POLITECHNIKA ŚLĄSKA

WYDZIAŁ TRANSPORTU

WYZNACZANIE ELIPSOIDY BEZWŁADNOŚCI CIAŁA SZTYWNEGO

Grupa dziekańska T11

Sekcja laboratoryjna: 11

1. Bracki Jaromir

2. Kudela Michał

3. Łysiak Konrad

1. WSTĘP TEORETYCZNY:

• Wstęp teoretyczny

• Ciałem sztywnym nazywamy ciało, którego wszystkie punkty mają stałe położenie względem siebie.

• Elipsoida bezwładności -jest to geometryczna ilustracja momentu bezwładności bryły sztywnej względem pewnego jej punktu. Powierzchnia ta zawarta jest miedzy końcami odcinków r_x; r_y; r_z odłożonych na wszystkich możliwych osiach przechodzących przez środek masy ciała.

Odcinki odłożone na osiach x, y, z muszą być różnej długości i muszą

odpowiadać równaniom:

;
;

gdzie: I_xx, I_yy, I_zz - momenty bezwładności względem osi x, y, z.

• Moment bezwładności jest to wielkość charakteryzująca bezwładność ciała sztywnego, stosowana przy opisie ruchu obrotowego. Moment ten odnosi się zawsze do pewnej wybranej osi obrotu i jest związana z rozkładem mas wokół niej.

• Momenty dewiacji -są zawsze równe zeru jeżeli oś obrotu pokrywa się z którąś z głównych osi bezwładności. Dzięki temu jeżeli swobodne ciało wiruje wokół jednej ze swoich głównych osi bezwładności to oś ta zachowuje stały kierunek w przestrzeni.

• Przebieg wykonywanego ćwiczenia:

1. Mierzymy długości boków badanych brył: sześcianu i prostopadłościanu

2. Mierzymy czas 15 wahnień wahadła skrętnego nieobciążonego

3. Pomiar powtarzamy gdy w ramce wahadła zamocujemy sześcian, a następnie prostopadłościan (dla prostopadłościanu mierzymy czas 10 wahnień dla trzech głównych osi bezwładności i dla jego przekątnej)

4. Pomiary powtarzamy pięciokrotnie.

2. OPRACOWANIE WYNIKÓW:

A1. Wartość średnia oraz odpowiadające jej odchylenie standardowe dla użytego sześcianu:

Niepewności wyników pomiarów

a=(50,3±0,017)*10^-3 m

A2. Wartość średnia oraz odpowiadające jej odchylenie standardowe dla użytego prostopadłościanu:

Dla boku c

Niepewności wyników pomiarów długości pręta l.

c=(100,26±0,12)*10^-3 m

Dla boku a

Niepewności wyników pomiarów długości pręta l.

a=(50,12±0,1)*10^-3 m

Dla boku b

Niepewności wyników pomiarów długości pręta l.

b=(50,26±0,1)*10^-3 m

A3. Średnia oraz odchylenie standardowe dla czasu 15 wahnień wahadła nieobciążonego:

Niepewności wyników pomiarów długości pręta l.

t₁=12,001±0,07s

A4. Średnia oraz odchylenie standardowe dla czasu 15 wahnień wahadła obciążonego sześcianem:

Niepewności wyników pomiarów długości pręta l.

t_s=15,157±0,058s

A5. Średnia oraz odchylenie standardowe dla czasu 15 wahnień wahadła obciążonego prostopadłościanem:

Względem osi obrotu a:

Niepewności wyników pomiarów długości pręta l.

Względem osi obrotu b:

Niepewności wyników pomiarów długości pręta l.

Względem osi c:

Niepewności wyników pomiarów długości pręta l.

względem odpowiednich osi obrotu:

1. t_pa=23,701±0,001s

2. t_pb=25,043±1,33s

3. t_pc=17,068±0,001s

A6. Średnia oraz odchylenie standardowe dla czasu 15 wahnień wahadła obciążonego prostopadłościanem względem przekątnej:

4. t_pp=19,857±0,015s

A7. Wyznaczenie okresów oraz ich niepewności dla użytego wahadła:

Wykorzystano wzór:

Obliczono wartości okresu dla:

• wahadła nieobciążonego: T₁ = (0,792± 0,0004) [s]

• wahadła obciążonego sześcianem: T_s = (1,001± 0,0038) [s]

• wahadła obciążonego prostopadłościanem - obrót względem osi a T_pa = (1,564 ± 0,000004) [s]

• wahadła obciążonego prostopadłościanem - obrót względem osi b T_pb = (1,652 ± 0,0879) [s]

• wahadła obciążonego prostopadłościanem - obrót względem osi c T_pc = (1,126 ± 0,0285) [s]

• wahadła obciążonego prostopadłościanem - obrót względem przekątnej

T_pp = (1,31 ± 0,0009) [s]

A8. Wyznaczenie głównego momentu bezwładności sześcianu:

Wykorzystano wzór:

Oznaczenia:

m_S = 0,98 [kg] - masa sześcianu

a_S = (50,3 ± 0,15) ×10^{- 3} [m] - długość krawędzi sześcianu

Niepewność wyznaczenia momentu bezwładności sześcianu.

