Dr hab. inż. Chrobak Tadeusz, prof. n AGH

Akademii Górniczo - Hutniczej

im. St. Staszica w Krakowie

Automatyzacja prezentacji krzywych upraszczanych metodą obiektywną na mapie w dowolnej skali

1. Wstęp

Proces upraszczania krzywych otwartych, zamkniętych (określających obiekty powierzchniowe), w miarę zmniejszania się skali mapy opracowywanej, cechuje ubytek punktów aż do stanu granicznego tj. usunięcia krzywej. Eliminacja ta następuje wtedy, gdy po uproszczeniu pozostają dwa punkty krzywej otwartej i nieregularnej zamkniętej lub trzy punkty krzywej zamkniętej o foremnym kształcie (np. budynki mieszkalne). W procesie upraszczania krzywych spowodowanej zmianą skali, wyróżnione etapy pośrednie prezentacji na mapie wyników po generalizacji L. Ratajski (1989) nazwał progami generalizacji.

Tematem artykułu jest określenie parametrów upraszczanych krzywych, które dla dowolnej skali mapy redagowanej określą progi generalizacji, jakimi są: upraszczanie krzywej łamanej, upraszczanie krzywej z wygładzaniem, symbolizacja, eliminacja. W uzyskaniu odpowiedzi wykorzystano: obiektywną metodę do upraszczania krzywych oraz własności statystyki matematycznej.

2. Zastosowanie statystyki matematycznej w procesie upraszczania krzywych

W procesie upraszczania krzywych obiektywną metodą (Chrobak, 2003) usuwanie punktów zależy od ich hierarchii (wynikającej z ekstremów lokalnych) oraz rozpoznawalności rysunku, a zatem czynników obiektywnych. Miarę rozpoznawalności definiujemy jako najkrótszą odległość w trójkącie elementarnym utworzonym z trzech punktów krzywej upraszczanej. W tym badaniu uczestniczą wszystkie punkty krzywej upraszczanej.

Przyjmując, że krzywa pierwotna jest odbiciem rzeczywistości, to punkty do niej należące opisują najbardziej prawdopodobną krzywą. Natomiast miarą dokładności krzywej po upraszczaniu są najkrótsze odległości Δl_i, i = 1,2,3... pomiędzy punktami pozostającymi a odrzucanymi. Długości te są błędami pozornymi dla oceny kształtu uproszczonej krzywej. Zgodnie z prawem przenoszenia błędów, dokładność krzywej po procesie określa średni błąd - m._upr, który ma postać:

(1)

gdzie:

Δx_ij = x _pi - x _uj,

Δy_ij = y _pi - y _uj,

n - ilość usuwanych punktów,

n -1 - ilość odcinków,

p_i - punkt pozostający,

u_j - punkt usuwany.

W metodzie stosowanej do upraszczania krzywych liczba punktów odrzucanych oraz błąd średni - m_upr nie zależą od redaktora mapy, stąd wynik procesu zachowuje własności rozkładu statystycznego. Gęstość rozkładu, określa wartość oczekiwana- E(X) oraz rozrzut statystyczny wyników, jakim jest odchylenie standardowe, rys. 1. W upraszczaniu krzywych (otwartych, zamkniętych) wartość oczekiwana określają liczby punktów uporządkowanych opisujących jej kształt po generalizacji. Miarę rozrzutu statystycznego definiuje odchylenie standardowe- σ (błąd średni procesu upraszczania krzywej) rys. 1.

f(x) f(u)

x

u (u)

μ - 3σ μ - 2σ μ - σ μ + σ μ + 2σ μ + 3σ

Rys. 1 Funkcja gęstości rozkładu normalnego f(x) lub unormowanego f(u)

Zgodnie z interpretacją rozkładu statystycznego normalnego, prawdopodobieństwo uzyskania wartości zmiennej losowej X z niepewnością odpowiadającą 1σ (średniego błędu - m_upr) wynosi 68%. Prawdopodobieństwo uzyskania wartości zmiennej losowej X z podwójnym odchyleniem 2σ wynosi 90% a potrójnym 3σ odpowiednio 95%.

Tak, więc wartość oczekiwana zmiennej losowej - E(X) (określonej przez liczby punktów: n₀ - krzywej pierwotnej_, n_i - krzywej po generalizacji, c - punktów niezmienników procesu) oraz σ - odchylenie standardowe to parametry wyboru metody prezentacji kartograficznej krzywych otwartych i zamkniętych upraszczanych metodą Chrobaka, gdy zmienia się skala mapy.

3. Parametry określające progi upraszczania krzywych prezentowanych na mapie

Progi generalizacji dla upraszczanych krzywych otwartych i zamkniętych, określa zależność:

gdzie:

n₀ - liczba punktów krzywej pierwotnej,

n_i - liczba punktów po generalizacji,

c - liczba punktów niezmienników procesu,

k - współczynnik przyjmujący wartości 1,2,3,

1σ - odchylenie standardowe z prawdopodobieństwem równym 68 %,

2σ - odchylenie standardowe z prawdopodobieństwem równym 90 %,

3σ - odchylenie standardowe z prawdopodobieństwem równym 95 %.

