PODSTAWY OGÓLNEJ TEORII WZGLĘDNOŚCI.

Sformułowana w 1905 r. przez A. Einsteina Szczególna Teoria Względności (STW) wyróżnia pewną klasę układów odniesienia - układy inercjalne. Zgodnie z zasadą względności wszystkie inercjalne układy odniesienia (IUO) są równoprawne a podstawowe równania fizyki są niezmiennicze względem transformacji z jednego układu inercjalnego do drugiego - czyli względem transformacji Lorentza. Przyjmuje się tu także globalność każdego układu inercjalnego - tzn. że układ taki może być zadany w całej czasoprzestrzeni.. Wiemy, że praktycznie trudno jest wprowadzić taki globalnie inercjalny układ odniesienia. Ziemia wykonuje ruch obrotowy wokół swej osi oraz ruch obiegowy wokół Słońca, więc związany z nią układ nie będzie spełniał wymaganego kryterium. Słońce także wykonuje ruch obiegowy wokół środka Galaktyki ta zaś ruch obiegowy wokół środka masy lokalnej gromady galaktyk. Praktycznie można więc wyznaczyć ("zbudować") układ odniesienia, który z lepszym lub gorszym przybliżeniem będzie spełniał kryteria układu inercjalnego - będzie układem lokalnie inercjalnym. Najbliższy ideału mógłby być układ odniesienia związany ze średnim rozkładem mas we wszechświecie (tzw. "substratem") albo układ, w którym kosmologiczne promieniowanie reliktowe jest izotropowe.

Szczególna teoria względności nie zawierała w sobie sposobu opisu grawitacji. Einstein dążył więc do takiego opisu zjawisk fizycznych, w którym wszystkie układy odniesienia byłyby równoprawne oraz w którym mieściłby się także opis grawitacji.

Jak wiadomo, w nieinercjalnych układach odniesienia (NUO) pojawiają się tzw. siły bezwładnościowe, siła odśrodkowa czy siła Coriolisa. Z ich powodu równania mechaniki newtonowskiej nie są niezmiennicze przy przejściu z jednego do drugiego układu nieinercjalnego. Na wstępie należało więc przeanalizować problem względności przyspieszenia. STW poucza nas, że nie istnieje absolutna prędkość - o prędkości można mówić jedynie względem jakiegoś układu odniesienia. A jak jest z przyspieszeniem? Dlaczego w układach nieinercjalnych odczuwane są siły bezwładnościowe i względem czego dany układ nieinercjalny jest przyspieszany? Cały ten kompleks pytań - zwany problemem Macha - nurtował także Einsteina.

Rozważmy następujący przykład z wirującym wiadrem napełnionym wodą. Wiadomo, że w takim wirującym wiadrze powierzchnia wody stanie się wklęsła na skutek działania siły odśrodkowej. A względem czego - względem jakiego układu odniesienia wiruje to wiadro? Odpowiedź Macha brzmi - względem średniego rozkładu mas reszty wszechświata. Można więc zapytać - czy, gdyby zamiast wiadrem, kręcić wokół niego „resztą wszechświata” to też by menisk wody w wiadrze zrobił się wklęsły? Einstein, idąc za myślą Ernesta Macha postuluje (gdyż trudno to zweryfikować empirycznie) odpowiedź twierdzącą! Tak więc jego zdaniem ruchy przyspieszone (postępowe lub obrotowe) mają sens właśnie względem rozkładu innych mas we wszechświecie. Gdyby więc w całej przestrzeni wszechświata istniała tylko jedna cząstka to nie można by mówić o jej ruchu ani czy jest jednostajny ani czy jest przyspieszony. To obecność innych mas we wszechświecie powoduje, że można odróżniać układy inercjalne od nieinercjalnych poprzez występowanie w tych ostatnich sił bezwładnościowych. Było to bardzo nowatorskie spojrzenie. Dotychczas w klasycznym ujęciu mechaniki związek pomiędzy ruchem jakiejś cząstki a istnieniem innych mas we wszechświecie był całkowicie ignorowany. Teraz, tylko gdy pracujemy w szczególnych układach - inercjalnych układach odniesienia - możemy ignorować resztę świata, w ogólnym przypadku zaś nie. Tym właśnie różnią się IUO od NUO. Uogólnienie opisu praw fizyki na układy nieinercjalne wymagało także uogólnienia podstawowej zasady względności do następującego sformułowania:

wszystkie układy odniesienia są równoprawne a podstawowe równania fizyki są niezmiennicze względem transformacji z jednego układu do drugiego.