=4,27*10^-7[kg*m²]

Główny moment bezwładności sześcianu wynosi: I_S ≈ (4,13 ± 0,15) ×10^{- 4} [kg×m²].

A9. Wyznaczenie głównego momentu bezwładności prostopadłościanu:

Wykorzystano wzór:

Oznaczenia:

T - okres drgań wahadła obciążonego prostopadłościanem wzdłuż wybranej osi

T₀ = (0,792 ± 0,0004) [s] - okres drgań wahadła nieobciążonego

T_S = (1,001 ± 0,0038) [s] - okres drgań wahadła obciążonego sześcianem

I_S = (4,13 ± 0,15) ×10^{- 4} [kg×m²] - główny moment bezwładności sześcianu

Wzór na niepewność głównego momentu bezwładności:

Wyniki wykonanych obliczeń:

I_xa = (20,03 ± 0,046) ×10^{- 4} [kg×m²] - moment bezwładności prostopadłościanu względem osi a

I_yb = (23,15 ± 0,13) ×10^{- 4} [kg×m²] - moment bezwładności prostopadłościanu względem osi b

I_zc = (10,62 ± 0,11) ×10^{- 4} [kg×m²] - moment bezwładności prostopadłościanu względem osi c

A10. Wyznaczenie momentu bezwładności prostopadłościanu względem przekątnej oraz jego niepewność wyznaczenia:

Oznaczenia:

gdzie:

T_pp = (0,131 ± 0,009) - okres drgań wahadła obciążonego prostopadłościanem (wzdłuż przekątnej)

T_o = (0,792 ± 0,00004) [s] - okres drgań wahadła nieobciążonego

T_S = (1,001 ± 0,0038) [s] - okres drgań wahadła obciążonego sześcianem

I_S = (0,413 ± 0,15) ×10^{- 3} [kg×m²] - główny moment bezwładności sześcianu

Niepewność wyznaczenia momentu bezwładności.

Obliczono, że moment bezwładności wynosi: I_pp1 = (11,99 ± 0,07) ×10^{- 4} [kg×m²].

1. Wyznaczamy równanie prostej zawierającej główną przekątną

Współrzędne wierzchołka prostopadłościanu:

W (x_w; y_w; z_w)

;
;

x_w =
(25,06 ± 0,015) ×10^{- 3} [m]

y_w =
(25,13 ± 0,03) ×10^{- 3} [m]

z_w =
(50,13 ± 0,04) ×10^{- 3} [m]

W (25,06 ± 0,015) ·10^-3; (25,13 ± 0,03) ·10^-3; (50,13 ± 0,04) ·10^-3)

Równanie przekątnej na postać :

2. Wyznaczamy elipsoidę bezwładności prostopadłościanu o podstawie prostokąta :

wiemy że I_xx = I_xc, I_yy = I_yb oraz że I_zz =I_zc

więc

Rozwiązujemy układ równań i wyznaczamy punkty przebicia prostej zawierającej przekątną główną z elipsoidą bezwładności :

10^-4 [m]

10^-4 [m]

z = 1,232 10^-4 [m]

Równanie elipsoidy bezwładności ma postać :

Punkt przebicia prostej z elipsoidą bezwładności ma współrzędne :

P (1,62; 1,622; 2,291)10^-4

Obliczamy moment bezwładności względem przekątnej głównej prostopadłościan.

I_ppl = (11,99 ± 0,07) ×10^{- 4} [kg×m²].

Ten sam moment można obliczyć ze wzoru :

I_ap = 11,43·10^-4 [kg·m²]

[kg·m²]

3. WNIOSKI:

• rozkład masy względem osi obrotu ma decydujący wpływ na wielkość momentu bezwładności ciała, im więcej punktów materialnych ciała jest bardziej oddalonych od osi obrotu, tym większy jest moment bezwładności

• porównując momenty bezwładności prostopadłościanu wzdłuż jego przekątnej uzyskaliśmy błąd względny wynoszący ,×10^{- 4} [kg×m²].. Błąd ten jest spowodowany jest niepewnością wykorzystanych urządzeń pomiarowych

• Wyznaczając elipsoidę bezwładności ciała sztywnego można z dużą dokładnością obliczyć momenty bezwładności względem dowolnej osi obrotu przechodzącej przez środek masy.

---