Krótki opis zagadnienia

Wahadłem prostym nazywana jest kulka zawieszona na nieważkiej i nierozciągliwej nici. Aby wyznaczyć wartość przyspieszenia ziemskiego należy wyznaczyć długość nici, trwanie 30 okresów(pełnych wahnięć) oraz wartość średnią okresu w ciągu tych 30 wahnięć. Wartość przyspieszenia ziemskiego , można wyliczyć ze wzoru na okres wahadła matematycznego:

T=2Π

Wychylenie wahadła maleje wraz z czasem wskutek tarcia i oporów powietrza. Zjawisko to opisuje tzw. ruch tłumiony. Wykorzystując tabelkę z pomiarami można obliczyć logarytmiczny dekrement tłumienia, który charakteryzuje drgania tłumione . Logarytmiczny dekrement tłumienia zgodnie ze wzorem to logarytm naturalny dwóch następujących po sobie amplitud w chwilach t i t+ T.

Aby wyznaczyć tą wielkość wychylamy wahadło od pionu i odczytujemy amplitudy kolejnych wahnięć.

Tabele pomiarowe

Tabela pomiarów I

Nr. kulki	Rodzaj Kulki	Długość nici l [m]	Średnica Kulki d[m]	Długość wahadła L=(l+d/2) [m]	Czas t trwania (30) okresów [s]	Średnia wartość okresu T [s]	Stosunek L/T^2
1	Drewniana	0,764	0,0284	0,7782	51,0	1,7	0,27
2	Metalowa	0,657	0,0303	0,6721	48,0	1,7	0,26
3	Metalowa	0,482	0,0296	0,4968	42,0	1,5	0,25
4	Drewniana	0,515	0,0292	0,5296	45,0	1,5	0,24

Nr kulki	Przyspieszenie g[m/s^2]
1	10,64
2	10,25
3	9,86
4	9,46

Tabela Pomiarów II

n(ilość okresów)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
An[cm]	26	23.5	20	18	16	14	12,5	11	10,5	9

masa wahadła: m=268,5 g

czas 10 okresów wahadła fizycznego: t₁₀=39,0s

niepewności wzorcowania i eksperymentatora:

Δ_dt=0,2s Δ_et=1s

Δ_dl=1mm Δ_el=1mm

Δ_dA_n=0,5 cm Δ_eA_n=1 cm

Δ_d r=0,1mm Δ_e r=0,1mm

Δ_d m=0,5 g

Obliczenia

1.Wyznaczenie przyśpieszenia ziemskiego

Okres wahań wahadła matematycznego określa się wzorem: T=2Π

Przekształcając ten wzór otrzymujemy wzór na przyspieszenie ziemskie:

g=
*4Π²

Wartość przyspieszenia dla pierwszego wahadła :

g₁=0,27 * 4 * (3,14)²=10,64 m/s²

Wartość przyspieszenia dla drugiego wahadła :

g₂=0,26 * 4 * (3,14)²=10,25 m/s²

Wartość przyspieszenia dla trzeciego wahadła :

g₃ =0,25 * 4 * (3,14)²=9,86 m/s²

Wartość przyspieszenia dla czwartego wahadła :

g₄=0,24 * 4 * (3,14)²=9,46 m/s²

2.Wyznaczenie logarytmicznego dekrementu tłumienia

a)Dekrementem tłumienia nazywamy wielkość równą logarytmowi naturalnemu ze stosunku kolejnych dwóch amplitud.

D_n= ln

D₁= ln
=0,101 D₂= ln
=0,161 D₃= ln
=0,105

D₄= ln
=0,117 D₅= ln
=0,134 D₆= ln
=0,113

D₇= ln
=0,128 D₈= ln
=0,046 D₉= ln
=0,154

Dla danego wahadła i ośrodka tłumienia dekrement tłumienia jest wielkością stałą. Odchylenia wyników wynikają z niemożliwego precyzyjnego odczytu amplitud poszczególnych wahnięć.

b)Wyznaczenie współczynnika tłumienia i oporu ośrodka

Korzystam ze wzoru

b=2mB=2m

Stąd współczynnik tłumienia wynosi

β=

Okres jednego pełnego wahnięcia wynosi:

T=
=
=3,9s

β=
=0,030

Współczynnik oporu ośrodka (b) jest równy

b=2mβ=2*0,2685kg*0,030
=0,016

Rachunek i dyskusja niepewności

1. Rachunek i dyskusja niepewności przyspieszenia ziemskiego

a)Wyliczamy niepewności standardowe u(T) i u(l) dla każdego z wahadeł korzystając z metody typu B.

