2.pPOLITECHNIKA ŚLĄSKA

WYDZIAŁ TRANSPORTU

WYZNACZANIE ELIPSOIDY BEZWŁADNOŚCI CIAŁA SZTYWNEGO

Grupa dziekańska T11

Sekcja laboratoryjna: 11

1. Bracki Jaromir

2. Kudela Michał

3. Łysiak Konrad

1. WSTĘP TEORETYCZNY:

• Wstęp teoretyczny

• Ciałem sztywnym nazywamy ciało, którego wszystkie punkty mają stałe położenie względem siebie.

• Elipsoida bezwładności -jest to geometryczna ilustracja momentu bezwładności bryły sztywnej względem pewnego jej punktu. Powierzchnia ta zawarta jest miedzy końcami odcinków r_x; r_y; r_z odłożonych na wszystkich możliwych osiach przechodzących przez środek masy ciała.

Odcinki odłożone na osiach x, y, z muszą być różnej długości i muszą

odpowiadać równaniom:

;
;

gdzie: I_xx, I_yy, I_zz - momenty bezwładności względem osi x, y, z.

• Moment bezwładności jest to wielkość charakteryzująca bezwładność ciała sztywnego, stosowana przy opisie ruchu obrotowego. Moment ten odnosi się zawsze do pewnej wybranej osi obrotu i jest związana z rozkładem mas wokół niej.

• Momenty dewiacji -są zawsze równe zeru jeżeli oś obrotu pokrywa się z którąś z głównych osi bezwładności. Dzięki temu jeżeli swobodne ciało wiruje wokół jednej ze swoich głównych osi bezwładności to oś ta zachowuje stały kierunek w przestrzeni.

• Przebieg wykonywanego ćwiczenia:

1. Mierzymy długości boków badanych brył: sześcianu i prostopadłościanu

2. Mierzymy czas 15 wahnień wahadła skrętnego nieobciążonego

3. Pomiar powtarzamy gdy w ramce wahadła zamocujemy sześcian, a następnie prostopadłościan (dla prostopadłościanu mierzymy czas 15 wahnień dla trzech głównych osi bezwładności i dla jego przekątnej)

4. Pomiary powtarzamy pięciokrotnie.

2. OPRACOWANIE WYNIKÓW:

A1. Wartość średnia oraz odpowiadające jej odchylenie standardowe dla użytego sześcianu:

Niepewności wyników pomiarów

a=(50,31±0,17)*10^-3 m

A2. Wartość średnia oraz odpowiadające jej odchylenie standardowe dla użytego prostopadłościanu:

Dla boku c

Niepewności wyników pomiarów

c=(100,26±0,12)*10^-3 m

Dla boku a

Niepewności wyników pomiarów

a=(50,1±0,1)*10^-3 m

Dla boku b

Niepewności wyników pomiarów

b=(50,2±0,1)*10^-3 m

Prostopadłościan m = 1,962 [kg]				Sześcian
Lp.	a [mm]	b [mm]	c [mm]
[mm]	50,1	50,2	100,26	50,31
σ [mm]	0,1	0,1	0,12	0,17

A3. Średnia oraz odchylenie standardowe dla czasu 15 wahnień wahadła nieobciążonego:

Niepewności wyników pomiarów

t₁=(12,001±0,071)s

A4. Średnia oraz odchylenie standardowe dla czasu 15 wahnień wahadła obciążonego sześcianem:

Niepewności wyników pomiarów

t_s=(15,157±0,058)s

A5. Średnia oraz odchylenie standardowe dla czasu 15 wahnień wahadła obciążonego prostopadłościanem:

Względem osi obrotu a:

Niepewności wyników pomiarów

t_pa=(23,701±0,001)s

Względem osi obrotu b:

Niepewności wyników pomiarów

t_pb=(25,043±1,333)s

Względem osi c:

Niepewności wyników pomiarów

t_pc=(17,068±0,001)s

1. t_pa=(23,701±0,001)s

2. t_pb=(25,043±1,333)s

3. t_pc=(17,068±0,001)s

A6. Średnia oraz odchylenie standardowe dla czasu 15 wahnień wahadła obciążonego prostopadłościanem względem przekątnej:

Niepewności wyników pomiarów

t_pp=(19,857±0,015)s

L.p.	Wahadło nieobciążone	Wahadło obciążone sześcianem	Wahadło obciążone prostopadłościanem
						Względem osi || a	Względem osi || b	Względem osi || c	Względem osi || głównej przekątnej
	12,001	15,157	23,701	25,043	17,681	19,857
σc[s]	0,071	0,058	0,001	1,333	0,001	0,015
t [s]	12,001+0,071	15,157+0,058	23,701+0,001	25,403+1,333	17,681+0,001	19,857+0,015

A7. Wyznaczenie okresów oraz ich niepewności dla użytego wahadła:

Wykorzystano wzór:

Obliczono wartości okresu dla:

• wahadła nieobciążonego:

T₁ = (0,801± 0,004) [s]

• wahadła obciążonego sześcianem:

T_s = (1,0104± 0,0038) [s]

• wahadła obciążonego prostopadłościanem - obrót względem osi a

T_pa = (1,5801 ± 0,0006) [s]

• wahadła obciążonego prostopadłościanem - obrót względem osi b

T_pb = (1,66 ± 0,08) [s]

• wahadła obciążonego prostopadłościanem - obrót względem osi c

T_pc = (1,17873 ± 0,00006) [s]

• wahadła obciążonego prostopadłościanem - obrót względem przekątnej

T_pp = (1,323 ± 0,001) [s]

A8. Wyznaczenie głównego momentu bezwładności sześcianu:

Wykorzystano wzór:

Oznaczenia:

m_S = 0,98 [kg] - masa sześcianu

a_S = (50,31 ± 0,17) ×10^{- 3} [m] - długość krawędzi sześcianu

Niepewność wyznaczenia momentu bezwładności sześcianu.

=0,27*10^-4[kg*m²]

Główny moment bezwładności sześcianu wynosi: I_S = (4,13 ± 0,27) ×10^{- 4} [kg×m²].

A9. Wyznaczenie momentu bezwładności prostopadłościanu względem przekątnej oraz jego niepewność wyznaczenia:

Oznaczenia:

gdzie:

T_pp = (1,323 ± 0,001) - okres drgań wahadła obciążonego prostopadłościanem (wzdłuż przekątnej)

T_o = (0,801 ± 0,004) [s] - okres drgań wahadła nieobciążonego

T_S = (1,0104 ± 0,0038) [s] - okres drgań wahadła obciążonego sześcianem

I_S = (0,41 ± 0,027) ×10^{- 3} [kg×m²] - główny moment bezwładności sześcianu

Niepewność wyznaczenia momentu bezwładności.

Obliczono, że moment bezwładności wynosi:

= 11,93 ×10^{- 4} [kg×m²]

I_pp1 = (11,93 ± 0,01) ×10^{- 4} [kg×m²]

A10. Wyznaczenie głównego momentu bezwładności prostopadłościanu:

Wykorzystano wzór:

Oznaczenia:

T - okres drgań wahadła obciążonego prostopadłościanem wzdłuż wybranej osi

T₀ = (0,801± 0,004) [s] - okres drgań wahadła nieobciążonego

T_S = (1,0104± 0,0038) [s] - okres drgań wahadła obciążonego sześcianem

I_S = (4,13 ± 0,27) ×10^{- 4} [kg×m²] - główny moment bezwładności sześcianu

Wzór na niepewność głównego momentu bezwładności:

Wyniki wykonanych obliczeń:

Moment bezwładności prostopadłościanu względem osi a

I_xa = (20,03 ± 0,04) ×10^{- 4} [kg×m²]

Moment bezwładności prostopadłościanu względem osi b

I_yb = (22,92 ± 0,05) ×10^{- 4} [kg×m²]

Moment bezwładności prostopadłościanu względem osi c

I_zc = (7,81 ± 0,07) ×10^{- 4} [kg×m²] -

A11. Obliczenie wartości momentu bezwładności prostopadłościanu względem głównej przekątnej wykorzystując równanie głównej przekątnej.

Współrzędne wierzchołka prostopadłościanu:

W (x_w; y_w; z_w)

;
;

x_w =
25,06 ×10^{- 3} [m]

y_w =
25,13 ×10^{- 3} [m]

z_w =
50,13 ×10^{- 3} [m]

Równanie przekątnej na postać :

Rozwiązujemy układ równań i wyznaczamy punkty przebicia prostej zawierającej przekątną główną z elipsoidą bezwładności :

Gdzie:

x_w =
25,06 ×10^{- 3} [m]

y_w =
25,13 ×10^{- 3} [m]

z_w =
50,13 ×10^{- 3} [m]

I_xx = I_xa=(20,03 ± 0,04) ×10^{- 4} [kg×m²]

I_yy = I_yb = (22,92 ± 0,05) ×10^{- 4} [kg×m²]

I_zz =I_zc=(7,81 ± 0,07) ×10^{- 4} [kg×m²] -

yp=0,91

xp=0,91∙0,99= 0,9

zp=0,91∙1,99=1,81

Punkt przebicia prostej z elipsoidą bezwładności ma współrzędne :

P (0,09;0,091; 0,1,81)

Obliczamy moment bezwładności względem przekątnej głównej prostopadłościanu.

×10^{- 4} [kg×m²]

Niepewność wyznaczenia momentu bezwładności:

± 0,004) ×10^{- 4} [kg×m²]

I_ppl = (11,93 ± 0,01) ×10^{- 4} [kg×m²]

6. Porównanie wyznaczonego momentu z równania elipsy bezwładności z momentem wyznaczonym doświadczalne.

Moment wyznaczony doświadczalnie (pkt. A9): I_ppl = (11,93 ± 0,01) ×10^{- 4} [kg×m²]

Moment wyznaczony z równania elipsy: (pkt. A11):
± 0,004) ×10^{- 4} [kg×m²]

=
= 24,14%

3. WNIOSKI:

• rozkład masy względem osi obrotu ma decydujący wpływ na wielkość momentu bezwładności ciała, im więcej punktów materialnych ciała jest bardziej oddalonych od osi obrotu, tym większy jest moment bezwładności

• porównując momenty bezwładności prostopadłościanu wzdłuż jego przekątnej uzyskaliśmy błąd względny wynoszący ,. Błąd ten jest spowodowany jest niepewnością wykorzystanych urządzeń pomiarowych

• Wyznaczając elipsoidę bezwładności ciała sztywnego można z dużą dokładnością obliczyć momenty bezwładności względem dowolnej osi obrotu przechodzącej przez środek masy.

---