(21)

a - prędkość rozprzestrzeniania się fali skrętnej.

Wniosek :

Poza warunkami początkowymi trzeba uwzględnić warunki brzegowe. Wyprowadzone równania (9), (16a), (20a) są prawdziwe w każdym wewnętrznym punkcie ośrodka. Dla pełnego określenia rozwiązania poza warunkami początkowymi konieczne jest określenie warunków zachodzących na brzegu.

W przypadkach rozważanych drgań struny, pręta, wała należy każdorazowo podać dwa warunki brzegowe. Każdy z warunków brzegowych określa zjawisko na jednym brzegu.

Przeanalizujemy warunki dla drgań wzdłużnych pręta :

Załóżmy, że pręt jest umocowany na brzegu.

1. U(0,t)=0

Jeśli pręt byłby swobodny na lewym brzegu to naprężenie jest równe zero.

Inne warunki brzegowe należy przyjąć w zależności od danego przypadku.

Uwaga :

Rozważania o których mówiliśmy dotyczyły materiału idealnie sprężystego i założenia stąd wynikającego, że nie występują straty energii. Może się zdarzyć, że materiał posiada cechy lepko-sprężyste - wówczas w miejsce modelu ciała Hooka można zastosować model Voigta albo Maxwella. Innym bardziej złożonym modelem jest model standardowy.

Naprężenia sumujemy przy połączeniu równoległym :

Drgania poprzeczne pręta.

W równaniach drgań giętnych belki w przeciwnie do osiowych prowadzą do równań różniczkowych cząstkowych czwartego rzędu. Uwzględniamy już naprężenia pochodzące od zginania. Będziemy opisywać prostopadle do osi przemieszczenia u(x,t), obciążenia q(x,t).

I(x) - moment względem osi obojętnej.

Q(x,t) - siła poprzeczna.

M.(x,t) - moment zginający.

Układając warunek momentu względem środka oraz warunek rzutu na osi x otrzymuję równanie drgań belki w postaci :

WYKŁAD 9.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Studia slajdy1
Studia slaidy
oszustwa studia cywilne
Mazowieckie Studia Humanistyczn Nieznany (11)
Mazowieckie Studia Humanistyczne r2001 t7 n2 s157 160
Mazowieckie Studia Humanistyczne r1996 t2 n1 s165 173
Mazowieckie Studia Humanistyczne r1998 t4 n1 s79 101
Mazowieckie Studia Humanistyczn Nieznany (14)
Mazowieckie Studia Humanistyczne r1997 t3 n1 s290 292
Mazowieckie Studia Humanistyczne r1996 t2 n1 s113 126
Mazowieckie Studia Humanistyczne r2002 t8 n2 s109 114
eis 2002 10 adaptacja akustyczna domowego studia
Krwawienie, studia pielęgniarstwo
fotosynteza i metabolizm-ściąga, Pomoce naukowe, studia, biologia
akademia dobrych manier scen, Studia PO i PR, przedszkolaki, scenariusze konspekty
piacent pliocen Neogen, StUdiA
czad, studia I i II stopnia, ochrona środowiska
sk wyklad10, PSC (Porownawcze Studia Cywilizacji - kulturoznawstwo), Socjologia kultury

więcej podobnych podstron