„Wahadło Maxwella”

I. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest badanie prawa zachowania energii mechanicznej w zamkniętym układzie zachowawczym na przykładzie ciała sztywnego poruszającego się ruchem płaskim. Do tego celu wykorzystane zostało wahadło Maxwella.

II. Podstawy teoretyczne

Wahadło Maxwella jest to krążek K osadzony na cienkiej osi. Do obu końców tej osi przywiązane są dwie nici, na których zawieszone jest wahadło. Obracając krążek w palcach nawijamy nici na oba końce osi, poczym badany układ uwalniamy. Zaczyna on powoli spadać, a odwijając się z nici nabiera coraz większej prędkości liniowej i obrotowej. W najniższym położeniu krążek osiąga największą prędkość w ruchu obrotowym i ponownie zaczyna nawijać się na nici.

Złożenie dwóch ruchów, jakie wykonuje krążek, tj. ruch postępowego i obrotowego nazywa się ruchem płaskim.

W zjawisku tym możemy zaobserwować zamianę energii potencjalnej E_p krążka, którą zyskał on dzięki podniesieniu na wysokość h na energię kinetyczną E_k. Z prawa zachowania energii mechanicznej w zamkniętym układzie zachowawczym wynika równość obu form energii, czyli:

E_p = E_k, gdzie :

E_p - energia potencjalna układu w położeniu najwyższym (energia kinetyczna jest równa zero)

E_k - energia kinetyczna układu w najniższym położeniu krążka (energia potencjalna jest rów

na zero).

Ponieważ krążek wykonuje jednocześnie ruch postępowy i ruch obrotowy, energia kinetyczna układu jest sumą energii kinetycznej ruchu postępowego E_kp i energii kinetycznej ruchu obrotowego E_ko : E_p = E_kp + E_ko ,

co dla E_p = mgh, oraz dla E_kp= ˝ mv² daje nam :

2gh v_k²

I = m( - )

ω_k² ω_k²

Masę krążka K można zmieniać poprzez nałożenie na jednego z trzech dołączonych do przyrządu pierścieni P, zmieniając w ten sposób warunki pomiaru. Do doświadczalnego wyznaczenia momentu bezwładności bryły wykorzystuje się zależność powyżej, która po przekształceniu ma postać :

2gh

I= ¼ mD² ( -1)

v_k²

Mierząc wielkości m, D, h, oraz t można w sposób eksperymentalny wyznaczyć moment bezwładności. Dla badanego układu można go wyznaczyć również teoretycznie.

Moment bezwładności osi I_o w kształcie walca względem osi geometrycznej ma postać :

I_o = ⅛ m_oD_o² ,

gdzie : m_o - masa osi,

D_o - średnica zewnętrzna osi.

Moment bezwładności krążka I_k względem osi geometrycznej określa wzór :

I_k = ⅛ m_k (D_k² + D_o²),

gdzie : m_k - masa krążka,

D_k - średnica zewnętrzna krążka.

Podobny wzór określa moment bezwładności pierścienia I_p względem osi geometrycznej :

I_p = ⅛ m_p (D_p² + D_k²),

gdzie : m_p - masa pierścienia,

D_p - średnica zewnętrzna pierścienia.

Moment bezwładności bryły sztywnej wahadła Maxwella jest sumą wyżej wymienionych momentów bezwładności :

I = I_o+ I_k +I_p .

Masę badanego układu wyznacza się z zależności :

m = m_o +m_k +m_p .

Średnia wartość czasu t wyraża się wzorem :

t = ¹/n ∑t_i ,

a błąd względny pomiaru momentu bezwładności otrzymujemy z zależności :

(I - I_t)

δ = 100%

I_t

III. Wnioski.

W pomiarach uwzględniona została grubość nici zawieszenia. Jest to ważny czynnik przy momencie bezwładności, ponieważ nawinięcie na oś sznurka powoduje zwiększenie średnicy zewnętrznej osi, a przecież moment bezwładności osi obliczamy ze wzoru I_o = 1/8 m_oD_o² ,co oznacza, że moment bezwładności zależy głównie od średnicy zewnętrznej osi. Dla odpowiednio grubej nici nieuwzględnienie jej przy pomiarze średnicy zewnętrznej osi może spowodować, że pomiar będzie niedokładny, a analiza tych pomiarów może wprowadzić w błąd każdego. Jednocześnie jednak w niektórych przypadkach grubość nici można pominąć. Można tak postąpić dla niewielkiej grubości nici zawieszenia i dużej średnicy zewnętrznej samej osi. