8.6. Statyka sprzęgieł wychylnych

8.6.1. Statyka ogólna pojedynczego sprzęgła wychylnego.

Równowaga statyczna sprzęgła wychylnego, załamanego o kąt , stanowi o występowaniu momentu poprzecznego Mpoprz.

Wektorowy rozkład momentów obciążających sprzęgło zilustrowano rysunkiem 8.52.

Rysunek 8.52. Rozkład obciążeń sprzęgła wychylnego.

Niech zilustrowane rysunkiem 8.52 sprzęgło będzie traktowane jako łączące ułożyskowany wał wejściowy A ze środkowym odcinkiem wału przegubowego. Ponieważ środkowy odcinek wału biernego B - w takiej konfiguracji - nie ma wasnego łożyskowania lecz "wisi" na obydwóch sprzęgłach wału przegubowego to z faktu tego wynikają wszystkie konsekwencje analityczne obciążeń obydwóch sprzęgieł wału:

Ogólne równanie płaskiej statyki sprzęgła:

(8.133)

Związek zaburzeń prędkości sprzęgła wychylnego z zaburzeniami obciążeń roboczych poszczególnych odcinków wału wyznacza się poprzez bilans mocy w poszczególnych odcinkach wału:

(8.134)

Momenty poprzeczne wałka A są równoważone reakcjami w jego łożyskach.

Momenty poprzeczne środkowego (biernego) odcinka wału B są równoważone siłami poprzecznymi w zawieszeniu tego odcinka na sprzęgłach: Na przykład moment Mzo równoważony jest parą sił na kierunku X jak to zilustrowano schematycznie rysunkiem 8.53.

Rysunek 8.53. Ilustracja wzajemnej zależności obciążeń panujących w obydwóch sprzęgłach wychylnych wału przegubowego.

Składowe elementy obciążeń panujących w sprzęgłach wychylnych.

Zgodnie z wcześniejszymi uwagami do zbioru sprzęgieł wychylnych zaliczamy zarówno klasyczne mechanizmy kompensujące niewspółosiowość wychylną jak też mechanizmy z więzami i członami sprężystymi (na przykład cięgnowe) a także niemechaniczne obiekty sprężyste (pozbawione sztywnego szkieletu strukturalnego).

Pełną statykę sprzęgła wychylnego określają trzy składowe oddziaływania:

ogólne zasady statyki przestrzennej - według powyższych ilustracji;

wewnętrzny układ strukturalny (rozkład i geometria cięgieł);

wewnętrzny układ sprężysty (więzy sprężyste w strukturze sprzęgła).

Rysunek 8.54. Ilustracja składowych obciążeń panujących w sprzęgle wychylnym z więzami sprężystymi.

8.6.2. Statyka sprzęgieł wychylnych w strukturze wału przegubowego.

Dodatkowy kąt załamania osi wału.

Dodatkowy kąt załamania dod osi wału napędzanego w stosunku do wału napędzającego w sprzęgłe wychylnym może występować z dwóch przyczyn:

na skutek sprężystych ugięć promieniowych załamanego sprzęgła;

na skutek strukturalnej nierównobieżności poprzecznej sprzęgła wychylnego.

Rysunek 8.55. Ilustracja dodatkowego kąta załamania osi wału przegubowego.

Dodatkowy kąt zaamania osi wału przegubowego, pochodzący od sprężystych ugięć sprzęgieł, wynika ze statyki tych sprzęgieł lecz tej statyki nie określa. Zatem, rozważając statykę podstawową sprzęgła, kąty dodatkowe można pominąć.

(8.135)

Przestrzenne warunki statycznej równowagi sprzęgła

Przestrzenne warunki statycznej równowagi sprzęgła, pod względem pojęciowym, wynikają wprost z rysunków 8.54 i 8.55. Ich analiza wymaga etapowego rozważenia:

ogólnych zasad statyki przestrzennej - według powyższych ilustracji,

analizy obciążeń panujących wewnątrz układu strukturalnego sprzęgła (analiza strukturalna z uwzględnieniem rozkładu i geometrii cięgieł);

analizy obciążeń wynikających z ugięć panujących w elementach wewnętrznego układu sprężystego (analiza sprężysta uwzględniająca odkształcenia wszystkich więzów sprężystych w strukturze sprzęgła).

W następnych paragrafach kolejno przeprowadzimy przykadową analizę strukturalną i analizę sprężystą (sztywności kierunkowe) wybranych sprzęgieł.

8.6.3. Statyka strukturalna wychylnego, parzystocięgłowego, sprzęgła znakoprzemiennego

Rysunek 8.56. Schemat (trójramiennego, znakoprzemiennego) sprzęgła sześciocięgłowego do analizy jego statyki strukturalnej.

Statyka strukturalna sprzęgła cięgłowego uwzględnia: rozkład cięgieł w sprzęgle, liczbę cięgieł w sprzęgle, znaki obciążeń roboczych cięgieł, geometrię osadzenia cięgieł. Dodatkowo statyka strukturalna uwzględnia obecność więzów sprężystych w węzłach połączenia cięgieł z ramionami sprzęgła. W tym miejscu obecność więzów sprężystych zostanie - dla uproszczenia - zignorowana; przeguby zostaną potraktowane jako wyidealizowane: bez luzów i bez tarcia.

Rysunek 8.57. Rozkład obciążeń w przyłączach prawego cięgna rozciąganego

Na rysunku powyżej umownie pokazano siły działające na poszczególny element (a nie reakcje). Jeżeli dwa cięgła, przyłączone do pojedynczego ramienia wału, mają różne znaki działających w nich obciążeń to ramię (ogólnie), na skutek działania składowych obciążeń na kierunku "Y", może podlegać zarówno skręcaniu wokół własnej osi jak też zginaniu. Statyka strukturalna - jak widać - jest bardziej szczegółowa niż statyka ogólna sprzęgła. Statyka strukturalna także uwzględnia (ewentualne) dodatkowe kąty załamania osi wałów połączonych poprzez sprzęgło cięgłowe.

Statykę związaną z występowaniem więzów sprężystych w strukturze sprzęgła cięgłowego, jak wyżej wspomniano, należy rozważać oddzielnie i traktować superpozycyjnie względem statyki strukturalnej. Ta bowiem została wyznaczona dla przegubów idealnych.

Podstawowe wielkości geometryczne w sprzęgle opisane są następująco:

Kąt położenia środka j- tego łącznika:

(8.136)

Promień osadzenia środka łącznika:

(8.137)

Kąt położenia punktu na ramieniu A odmierzany od Z na płaszczyźnie XZ:

(8.138)

Kąt położenia punktu na ramieniu B odmierzany od Z na płaszczyźnie XZ:

(8.139)

Rysunek 8.58. Konfiguracja ramienia Nr. 1 sprzęgła na tarczach wałów A i B.

Współrzędne kątowego położenia wałów A i B (zgodnie z rysunkami 8.56 i 8.58) dobrano tak, że gdy osie wałów pokrywają się, to kąty i są jednakowe. Kąt załamania osi łącznika w stosunku do płaszczyzny dwusiecznej pomiędzy płaszczyznami trajektorii A i B oznaczono jako Lj.

(8.140)

gdzie l - długość łącznika; j- numer ramienia sprzęgła; i - indeks strony lewej L i prawej P ramienia.

Odchylenia y(A-B)ji pomiędzy punktami na trajektoriach A i B wynoszą:

(8.141a)

Dla przypadków małych wartości kąta załamania osi wałów otrzymujemy dostatecznie dokładny wzór przybliżony:

(8.141b)

gdzie: Y - wysuwność względna wałów A i B.

Albo w nieco innej postaci ujednoliconej z ujęciem (8.136):

(8.141c)

Kierunki obciążeń w cięgnach - łącznikach, zgodnie z rysunkiem 8.58, są następujące: łączniki "P" są rozciągane; zaś łączniki "L" są podłużnie ściskane. Zauważmy, że łączniki rozciągane, przy opisie sprzęgła w prawoskrętnym układzie współrzędnych, gdy kąt > 0, wywołują działanie sił składowych poosiowych na węzły ramion A - ze znakiem ujemnym, zaś na węzły ramion B - ze znakiem dodatnim.

Rysunek 8.59. Składowe poosiowe sił od cięgna działających na ramiona A i B.

Kąt Lji pochylenia środka cięgła - łącznika, opisany przez wzory (8.140) i (8.141) względem płaszczyzny dwusiecznej pomiędzy płaszczyznami trajektorii A i B, różni się nieznacznie od kąta pochylenia tego cięgła - łącznika w punkcie "ji" osadzenia przegubu - względem płaszczyzny pracy ramienia A lub B. Wymaga to więc uwzględnienia korekcyjnej poprawki Lji w stosunku do wartości kąta Lji, stosownie do obwodowego położenia analizowanego punktu "ji" na tarczy wału. Z rysunku 8.59 wynika, że kąty pochylenia łącznika w stosunku do płaszczyzn trajektorii A i B w punktach A1L i B1L ogólnie są różne. Zatem w poszczególnych punktach Aji oraz Bji kąty pochylenia cięgieł względem płaszczyzn trajektorii A i B są sumą: kąta pochylenia osi cięgła względem płaszczyzny dwusiecznej (leżącej pomiędzy płaszczyznami A i B), oraz:

- kąta poprawki korekcyjnej - pochylenia osi cięgła względem płaszczyzny trajektorii punktów przyłączenia cięgieł do tarczy określonego ramienia:

(8.142)

W postaci jawnej, dla ramienia Nr.1, przykładowo otrzymujemy zapis następujący:

(8.143a)

albo ostatni zapis z bardzo wiernym przybliżeniem:

(8.143b)

Siły posiowe (zgodne z kierunkiem osi Y lub Y) działające na tarcze wałów A i B w poszczególnych węzłach pochodzą od sił w pochylonych cięgłach:

Siła wzdłużna obciążająca łącznik-cięgło (wzdłuż osi cięgła) wynosi:

(8.144)

Wzór jest ścisły jedynie dla =0. Przyjmując w dalszym ciągu: sin ; cos1, otrzymujemy następujący przykładowy zapis wartości sił poosiowych dla ramienia pierwszego (w prawoskrętnym układzie współrzędnych), zgodnych z kierunkami Y i Y, działających na elementy A i B w przegubach łącznika-cięgła ściskanego (), gdy kąt >0, :

(8.145)

gdzie znaki górne dotyczą i=L; dolne zaś i=P;

Całkowita, wypadkowa siła poosiowa, pochodząca wyłącznie od obciążenia roboczego, działająca na elementy B i A wynosi zero:

(8.146)

Siły FYAji oraz siły FYBji działają na ramionach, według (8.142) niżej opisanych:

(8.147a)

(8.147b)

Siły FYAji oraz siły FYBji, opisane przez (8.145), działając w punktach Aji oraz Bji na swych ramionach według (8.147), wywołują określone momenty zginające wały A i B. Momenty te stanowią sumy momentów poszczególnych ramion sprzęgła. Przykładowo, dla

j-tego ramienia, momenty zginające wynoszą:

(8.148a)

(8.148b)

Zgodnie z (8.144), (8.145), (8.147) i (8.148), dla każdego ramienia możemy wyznaczyć momenty nań działające a następnie zsumować je po N dla otrzymania strukturalnego momentu wypadkowego działającego na tarczę wału sprzęgła N- ramiennego:

(8.149)

Analityczne wyznaczenie powyższych momentów wymaga dość żmudnych przekształceń.

Przykładowo, moment Mz działający na ramię j=1, wału A, w znakoprzemiennym sprzęgle N - ramiennym wynosi:

(8.150)

I podobnie MXA1:

(8.151)

Pierwszy człon po prawej stronie znaku równości opisuje wpływ - pochylenia łącznika w stosunku do płaszczyzny dwusiecznej trajektorii A i B oraz wpływ członu ; drugi wyraz opisuje wpływ wysuwności Y;

Przechodząc do szczególnego przykładu sprzęgła dwuramiennego, możemy łatwo wyznaczyć momenty MZA i MXA dla czterocięgłowego sprzęgła znakoprzemiennego.

Sumując (8.150) według (8.149), dla ramienia traktowanego jako drugie, w miejsce 1 należy podstawić 1+ oraz w miejsce 21 podstawiamy 2(1+). Podobnie należy postąpić wyznaczając MXA na podstawie (8.151) i (8.149).

Ponieważ cos(1+)= cos1, to drugie wyrazy (8.150) i (8.151) się wyzerują.

(8.152a)

(8.152b)

Widzimy, że "czysta" wysuwność nie ma wpływu na strukturalne momenty poprzeczne w sprzęgle. Wyrazy pierwsze po prawej stronie znaku równości (8.150) i (8.151), zawierające sin21 i cos21, w sprzęgle dwuramiennym ulegają podwojeniu. Przy zachowaniu współosiowości wałów, gdy =0; momenty poprzeczne nie występują.

Pozostało do wyznaczenia obciążenie robocze MY; wału B za sprzęgłem dwuramiennym. Dla zastępczego "mechanizmu" sprzęgła obowiązuje wcześniej wyznaczona zależność przybliżona:

(8.153)

Ponieważ bilans mocy przenoszonej przez wały: aktywny A i bierny B musi być zgodny, przeto możemy napisać:

(8.154)

Zatem, na podstawie znajomości funkcji położenia sprzęgła (8.152), na podstawie (8.153), możemy, dla =const, napisać:

(8.155)

Widzimy, że moment w wirującym wale B za sprzęgłem dwuramiennym wyróżnia się tętnem harmonicznym o podwojonej częstości [gdyż =t;].

W wyżej rozpatrzonej statyce strukturalnej sprzęgła dwuramiennego (czterocięgłowego) nie uwzględniono sztywności sprzęgła na załamanie osi. Uwzględniono jedynie wpływ momentu roboczego na poprzeczne obciążenia sprzęgła i wału biernego w wyniku przestrzennej konfiguracji cięgieł przyłączonych do ramion sprzęgła za pomocą modelowo wyidealizowanych przegubów kulistych.

8.6.4. Wyznaczenie sztywności sprzęgła czterocięgłowego na skręcanie pod obciążeniem roboczym

Na rysunku 8.60 przedstawiono sprzęgło czterocięgłowe po narzuceniu nań przemieszczenia względnego A B o wartości . Każde z ramion doznało przemieszczenia - względem położenia początkowego - o wartość połowy tego kąta. Położenie początkowe ramion - przed narzuceniem przemieszczenia - pokazano linią kropkową; położenie końcowe - liną ciągłą. Odkształcalne są tylko cięgła. Odkształcone cięgło pokazano linią pogrubioną.

Rysunek 8.60. Szkic sprzęgła czterocięgłowego do badania sztywności skrętnej.

W położeniu początkowym każde cięgło miało długość początkową o wartości lo. Po narzuceniu przemieszczenia kątowego , każde cięgło doznało zmiany długości o wartość lo. Wyznaczymy związek pomiędzy a lo.

Zapiszemy podstawowe zależności geometryczne w relacji:

przed odkształceniem cięgła po odkształceniu cięgła.