Jest to pierwszy postulat Ogólnej Teorii Względności - tzw. postulat ogólnej kowariantności.

W matematyce od dawna były już znane takie obiekty matematyczne, które dobrze transformują się od jednych współrzędnych do drugich a zbudowane z nich równania zachowują przy takich transformacjach swoją postać. Są to tzw. tensory a równania z nich zbudowane to równania tensorowe. Tak więc w OTW podstawowe wielkości fizyczne muszą być tensorami a zapis podstawowych równań musi też mieć postać tensorową.

Przyjrzyjmy się dalej siłom bezwładnościowym powstającym w NUO. Mają one (te siły) tę własność, że wszystkim ciałom - bez względu na ich masę - nadają jednakowe przyspieszenie równe co do wartości przyspieszeniu NUO. Zauważmy, że identyczną własność mają siły grawitacyjne. Wiemy, że np. przyspieszenie ziemskie, g, jest jednakowe dla wszystkich ciał na Ziemi. To spostrzeżenie pozwoliło Einsteinowi sformułować drugi postulat OTW - zasadę równoważności. Brzmi ona:

nieinercjalny układ odniesienia o przyspieszeniu `a' będący poza polem grawitacyjnym jest lokalnie równoważny (nieodróżnialny) układowi inercjalnemu w polu grawitacyjnym o przyspieszeniu |g| = |a|.

Inaczej mówiąc - „sztuczna grawitacja” powstająca NUO jest (lokalnie) nieodróżnialna od grawitacji „prawdziwej” powstającej wokół mas. Ilustruje to poniższy rysunek 1:

Rys. 1.

Mamy tu trzy sytuacje. W części (a) obserwator znajduje się w rakiecie kosmicznej, która jest układem inercjalnym (silniki odrzutowe nie pracują) i znajduje się z dala od wszelkich mas będących źródłem grawitacji. Odczuwa on stan nieważkości, a przelatujący promień świetlny biegnie po linii prostej. Obserwator stwierdza więc, że w tym przypadku geometria w jego otoczeniu jest euklidesowa. W sytuacji (b) włączono silniki odrzutowe, rakieta leci z przyspieszeniem, obserwator w niej odczuwa przyspieszenie ku podłodze a jednocześnie zauważy, że promień świetlny przebiegający w poprzek rakiety ulegnie ugięciu ku dołowi. Stwierdzi więc, że gdy zaczął odczuwać przyciąganie to jednocześnie geometria w jego otoczeniu stała się nieeuklidesowa, gdyż najkrótsza droga pomiędzy końcami promienia świetlnego nie jest już euklidesową linią prostą. Na mocy postulatu równoważności identyczny efekt powinien wystąpić, gdy rakieta stanie na jakiejś planecie o przyspieszeniu grawitacyjnym g = a. Promień świetlny w polu grawitacyjnym powinien także ulegać ugięciu (rys (c)) .

Należy tu jednak wyraźnie podkreślić lokalność opisanej powyżej równoważności. Spójrzmy na poniższy rysunek 2. Po lewej stronie mamy układ odniesienia (np. pojazd kosmiczny) poruszający się daleko od wszelkich mas ruchem przyspieszonym (pracują silniki rakietowe) ze stałym

Rys. 2.

przyspieszeniem 'a'. Obserwator wewnątrz będzie odczuwał sztuczne ciążenie ku podłodze zaś upuszczone dwie kulki będą spadały po liniach równoległych do siebie z przyspieszeniem a. Po prawej stronie mamy ten sam układ posadowiony na masywnym obiekcie kulistym mającym na powierzchni przyspieszenie grawitacyjne g = a. Tu także obserwator wewnątrz pojazdu będzie odczuwał przyciąganie ku podłodze. Jednak jeśli rozmiary pojazdu i masywnego obiektu są podobne jak na rysunku to sytuacje po lewej i po prawej stronie rysunku będą rozróżnialne. Pojawi się efekt zbliżania się spadających kulek do siebie a także zmiana siły ciężkości z wysokością (czyli z odległością od środka). Jedynie lokalnie, w bardzo małym obszarze czasoprzestrzeni obie sytuacje będą praktycznie nieodróżnialne. Tak jest np. w skali laboratoryjnej, gdzie z dobrym przybliżeniem możemy ziemskie pole grawitacyjne traktować jako pole jednorodne i gdy w przybliżeniu możemy zaniedbać wszelkie ruchy obrotowe i obiegowe Ziemi.

