a=7

b=12

f(t)=t²

dla warunków początkowych:

x'(0)=0

x(0)=1

Obie strony równania poddajemy przekształceniu Laplace'a uwzględniając przy tym warunki początkowe:

Rozkładamy na ułamki proste pierwszy składnik:

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika mamy:

Po podstawieniu za s=-4 otrzymujemy:

A(-4+3)+B(-4+4)=3

-A=3

A=-3

Po podstawieniu za s=-3 otrzymujemy:

A(-3+3)+B(-3+4)=3

B=3

Rozkładamy na ułamki proste drugi składnik:

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika mamy:

Podstawiamy za s=-4 i otrzymujemy:

Podstawiamy za s=-3 otrzymujemy:

Podstawiamy za s=0 otrzymujemy:

Podstawiamy za s=-1 oraz wartości współczynników C₁ D i E otrzymujemy:

Podstawiamy za s=1 otrzymujemy: