Sprawozdanie nr 4 z laboratoriów systemów przetwarzania sygnałów
Temat: Twierdzenia dotyczące Transformaty Fouriera
Grupa : IZ38-I	Data: 28-04-08
Wykonał: Jerzy Myc	Ocena:

Zadania:

Zbadać pięć następujących twierdzeń dotyczących transformaty Fouriera:

1. Twierdzenie o liniowości:

1. x(t) X(jω)

2. y(t) Y(jω)

3. Α, β є R

2. Twierdzenie o symetrii:

1. x(t) x(jω) x(t) 2πx(-jω)

3. Twierdzenie o przesunięciu czasu

1. x(t-t₀) x (ω)e^-jωt₀

4. Twierdzenie o podobieństwie

1. x(t/α) |α|x(α*ω)

5. Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie częstotliwości:

1. x(t)e^jω₀^t X(ω-ω₀)

2. x(t)e^-jω₀^t X(ω+ω₀)

1. x(t)cos(ω₀t) ½ [X(ω-ω₀)+ X(ω+ω₀)]

2. x(t)sin(ω₀t) ½ [X(ω-ω₀)- X(ω+ω₀)]

Wykonanie:

1.

Parametry stałe układu :

f1=200 A1=2 Buffer=256

f2=300 A2=3 Samples=1000

ALFA=1 i BETA=1

ALFA=5 i BETA=3

ALFA=1 BETA=1 ALFA=5 BETA=3

W tym doświadczeniu postarałem się sprawdzić prawo z dwóch stron. Spectrum Scope 2 pokazuje że przy wykonaniu operacji mnożenia dwóch sygnałów przez odpowiednio stałą alfa i beta, oraz dodawaniu tych sygnałów w dziedzinie czasowej, uzyskujemy w widmie częstotliwościowym wzmocnienie amplitud natomiast częstotliwości pozostają te same. Natomiast Spectrum Scope sprawdza czy przy użyciu podobnej operacji na widmach tych sygnałów uzyskamy ten sam efekt. I faktycznie widać wzmocnienie tych amplitud więc można powiedzieć że operacja jest symetryczna. Następnie przekształciłem to co mi wyszło poprzez działanie na dziedzinie częstotliwościowej na dziedzinę czasową i rzeczywiście widać zwiększenie amplitudy.

2.

Parametry stałe układu :

Buffer = 512 Pulse Period Samples time =1/1000

Pulse Period Samples =1000 Pulse Width=500

To doświadczenie uprościłem poprzez stworzenie tylko jednego impulsu dodatniego, policzyłem z niego widmo amplitudowe które przedstawia Spectrum Scope następnie aby udowodnić prawdziwość twierdzenia przeprowadziłem odwrotną transformatę z dziedziny częstotliwościowej (która miał postać funkcji sinc) i uzyskałem postać w dziedzinie czasowej (Vector Scope) podobną do tej którą wprowadziłem na wejście w ten sposób potwierdziłem prawdziwość twierdzenia.

3.

Parametry stałe układu :

A=2 Buffer=512

f=10

Time=0.1

Time=0.4

Aby sprawdzić czy przesunięcie w dziedzinie czasowej ma wpływ na dziedzinę częstotliwościową i fazową użyłem bloku Transport delay. Użyłem dwóch wartości 0.1 i 0.4 aby sprawdzić czy ze wzrostem tego opóźnienia wpływ się zwiększa. Vector Scope1 i 2 przedstawia odpowiednio widmo fazowe i amplitudowe sygnału wejściowego bez przesunięcia a Vector Scope 3 i 2 sygnał z przesunięciem dla porównania. Widać że im większe przesunięcie to widmo amplitudowe jest mniej wyraźnie od początkowego powstaje tak jakby więcej sygnałów składowych a widmo fazowe odpowiednio też reaguje na nowo powstałe składowe sygnału. Te składowe są to zera podane przez blok Transport Delay zamiast sygnału. Więc jak widać przesunięcie w czasie wpływa na sygnał w dziedzinie częstotliwościowej.

4.

Parametry stałe układu :

A=2 Buffer=1024

f=200

t=1
t=0.1

t=4

Aby dowieść tego twierdzenia użyłem mniejszej ilości bloków po prostu w bloku przy pomocy zmiennej t zmieniałem sample time przy pomocy równania t*(1/1000) . Stwierdziłem że po skalowaniu czasu zmieniła się częstotliwość prążka sygnału. Skalując czas przesuwamy prążek na niższe częstotliwości.

5.

Parametry stałe układu :

A1=1 A2=1 A3=1 sin wale A=1

f1=20 f2=30 f3=10 sin wale f=30

W powyższym układzie dokonuje przesunięcia w dziedzinie częstotliwościowej poprzez wymnożenie sygnału poprzez funkcje sinus. W wyniku uzyskuje przesunięcie w dziedzinie częstotliwościowej w tył, lecz przez to iż wykonany jest zwykłe mnożenie sygnałów powstaje modulacja amplitudy. I pojawia się powielony sygnał. Więc naprawdę ciężko rozpoznać czy jest to sygnał przesunięty w przód czy do tyłu.