Z wzoru (4) wynikają progi generalizacji krzywych:

• łamana krzywa otwarta, zamknięta, dla k = 1,

• wygładzana krzywa otwarta, zamknięta, dla k = 2,

• eliminowana krzywa otwarta, dla k = 3,

• symbol - np. okrąg o średnicy x mm w miejsce krzywej zamkniętej, dla k = 3.

Przyjęty dla równania (2) przedział ogranicza liczbę punktów krzywych po generalizacji, które zachowują kształt krzywej pierwotnej (przy k=1) z dokładnością określoną normą branżową GUGiK:

[mm] (3)

gdzie:

M₀₀ - mianownik skali.

Obiektywna metoda upraszczania krzywych spełnia warunek równania (3), gdyż długość najkrótszego bok trójkąta rozpoznawalności rysunku przyjmuje wartości 0,5-0,6 M.₀₀.

Przykłady

W upraszczaniu krzywych metodą obiektywna oprócz usuwania dodawane są nowe punkty, aby w przekształcanej krzywej zachować podobieństwo do jej kształtu pierwotnego. Dodawanie nowych punktów obejmuje skończony rostęp szeregu skal w bliskim sąsiedztwie skali źródłowej, rys. 2 .

n

upraszczanie

wygładzanie krzywe otwarte

eliminacja

symbolizacja

1 M₁ M₂ M_{3 [}Mianownik skali]

krzywe zamknięte

Rys.1 Usuwanie punktów gdy zmniejsza się skala mapy

Uzyskane rezultaty zmiany liczby punktów - n od mianownika skali M. na skutek upraszczania krzywych dowolnych metodą obiektywną porównano z progami generalizacji określonych równaniem (2). Otrzymane rezultaty: Tab. Tab.1, 2 wykazują zgodność skal o maksymalnie dodanej liczbie punktów z progiem generalizacji określonym równaniem (2). Dowodzi to, że odchylenie standardowe jest miarą niezbędną przy określaniu progów generalizacji (dla krzywych upraszczanych metodą obiektywną), gdy zmniejsza się skala mapy.

Tab.1

l.p	Skala	n0/c	Punkty dodane	Punkty odjęte	ni	k=1 min	k=2 min	k=3 min	Próg gen
1	2	3	4		5	6	7	8	9
1
	1:1000	133/16	0	0	133	20
	1: 2000		1	1	133	20
	1: 3000		1	1	133	20
	1: 4000		2	2	133	20
	1: 5000		16	52	97	7			1
	1: 6000		12	72	73		33
	1:7000		5	83	55		19
	1:8000		1	92	42		10
	1:9000		0	94	39		7
	1:10000		1	105	29	0	0		2
	1:25000				16			c = ni	nie
	1:50000				16			c = ni	nie
	1:100000				16			c = ni	nie
2
	1:1000	157/16	0	0	157	22
	1: 2000		0	0	157	22
	1: 3000		0	0	157	22
	1: 4000		6	6	157	21
	1: 5000		40	74	123	0			1
	1: 6000		13	90	80	-25	31
	1:7000		2	94	65		15
	1:8000		3	112	48		10
	1:9000		0	112	45		8
	1:10000		1	121	37		3		2
	1:25000		0	141	16			c = ni	nie
	1:50000		0	141	16			c = ni	nie
	1:100000		0	141	16			c = ni	nie

Tab. 2

l.p	Skala	n0/c	Punkty dodane	Punkty odjęte	ni	k=1 min	k=2 min	k=3 min	Próg gen.
1	2	3	4		5	6	7	8	9
5
	1:1000	157/16	0	0	157	22
	1: 2000		0	0	157	22
	1: 3000		0	0	157	22
	1: 4000		6	6	157	21
	1: 5000		40	74	123	0			1
	1: 6000		13	90	80	-25	31
	1:7000		2	94	65		13
	1:8000		3	112	48		10
	1:9000		0	112	45		8
	1:10000		1	121	37		3		2
	1:25000		0	141	16			c = ni	nie
	1:50000		0	141	16			c = ni	nie
	1:100000		0	141	16			c = ni	nie
6
	1:1000	155/20	0	0	155
	1: 2000		0	0	155
	1: 3000		0	0	155
	1: 4000		0	0	155
	1:5000		37	58	134	5	tak
	1: 6000		21	87	89	24	nie
	1: 7000		0	87	68
	1: 8000		0	109	46
	1: 9000		0	109	46
	1: 10000		1	117	39	2		tak
	1: 25000		0	135	20			c = ni	nie
	1: 50000		0	135	20			c = ni	nie
	1:100000		0	135	20			c = ni	nie

Wnioski:

1. Metodą opartą na statystyce matematycznej można określić progi generalizacji dla krzywych otwartych i zamkniętych upraszczanych metodą obiektywną.

2 Zgodność skal progów generalizacji z skalą o maksymalnej liczbie punktów dodanych w przedziale σ=1, dowodzi o poprawności określania progu, gdyż dodane punkty służą do uzyskania optymalnej zgodności po generalizacji krzywej z jej kształtem pierwotnym.

Literatura:

Chrobak T The method of curve simplification in case of map scale alteration

10 International Conference, GI/GIT Theory and Practice Bring them Together, Ostrawa, 27-29.01.03

Szydłowski H Teoria pomiarów , PWN Warszawa 1991.

Ratajski L. Metodyka kartografii społeczno - gospodarczej. Warszawa - PPWK 1989

---