Modele ARCH i GARCH

Jedną z cech typowych dla finansowych szeregów czasowych jest tzw. grupowane wariancji, wyraźnie widoczne na wykresie zwrotów z dowolnego instrumentu (czy to akcji, czy indeksów, czy kursów walutowych). W celu wykorzystania tego zjawiska w modelowaniu zmiennych finansowych skonstruowano modele ARCH, później GARCH i rozmaite ich uogólnienia.

Rys. 1. Wykresy zwrotów pewnego indeksu giełdowego

Źródło: opracowanie własne

Autorem modeli typu ARCH jest Robert F. Engle (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation, „Econometrica”, 50, s. 987-1007, 1982).

Dobry opis modeli ARCH i GARCH wraz z dokładną tablicą ilustrującą klasyfikację różnych wersji tych modelu można znaleźć w książce Janusza Brzeszczyńskiego i Roberta Kelma „Ekonometryczne modele rynków finansowych. Modele kursów giełdowych i kursów walutowych”, WIG-PRESS, Warszawa 2002, zapis wzorów w niniejszym omówieniu oparty jest właśnie na tym tekście.

Znacznie obszerniejsza jest monografia Małgorzaty Doman i Ryszarda Domana „Ekonometryczne modelowanie dynamiki polskiego rynku finansowego”, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu. Rozdział 7 tej książki poświęcony jest właśnie modelom GARCH, następne rozdziały dotyczą innych typów modeli (m.in. modele stochastycznej zmienności, modele dwuliniowe; modelowanie wartości zagrożonej ryzykiem, i in.).

Model ARCH zawiera równanie opisujące wariancję składnika losowego przy użyciu modelu autoregresji AR(S):

Proces stochastyczny kształtujący
opisany tym wzorem nazywany jest autoregresyjnym procesem z warunkową heteroskedastycznością (autoregressive conditional heteroskedasticity), stąd skrót ARCH.

Stosowany jest również zapis (Brzeszczyński, Kelm, str. 45):

, gdzie

Wielkość
równa jest warunkowej wartości oczekiwanej składnika losowego (warunkowo względem wartości obserwowanych w poprzednim okresie), więc warunkowa wariancja jest zmienna w czasie.

Wariancja (bezwarunkowa) jest natomiast równa
.

Liniowy model zwrotów danego instrumentu finansowego, zakładający że składniki losowe generowane są zgodnie z procesem ARCH, ma postać:

, (1)

gdzie
, (2)

(3)

W pierwszym równaniu występują dodatkowe zmienne objaśniające. Można tu w najprostszym przypadku wykorzystać model autoregresji
względem ich opóźnionych wartości, albo wzbogacić model o zmienne np. odpowiadające czynnikom fundamentalnym (zmienne makroekonomiczne itp.).

Można szacować model metodą najmniejszych kwadratów, ale metoda największej wiarygodności jest bardziej efektywna; inne metody estymacji to uogólniona metoda momentów (GMM) oraz quasi-MNW.

Test Engle'a efektu ARCH

Aby sprawdzić, czy warto w modelu liniowym zastosować drugie równanie warunkowej heteroskedastyczności, albo po prostu sprawdzić czy zwroty z danego instrumentu mają własność grupowania wariancji opisane warunkową heteroskedastycznością, stosujemy test Engle'a efektu ARCH:

Sposób przeprowadzenia testu jest następujący. Szacujemy regresję kwadratów reszt względem reszt opóźnionych

(Test ARCH)

i wyznaczamy współczynnik determinacji dla tej regresji
.

Hipoteza zerowa o braku efektu ARCH odpowiada założeniu

Hipoteza alternatywna oznacza, że parametry są istotne:
, i odpowiada występowaniu efektu ARCH.

Statystyka testu ma postać
i ma rozkład asymptotyczny
o S stopniach swobody; T oznacza liczbę obserwacji w próbie.

W przypadku gdy szacujemy równanie (Test ARCH) bezpośrednio metodą najmniejszych kwadratów w gretl, tabela z wynikami estymacji zawiera m.in. wartość statystyki F testu Walda łącznej istotności opóźnionych kwadratów. Podany jest poziom istotności tej statystyki.

Jeśli obliczona wartość statystyki przekracza wartość krytyczną, hipotezę zerową o braku efektu ARCH należy odrzucić. Jeśli empiryczny poziom istotności statystyki jest mniejszy niż np. 0,05, hipotezę zerową o braku efektu ARCH należy odrzucić.

Dokładnie tak samo można sprawdzić efekt ARCH dla wyjściowego szeregu zwrotów
. Przypomnijmy, że dla zmiennych finansowych wyznaczamy
, gdzie
oznacza wycenę instrumentu w momencie t.

Oto wykresy odpowiednio zwrotów logarytmicznych dla WIG20 w okresie od początku roku 2000 do końca lipca 2009, oraz kwadratów zwrotów logarytmicznych w tym samym okresie. Widać, że w momentach kryzysów, gdy zmienność na rynkach finansowych rosła, również WIG20 wykazywał większe wahania niż przeciętnie. Na wykresie kwadratów zwrotów różnice pomiędzy wartościami w okresach spokojniejszych i w okresach kryzysów są jeszcze bardziej widoczne.

Wykres zwrotów z WIG20

Wykres kwadratów zwrotów z WIG20

Model GARCH

Model GARCH, wprowadzony przez Bollersleva [1986], ma podobne cele jak model ARCH, ale tzw. oszczędniejszą parametryzację. Funkcja wariancji warunkowej ma postać:

Zakłada się, że wyraz wolny jest dodatni, a pozostałe parametry nieujemne.

W szczególności model GARCH(1,1) ma postać:

Umożliwia zwykle dokładny opis zjawisk finansowych, przy czym
jest bliskie 1 (Brzeszczyński i Kelm powołują się tu na wyniki Bollersleva i in. [1994]).

Bollerslev, T. [1986] Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity, “Journal of Econometrics”, 31, 307-327.

Bollerslev, T. , R.F. Engle, D. Nelson [1994], ARCH Models, w: Engle, R.F., McFadden, D.L. (red.), “Handbook of Econometrics”, IV, Elsevier, Amsterdam, s. 2959-3038.

Miary zgodności kierunku (Brzeszczyński i Kelm, str. 61-64)

Miara oceny predyktywnych zdolności modelu, sprawdzająca trafność przewidywania zmian kierunku:

Porównujemy liczbę obserwacji, dla których
, z liczbą obserwacji, dla których obie wartości - empiryczna i teoretyczna - są niezerowe.

Zdolność przewidywania punktów zwrotnych:

Miary sprawdzające, czy model odzwierciedla duże zmiany kursowe, jaka jest wielkość błędów modelu gdy prawidłowo odwzorowuje zmiany kursowe, miary uwzględniające 1% koszty transakcyjne.

Dla modeli ARCH proponują miary oparte na relacji między zwrotami i wariancją warunkową:

1

---