(8.156)

Uwzględniając zapis z lewej strony ostatniego wiersza w zapisie po prawej stronie, po rozwinięciu w szereg i po odrzuceniu wielkości małych i lo, występujących w potęgach wyższych niż 1, otrzymujemy kolejno:

(8.157)

Energia potencjalna odkształcenia pojedynczej tulejki wynosi:

(8.158)

Tulejek jest osiem. Dla całego sprzęgła otrzymujemy:

(8.159)

gdzie: s - zastępcza sztywność skrętna sprzęgła [Nm];

t - promieniowa sztywność pojedynczej tulejki [N/m];

t - skrętna sztywność pojedynczej tulejki [Nm];

Sztywność skrętna sprzęgła jest wielkością stałą, niezależną od kąta obrotu.

Natomiast sztywność sprzęgła czterocięgłowego na załamanie osi okąt wyróżnia się tętnem o podwojonej wartości kąta [2] położenia wału A.

Zapis sztywności sprzęga na załamanie osi jest następujący:

(8.160)

Gdzie oznaczono dodatkowo:

s - sztywność sprzęgła na załamanie osi [Nm]; s =s(2);

t - sztywność pojedynczej tulejki na załamanie jej osi [Nm];

t - poosiowa sztywność pojedynczej tulejki [N/m];

8.6.5. Sprzęgło czterocięgłowe znakoprzemienne. Sztywność sprzęgła na załamanie osi o kąt

Na rysunku 8.61 pokazano obciążenia działające na dany węzeł lub element konstrukcyjny (a nie reakcje tego węzła). Przy załamaniu wałów o kąt , nieobciążonego momentem roboczym sprzęgła, następuje zarówno jednakowe wydłużenie wszystkich cięgieł jak też odchylenie osi tych cięgieł od płaszczyzn - trajektorii węzłów osadzenia cięgieł do tarcz wałów. Podczas pracy sprzęgła obciążonego momentem roboczym (jak na rysunku) dodatkowo występują superpozycyjne odkształcenia cięgieł nie mające energetycznego udziału w załamaniu osi wałów. Mówiąc o sztywności sprzęgła na załamanie osi nie będziemy więc rozważać przypadku pracy sprzęgła z obciążeniem roboczym.

Rysunek 8.61. Obciążenia w obszarze sprzęgła czterocięgłowego znakoprzemiennego.

Zarówno na skutek wydłużeń l cięgieł jak też na skutek wystąpienia kątów odchylenia i cięgieł każdego z j=1,2,...N ramion od trajektorii A i B, powstaje dodatkowa energia potencjalna. Każda tulejka metalowo - gumowa ma sztywność promieniową , oraz sztywność na załamanie osi tulejki . Jeżeli cięgła są wykonane w postaci sprężyn osadzonych w węzłach za pomocą przegubów kulistych, to w zapisie energii wystąpi tylko sztywność podłużna /2, odpowiadająca wypadkowej sztywności dwóch tulejek pracujących w połączeniu szeregowym. [Jeżeli cięgła są płytkowe to należy wyznaczyć odpowiedniki odpowiednich sztywności na podstawie teorii odkształcenia belek sprężystych].

Energia potencjalna odkształcenia wszystkich tulejek w sprzęgle wynosi ogółem:

Oznaczając: j=N - liczba ramion na każdej tarczy wału sprzęgła (w naszym przypadku sztuk 2);

i=L, P, - strona lewa - L i prawa - P ramienia zwróconego ku górze, zgodnie ze zwrotem osi Z;

4N - liczba wszystkich tulejek w sprzęgle (w naszym przypadku sztuk 8);

otrzymujemy:

(8.161a)

(8.161b)

gdzie:

- sumaryczna sztywność sprzęgła na załamanie osi o kąt .

