I INF		Ocena
19.04.2008	Badanie drgań wahadła sprężynowego

Krótki opis zagadnienia

Wahadłem sprężynowym nazywamy swobodnie zawieszoną sprężynę obciążoną ciężarkiem o masie m. Aby zbadać drgania wahadła sprężynowego wykorzystujemy właściwości ruchu harmonicznego. Ruch ten możemy zaobserwować w przypadku wahadła matematycznego, gdzie drgania odbywają się pod wpływem składowej siły ciężkości. W przypadku wahadła sprężynowego ruch harmoniczny wywoływany jest przez silę sprężystości. Zgodnie z prawem Hooke'a dla odkształceń sprężyny występuje zależność:

F= -kx , gdzie

k- współczynnik sprężystości

x- wydłużenie sprężyny

Znak „-” oznacza , że siła F ma kierunek przeciwny do wychylenia x.

Siłę wywołującą ruch harmoniczny można też określić zależnością:

,gdzie

Z porównania tych dwóch równań otrzymujemy:

Z czego możemy wyznaczyć okres drgań T określony wzorem:

We wzorze na okres drgań harmonicznych pod uwagę brana jest tylko masa m obciążenia sprężyny. W rzeczywistości musimy również uwzględnić masę sprężyny m_s. W takim wypadku powyższy wzór na okres przyjmuje postać:

W czasie wykonywania ćwiczenia obciążamy sprężynę ciężarkami oraz odczytujemy jej wychylenie. Mierzymy również czas trwania 50 drgań przy poszczególnych obciążeniach sprężyny.

Celem ćwiczenia jest sprawdzenie prawa Hooke'a i wyznaczenie współczynnika sprężystości k.

Tabele pomiarowe

Nr płytki	Łączna masa	Siła	Wydłużenie sprężyny	Czas 50 drgań t[s]	Okres drgań T[s]
-	83,21	-	17,8	-	-
1	116,79	-1,71	23,8	39,96	0,80
2	150,54	-2,19	29,9	45,18	0,90
3	184,20	-2.46	35,2	51,33	1,02
4	217,94	-2.78	42,1	56,91	1,14
5	251,45	-3.15	48,2	61,40	1,23
6	285.13	-3.40	54,3	66,81	1,34
7	318.84	-3.77	60,5	71,39	1,42
8	352,58	-4.17	65,8	74,39	1,48
9	386,34	-4.50	72,8	78,25	1,57

m_sp=62,21g

m_sz=21g

၄_dt=1s ၄_et=0,01s

၄_dx=0,1mm ၄_ex=5mm

၄_dm=0,01g ၄_em=1g

Obliczenia

Aby wyznaczyć siłę sprężystości F działającą na masą zawieszoną na sprężynie korzystamy ze wzoru:

gdzie

Wszystkie wartości prócz T mamy dane z pomiarów wykonanych podczas ćwiczenia.

Okres drgań T sprężyny możemy wyznaczyć ze wzoru

gdzie t_n- czas 50 drgań sprężyny

Po wyznaczeniu okresu drgań dla każdej z mas zawieszonych na sprężynie możemy wyliczyć wartość siły sprężystości F dla każdego z wahadeł zgonie z niżej podanym wzorem:

W celu wyznaczenia wykresu wyznaczamy niepewności pomiarowe.

Niepewność standardową u(x) wyznaczanym z metody typu B, którą opisuje się wzorem:

u(x)=

Δ_dx- niepewność wzorcowania

Δ_ex- niepewność eksperymentatora

Δ_tx- niepewność wielkości literatury

( w naszym przypadku nie uwzględniamy)

u(x)=

Natomiast niepewność u(F) wyznaczam z prawa przenoszenia niepewności ,który wyraża się w naszym przypadku wzorem:

gdzie

W celu wyliczenia niepewności standardowych u(T) i u(m) korzystam ze wzoru na niepewność standardową typu B:

u(T)=

u(m)=

Po wyznaczeniu niepewności standardowych możemy wrócić do poprzedniego wzoru podstawiając wyliczone wartości dla każdej z 9 niepewności u(F):

=0,084N

=0,091N

=0,087N

=0,083N

=0.085N

=0.081N

=0,084N

=0,088N

=0.087N

Tabela dla wykresu x=f(F)

Siła F[N]	u(F)[N]	Wydłużenie sprężyny	U(x)
-1,71	0,084	23,8	0.28
-2,19	0,091	29,9	0.28
-2.46	0,087	35,2	0.28
-2.78	0,083	42,1	0.28
-3.15	0.085	48,2	0.28
-3.40	0.081	54,3	0.28
-3.77	0,084	60,5	0.28
-4.17	0,088	65,8	0.28
-4.50	0.087	72,8	0.28

Wykres x=f(F)

Korzystając z metody najmniejszych kwadratów wyznaczam współczynnik kierunkowy prostej, który liczbowo jest równy
.

a=
=
=0,17

gdzie

X=n
=9
=67,32 N

=0,17

więc k=5,88

Przekształcając wzór na okres drgań sprężyny

otrzymuję wzór na współczynnik k sprężyny:

Po przez wzór wyznaczam wartość średnią k i porównuje ją z wartością otrzymaną wcześniej.

Obliczam niepewność standardową u(k) typu A zgodnie ze wzorem :

u(k)=
=0,80

Korzystając z niepewności rozszerzonej porównuję średnią wartość k z wartością wyznaczoną z wykresu.

Obliczam niepewność rozszerzoną przyjmując wartość k=2

Różnica pomiędzy wartością średnią a wyznaczoną z wykresu wynosi

Δk=k-k_śr=5,88
-5,34
=0,54

Wnioski

Wartość różnicy Δk=0,54
jest mniejsza od wartości niepewności rozszerzonej U(k).