U podstaw opisywanej powyżej równoważności leży jeszcze jeden ważny fakt - potwierdzany wielokrotnie doświadczalnie- mianowicie równoważność (czy wręcz równość) tzw. masy bezwładnej oraz masy grawitacyjnej. Wiemy z drugiej zasady dynamiki Newtona, że aby zmienić ruch jakiegoś ciała należy zadziałać na nie siłą. Zapisujemy to znanym wzorem F = m_Ia. Masa ciała, m_I , tzw. masa bezwładna, jest właśnie ilościową miarą jego bezwładności. Wiemy bowiem (także z codziennego doświadczenia, że przy tej samej wartości działającej siły ciała o różnych masach doznają różnych przyspieszeń. Z drugie strony, już od czasów doświadczeń Galileusza wiadomo, że np. w ziemskim polu grawitacyjnym wszystkie ciała spadają z jednakowym przyspieszeniem (pomijając opór powietrza i przy spadku z wysokości małych w porównaniu z promieniem ziemskim). Siła grawitacji, F_g = m_gg , jest więc różna dla różnych ciał stałe zaś jest przyspieszenie grawitacyjne. Pojawiająca się tu wielkość m_g to tzw. masa grawitacyjna ciała. Jeśli więc efekty grawitacyjne mają być lokalnie nierozróżnialne od efektów związanych z przyspieszonym ruchem układu poruszającego się pod wpływem jakiejś innej siły F to musi zachodzić równość m_g = m_I .I tę właśnie równość potwierdziły m.in. doświadczenia Eotvosa, Dickiego i in.

Rozważmy teraz, w kontekście opisanej wyżej równoważności, słynne doświadczenie Einsteina ze spadającą swobodnie windą w jednorodnym polu grawitacyjnym. Spadająca winda jest układem nieinercjalnym, jednak nie jest to układ - tak jak to formułowaliśmy wyżej - z dala od pól grawitacyjnych, wręcz przeciwnie, znajduje się on w polu o wartości przyspieszenia grawitacyjnego g i z takim przyspieszeniem spada winda. Spadek swobodny "kompensuje" niejako (choć tylko lokalnie) efekty związane z istnieniem pola grawitacyjnego. Obserwator zamknięty w takiej windzie będzie więc przekonany (wszystkie jego doświadczenia będą na to wskazywały), że znajduje się w inercjalnym układzie odniesienia. Fizyka w jego swobodnie spadającym układzie odniesienia będzie fizyką szczególnej teorii względności. Swobodny spadek w polu grawitacyjnym z przyspieszeniem 'g' jest więc (lokalnie) równoważny swobodnemu, jednostajnemu (inercjalnemu) ruchowi z dala od pól grawitacyjnych. To także jest zasada równoważności tylko innymi słowami wyrażona.

Powróćmy raz jeszcze do rysunku 1. Wynikało z niego, że stojąc w polu grawitacyjnym powinniśmy zaobserwować efekty świadczące o nieeuklidesowości czasoprzestrzeni wokół nas (np. ugięcie trajektorii promienia świetlnego). Doświadczenie potwierdziło w pełni słuszność tego przewidywania. Znany jest choćby efekt ugięcia promieni świetlnych gwiazd w polu grawitacyjnym Słońca (obserwowany podczas zaćmienia). W tym więc sensie OTW sprowadziła pole grawitacyjne do nieeuklidesowości czasoprzestrzeni. Innymi słowy - rozkład masy (energii) w czasoprzestrzeni determinuje jej geometrię, ta zaś określa ruch mas w czasoprzestrzeni. Ważne jest tutaj to wzajemne "sprzężenie" pomiędzy rozkładem masy-energii a geometrią. Jedno wpływa na drugie i odwrotnie. To jest istotna różnica pomiędzy podejściem OTW a klasycznym podejściem newtonowskim. W fizyce newtonowskiej absolutna przestrzeń była jakby sceną, na której rozgrywały się zjawiska fizyczne. W przestrzeni poruszały się ciała, działać mogły różne siły lecz sama przestrzeń w tym spektaklu czynnie nie uczestniczyła. Jej udział był bierny, ona tylko była lecz nic się z nią nie działo.