Aby wyprowadzić wzór opisujący sztywność sprzęgła na załamanie osi należy przedtem wyznaczyć

Wyznaczenie l():

Z badania kinematyki sprzęgła czterocięgłowego uwzględniającej jedynie wydłużenia cięgieł l wiadomo, że:

(8.162a)

(8.162b)

gdzie i=L,P;

oraz:
(8.163)

Uwzględniając (8.163) w (8.162), oraz przyjmując
otrzymujemy:

(8.164)

Energia potencjalna załamania sprzęgła wynikająca z (jednakowych) wydłużeń cięgieł oraz składowa sztywność sprzęgła na załamanie osi wynikająca wyłącznie z tych wydłużeń wynosi odpowiednio:

(8.165)

Zatem składowa sztywności sprzęgła pochodząca wyłącznie od wydłużeń cięgieł w sprzęgle dwuramiennym (N=2), jest w funkcji kąta nieliniowa i wynosi:

(8.166)

gdzie [N/m] - sztywność promieniowa pojedynczej tuleki metalowo - gumowej [albo podwojona sztywność wzdłużna sprężystego cięgna płytkowego].

Widzimy, że tętno tej pierwszej składowej sztywności (ze względu na drugą potęgę za nawiasem kwadratowym) ma poczwórną częstość w stosunku do prędkości kątowej wału; =d/dt.

Wyznaczenie ji():

Kąty ramienia numer 1 sprzęgła, określające drugą składową sztywności tego sprzęgła pochodzącą od odchylenia cięgieł w stosunku do płaszczyzny trajektorii przegubów sprzęgła N - ramiennego, wynoszą:

(8.167)

Albo dla dostatecznie małych wartości :

(8.168)

W wyniku elementarnych lecz dość żmudnych przekształceń (8.168) z uwzględnieniem (8.167) otrzymujemy dla pojedynczego ramienia:

(8.169)

Należy zauważyć, że w wyrażeniu (8.169) występują kwadraty kątów załamań wszystkich tulejek jednego ramienia: zarówno przylączonych do ramienia A jak i przyłączonych do ramienia B.

Dla dwóch ramion sprzęgła, w miejsce współczynnika "2", wystąpi "4".

Możemy więc napisać:

(8.170)

Końcowa zależność, opisująca wypadkową, nieliniowo narastającą ze wzrostem kąta załamania osi sztywność sprzęgła, jest następująca:

(8.171)

gdzie - sztywność pojedynczej tulejki metalowo - gumowej na załamanie osi.

Z powyższego widzimy, że tętno sztywności sprzęgła czterocięgłowego na załamanie osi pochodzi wyłącznie od wydłużeń cięgieł. Z powyższego możemy też wnioskować, że sprzęgło krzyżakowe, zawierające tuleje metalowo - gumowe, nie wykazuje tętna sztywności czyli jego sztywność na załamanie osi wałów jest stała.

8.6.6. Jakościowe porównanie sprzęgieł wychylnych

Rysunek 8.62. Ilustracja struktur popularnych sprzęgieł wychylnych.

Ogólne (przy 0) porównanie popularnych sprzęgieł wychylnych pod względem równobieżności: a) obrotowej; b) poprzecznej; c) sztywności (wychylnej*).

TABELA 8.8.

SPRZĘGŁO	OPIS RÓWNOBIEŻNOŚCI
RÓWNOBIEŻNE	OBROTOWO	POPRZECZNIE	SZTYWNOŚĆ
KRZYŻAKOWE	NIE	TAK	TAK
CZTEROCIĘGŁOWE	NIE	TAK	NIE
SZEŚCIOCIĘGŁOWE	TAK	TAK	TAK

*) Sztywność sprężysta nie zależy od statyki obciążeń sprzęgła.

Sztywności na wychylność (na załamanie osi)

SPRZĘGŁO CZTEROCIĘGŁOWE:

(8.172)

SPRZĘGŁO SZEŚCIOCIĘGŁOWE:

(8.173)

W ostatnim przypadku nie występuje tętno sztywności zależne od .

OZNACZENIA:

ct- sztywność pojedynczej tulejki na załamanie osi (sztywność "stożkowa").

- sztywność wysuwna pojedynczej tulejki;

l - długość łącznika;

R - promień osadzenia tulejek.

282

---