WYKŁAD 9 .

1.Drgania jednowymiarowych układów ciągłych .

Większość układów technicznych można modelować w postaci układu o stałych rozło-

żonych w sposób ciągły - struny , belki , także powierzchniowe układy ciągłe .

Równania różniczkowe tych układów są cząstkowe II rzędu lub IV (przy drganiach

giętkich )

W przypadku strun , drgań wzdłużnych pręta , drgań skrętnych wału , uzyskujemy tę

samą postać równania różniczkowego zwanego równaniem falowym .

(9.1)

Podobnie jak analizowaliśmy układ metodą macierzy przeniesienia , rozpatruje się układ

sił działających na odcięty element struny (pręta) o długości dx .

Przeanalizujemy to na przykładzie drgań poprzecznych struny .

2. Równanie drgań poprzecznych strun .

Drgania strun rozciągniętych siłą T .

Rys.9.1. Struna pod działaniem siły rozciągającej T .

Przyjmijmy , że w skutek sił zewnętrznych lub warunków początkowych następuje wychylenie

struny , które można scharakteryzować u(x,t) ; obciążenie poprzeczne q(u,t) .

Przyjmujemy ponadto , że znamy :

E - moduł sprężystości struny

A - przekrój (poprzeczny do x)

ρ - gęstość masową materiału

l - długość struny

Będziemy nazywać struną ugiętą wiotką nić , w której siła naciągu jest w każdej chwili

styczna do jej osi . W rozważaniach ograniczymy się tylko małych wychyleń , tzn. takich , dla

których kwadraty wychyleń pomijalnie małe . Ponadto zakładamy , że u(x,t) leży w

płaszczyźnie x , u i jest prostopadle do x . Aby wyznaczyć równanie różniczkowe ruchu ,

wystarczy dla elementu o długości dx napisać warunki równowagi w sensie d`Alamberta .

x dx

x

q(x,t)

T T

α

dB

u

Rys.2. Element struny o długości dx .

(9.2)

(9.3)

Równanie (9.3) opisuje siłę d`Alamberta

(9.4)

Siła powstała od obciążenia q będzie wprost równa qdx .

Dla przyjętych założeń piszemy zasadę d`Alamberta na kierunek współrzędnej u .

(9.5)

Uwzględniając równanie (9.4) w równaniu (9.5) otrzymujemy :

(9.6)

(9.7)

(9.8)

Równanie (9.8) obrazuje prędkość rozchodzenia się dźwięku w płynie .

(9.9)

Równanie (9.9) przedstawia równanie falowe ( równanie różniczkowe drgań struny ) .

3.Równanie drgań wzdłużnych .

Rys.3. Pręt drgający podłużnie .

Gdybyśmy przeanalizowali podłużne drgania pręta , to przy założeniu zasady płaskich

przekrojów oraz pominięciu wpływu odkształceń poprzecznych na drgania podłużne ,

możemy napisać warunki równowagi dla wyciętego elementu w przekroju x o długości dx.

Współrzędną opisujące ruch u(x,t) jest przemieszczenie przekroju , który przed

odkształceniem przecinał oś X w punkcie x . Przemieszczenie to przyjmujemy o zwrocie

zgodnym z dodatnim kierunkiem osi X .

dx

x q(x,t)

N(x,t) dB

u(x,t)

Rys.4. Element pręta o długości dx .

Z warunków równowagi wynika :

X : (9.10)

Po wykonaniu przekształceń otrzymujemy :

(9.11)

Z prawa Hooke`a wynika :

(9.12)

Uwzględniając równanie (9.12) w równaniu (9.11) otrzymujemy :

(9.13)

gdzie :

(9.13a)

Wielkość a określa prędkość rozprzestrzeniania się fali w ciele sztywnym .

4.Równanie drgań skrętnych .

dx

X

u(x,t)

q(x,t)

M(x,t)

Rys.5.Pręt skręcany momentem M .

Oznaczając współrzędną opisującą drgania przez kąt u(x,t)

(9.14)

gdzie :

(9.15)

(9.16)

Po uwzględnieniu równań (9.14) , (9.15) , (9.16) otrzymujemy wyrażenie :

(9.17)

Zakładamy , że

(9.18)

Wykazaliśmy , że postać równania (9.18) jest taka sama jak postać równania (9.9) i (9.13) .

Aby je rozwiązać w sposób jednoznaczny , konieczne jest określenie stanu układu w chwili

początkowej .

(9.19)

Wyprowadzenia równe są w każdym zewnętrznym punkcie odcinka . Dla pełnego określenia

rozwiązania poza warunkami początkowymi , konieczne jest również określenie zjawisk ruchu

na brzegu . Liczba warunków brzegowych jest równa rzędowi równania względem zmiennej

przestrzennej .

W rozważanych przez nas przypadkach dla pełnego określenia rozwiązania należy wyjść z

warunków brzegowych . Każdy z dwóch warunków brzegowych określa zjawisko (stan

przemieszczeń lub sił ) na jednym brzegu .

x u(0,t)

Rys.6. Pręt swobodnie podparty .

(9.20)

Fakt zerowania się naprężeń wynika z zależności (9.12) .

Inne warunki można spotkać w przypadku podparć mieszanych tzn. takich , że ciało (pręt)

może być podparty sprężyście (rys.7.) .

Rys.7. Podparcie mieszane .

Inne warunki brzegowe zestawione są w tablicy nr 1 .

Tablica 1. Rodzaje warunków brzegowych .

1 SWOBODNY

2 ZAMOCOWANY

3 ZAMOCOWANY

SPRĘŻYŚCIE

Z MASĄ

4 SKRZYNIOWA

ZAMOCOWANY

5 SPRĘŻYŚCIE

Z MASĄ SKRZ.

RODZAJ BRZEGU

LP

WARUNEK BRZEGOWY

m

m

PRAWY BRZEG

LEWY

BRZEG

---