Rozwiązanie:

a) v(t) = x'(t) = A₀[-βe^-βtsin(ωt + π/4) + ωe^-βtcos(ωt + π/4)], czyli :

v(t) = A₀e^-βt[ωcos(ωt + π/4) - βsin(ωt + π/4)]. Zatem:

v₀ = v(0) = A₀[ωcos(π/4) - βsin(π/4)]. A stąd, biorąc pod uwagę, że
, mamy:

b) W położeniach skrajnych prędkość v(t) staje się równa zeru, czyli: v(t) = 0.

Stąd mamy równanie:

A₀e^-βt[ωcos(ωt + π/4) - βsin(ωt + π/4)] = 0, co sprowadza się do:

ωcos(ωt + π/4) - βsin(ωt + π/4) = 0.

Przekształcając, otrzymujemy:

tg(ωt + π/4) = ω/β, czyli: ωt + π/4 = arctg(ω/β).

Ostatecznie:

.

Rozwiązanie:

Amplituda drgania wymuszonego A zadana jest wzorem:

,

gdzie: F₀ - amplituda siły wymuszającej;

m - masa ciała drgającego;

ω₀ - częstość drgań własnych ciała;

Ω - częstość drgań wymuszonych;

β - współczynnik tłumienia.

W zadaniu mamy jednakowe amplitudy drgań wymuszonych przy częstościach: Ω = ω₁ oraz Ω = ω₂. Obliczając zatem ze wzoru powyżej odpowiednio amplitudy A₁ i A₂ dla poszczególnych częstości i zgodnie z zadaniem przyrównując obie te amplitudy, a następnie wykonując niezbędne uproszczenia, otrzymujemy równanie:

(ω₀² - ω₁²)² + 4β²ω₁² = (ω₀² - ω₂²)² + 4β²ω₂².

Przekształcamy:

(ω₀² - ω₁²)² - (ω₀² - ω₂²)² = 4β²(ω₂² - ω₁²)

(ω₀² - ω₁² - ω₀² + ω₂²)(ω₀² - ω₁² + ω₀² - ω₂²) = 4β²(ω₂² - ω₁²)

(ω₂² - ω₁²)[2ω₀² - (ω₁² + ω₂²)] = 4β²(ω₂² - ω₁²)

2ω₀² - (ω₁² + ω₂²) = 4β²

Dzieląc równanie przez 2 i porządkując, otrzymujemy:

ω₀² - 2β² = (ω₁² + ω₂²)/2.

Wzór na częstość rezonansową ω_r drgania wymuszonego ma postać:

Porównując dwa ostatnie wzory, otrzymujemy:

Rozwiązanie:

Z przedstawionego równania drgania wymuszonego mamy:

A = 5 cm, Ω = 2π oraz Φ = -0,75π,

gdzie: A - amplituda drgań wymuszonych;

Ω - częstość drgań wymuszonych

Φ - początkowa faza drgań wymuszonych.

a) Równanie drgań tłumionych (swobodnych) ma postać:

x = A₀e^-βtsin(ωt + φ₀),

gdzie: A₀ - maksymalna amplituda drgań;

β - współczynnik tłumienia;

ω - częstość drgań tłumionych;

φ₀ - faza początkowa drgania tłumionego.

Z danych zadania wynika, że: A₀ = 7 cm; β = 0,5π s^-1; φ₀ = 0.

Do wyliczenia pozostaje częstość drgań tłumionych ω.

Wzór na częstość ω ma postać:

Aby ją wyliczyć potrzebna jest częstość drgań własnych ω₀, którą można wyznaczyć ze wzoru na początkową fazę drgań wymuszonych Φ:

tg Φ = - 2βΩ/(ω₀² - Ω²), gdzie wszystkie pozostałe parametry we wzorze są już znane.

b) Wzór na zewnętrzną siłę wymuszającą F ma postać:

F = F₀cosΩt

Potrzebną wartość amplitudy siły wymuszającej F₀ wyliczamy ze wzoru:

(W zadaniu brakuje wartości masy m drgającego ciała.)

Rozwiązanie:

Okres drgań własnych T₀ wahadła matematycznego dany jest wzorem:

Stąd częstość drgań własnych ω₀:

Energia całkowita drgania E(t) dana jest wzorem:

E(t) = ½kA²(t),

gdzie A(t) - amplituda drgania, która w przypadku drgania tłumionego ma postać:

A(t) = A₀exp(-βt)

(A₀ - amplituda maksymalna/początkowa).

Stąd:

E(t) = ½kA₀²exp(-2βt).

W zadaniu mamy, że E(t)/E(t+τ) = n. Stąd:

, czyli:
.

Okres drgań tłumionych T ma postać: T = 2π/ω, gdzie:
.

Logarytmiczny dekrement tłumienia Λ zadany jest wzorem: Λ = βT.

Podstawiając wyliczone wyżej wartości, otrzymujemy:

.

Rozwiązanie:

a) Amplituda drgania tłumionego w chwili τ zadana jest wzorem: A(τ) = A₀e^-βτ ,

zaś po czasie t od tamtej chwili - ma postać: A(τ+t) = A₀e^-β(τ+t).

Zgodnie z warunkami zadania mamy: A(τ)/A(τ+t) = 100, czyli e^βt = 100, stąd:

b) Częstość drgań tłumionych ω dana jest wzorem:
.

Aby ruch był aperiodyczny musi być: ω₀² - β² < 0, co daje: β² > ω₀² czyli: β > ω₀.

Częstość drgań własnych ω₀ wyliczamy ze wzoru:

, ale ponieważ współczynnik sprężystości k = F/l = mg/l, więc:
.

Zatem:

β > ω₀, gdzie
.

c) Logarytmiczny dekrement tłumienia Λ zadany jest wzorem: Λ = βT. Stąd β² = Λ²/T².

Uwzględniając, że okres drgań tłumionych T dany jest wzorem: T = 2π/ω, gdzie:
, otrzymujemy:

β² = Λ²ω²/(2π)² = Λ²(ω₀² - β²)/(4π²). Stąd: 4π²β² = Λ²ω₀² - Λ²β², czyli

.

Po uwzględnieniu, że
, mamy:
, czyli:

.

---