Niepewność standardową typu B obliczamy ze wzoru

u(x)=

Δ_dx- niepewność wzorcowania

Δ_ex- niepewność eksperymentatora

Δ_tx- niepewność wielkości literatury

( w naszym przypadku nie uwzględniamy)

u(T)=
=
=0,003 s

u(l)=
=
=0,82 mm=0,0082m

b) Korzystając z prawa przenoszenia niepewności możemy wyznaczyć niepewność złożoną u_c(g):

u_c(g)=

Z niepewności standardowej typu B obliczam

u(L)=
=0,89 mm=0,0089m

u_c(g)=

u_c(g₁)=
=0,3940 m/s²

u_c(g₂)=
=0,3457 m/s²

u_c(g₃)=
=0,3816m/s²

u_c(g₄)=
=0,4027 m/s²

Zestawienie końcowych wyników dla g, okresu T i długości nici l dla każdego z wahadeł.

g₁=(10,64±0,39) m/s²

g₂=(10,25±0,34) m/s²

g₃=(9,86±0,38) m/s²

g₄=(9,46±0,40) m/s²

l₁=(0,764±0,008) m

l₂=(0,657±0,008) m

l₃=(0,482±0,008) m

l₄=(0,515±0,008) m

T₁=(1,700±0,003) s

T₂=(1,700±0,003) s

T₃=(1,500±0,003) s

T₄=(1,500±0,003) s

c)Obliczamy niepewność rozszerzoną przyjmując jako parametr k=2 dla każdego z przyśpieszeń ziemskich.

Wartość tabelaryczna g_t=9,81 m/s²

Δg₁=10,64m/s²-9,81m/s²=0,83m/s²

U(g₁)=2*u(g₁)=2*0,39=0,78m/s²

Δg₁>U(g₁)

Δg₂=10,25m/s²-9,81m/s²=0,44m/s²

U(g₂)=2*u(g₂)=2*0,35=0,70m/s²

Δg₂<U(g₂)

Δg₃=9,86m/s²-9,81m/s²=0,03m/s²

U(g₃)=2*u(g₃)=2*0,38=0,76m/s²

Δg₃<U(g₃)

Δg₄=9,46m/s²-9,81m/s²=|-0,35| m/s² =0,35m/s²

U(g₄)=2*u(g₄)=2*0,40=0,80m/s²

Δg₄<U(g₄)

W każdym z przypadków U(g)>g lub U(g)<g. Różnice są niewielkie. W większości przypadków U(g)>g, możliwe iż długość wahadła bądź okres drgań został oszacowany za wysoko.

2.Rachunek i dyskusja niepewności logarytmicznego dekrementu drgań

a)Wyznaczamy najlepsze przybliżenie logarytmicznego dekrementu drgań oraz jego niepewność standardową metodą typu A.

Niepewność standardową typu A obliczamy ze wzoru

u(x_śr)=

D_śr=
=0,118

u(D_śr)=
= 0,012

b)Korzystając z prawa przenoszenia niepewności możemy wyznaczyć niepewności złożone u_c(β) i u_c(b)

Niepewność złożoną u_c(β) wyznaczamy ze wzoru:

u_c(β)=

Obliczam niepewność standardową dla T metodą typu B:

u(T)=
=
=0,059s

u_c(β)=
=
=0,004

Niepewność złożoną u_c(b) wyznaczamy ze wzoru:

u_c(b)=

Obliczam niepewność standardową dla m metodą typu B

u(m)=
=
=0,0003kg

u_c(b)=
=
=0,0020

Wnioski

W ćwiczeniu należało wyznaczyć wartość przyspieszenia ziemskiego oraz wartość logarytmicznego dekrementu tłumienia. Wyniki uzyskane w niewielkim stopniu różnią się od wartości tablicowej 9,81 [m/s²]. Odchylenia te mogą wynikać z błędów przy odczycie wartości. Na uwagę zasługuje również fakt, że wartość przyspieszenia ziemskiego nie jest stała i zależy od położenia geograficznego na powierzchni Ziemi.