W OTW sama czasoprzestrzeń uczestniczy w tym co się w niej dzieje. Jej geometria zmienia się wraz z zachodzącymi zdarzeniami, to zaś wpływa zwrotnie na przebieg zdarzeń. Mając to na uwadze można się spodziewać, że podstawowe równania pola grawitacyjnego w OTW będą dość uwikłane i mocno nieliniowe.. I tak też jest faktycznie.

W teorii względności podstawowym obiektem matematycznym charakteryzującym geometryczne własności czasoprzestrzeni jest tzw. interwał czasoprzestrzenny opisujący różniczkową odległość pomiędzy dwoma punktami (zdarzeniami) w czasoprzestrzeni. W STW, gdzie obowiązuje geometria (pseudo)euklidesowa i we współrzędnych kartezjańskich ma on znaną prostą postać:

ds² = (dx⁰)² - (dx¹)² - (dx²)² - (dx³)² (1)

gdzie x⁰ = ct. Ogólniej interwał można zapisać w postaci sumy:

(2)

Dla wzoru (1) współczynniki g_ij układają się w macierz:

(3)

Gdy (czaso)przestrzeń jest euklidesowa lecz wybierzemy w niej współrzędne krzywoliniowe (np. sferyczne) to macierz współczynników g_ij może mieć bardziej złożone wyrazy na przekątnej, jednak zawsze da się ją przetransformować do postaci (3) wracając do współrzędnych kartezjańskich.

Gdy czasoprzestrzeń staje się nieeuklidesowa to macierz [g_ij] będzie zawierała na ogół jakieś złożone wyrażenia (również pozadiagonalne) będące funkcjami współrzędnych czasoprzestrzennych i nie da się jej doprowadzić do postaci (3) żadną transformacją. Tak więc współczynniki g_ij zwane tensorem metrycznym zawierają podstawową informację o własnościach geometrycznych (czaso)przestrzeni. Własności te na mocy zasady równoważności zależą od rozkładu masy (energii). Ilościowo opisują to właśnie einsteinowskie równania pola, które symbolicznie zapisuje się:

G_ij = T_ij i,j = 0,1,2,3 (4)

Lewa strona tych równań, G_i,j , to dość skomplikowane funkcje składowych g_ij oraz ich pierwszych i drugich pochodnych. Prawa strona zaś, T_ij , to wielkości opisujące rozkład mas (energii i pędu) będących źródłem grawitacji. Lewa i prawa strona tych równań muszą być oczywiście tensorami na mocy postulatu ogólnej kowariantności. Tak więc rozwiązywanie problemów w OTW sprowadza się do tego, że zadajemy jakiś rozkład masy w przestrzeni (prawą stronę układu równań Einsteina) i poszukujemy pola grawitacyjnego - czyli geometrii czasoprzestrzeni (składowych g_ij ) będącej skutkiem tego rozkładu mas. Ponieważ macierz [g_ij] (4 x 4) jest symetryczna (g_ij = g_ji) mamy więc 10 niezależnych składowych. Równania Einsteina to w najogólniejszym przypadku układ 10 równań różniczkowych (cząstkowych) drugiego rzędu, który rozwiązywać trzeba ze względu na niewiadome składniki g_ij . Jest to bardzo skomplikowany układ równań więc jego analityczne rozwiązania udało się znaleźć dla kilku najprostszych sytuacji. Jedną z nich jest opis statycznego pola grawitacyjnego wokół masy kulistej (tzw. rozwiązanie Schwarzschilda). W tym przypadku ze względu na symetrię sferyczną problemu istotna jest tylko zależność geometrii od współrzędnej radialnej r zaś z całego układu równań istotne pozostają tylko dwa z nich. Rozwiązanie to przewiduje m.in. istnienie czarnych dziur.

Drugim przypadkiem rozwiązanym analitycznie jest sytuacja, gdy cała przestrzeń jest jednorodnie wypełniona materią o równej gęstości ρ. Tu również ze względu na dużą prostotę zagadnienia istotne pozostają dwa równania z całego układu. Są to podstawowe równania kosmologiczne opisujące geometrię czasoprzestrzeni wszechświata i jej ewolucję w czasie.

---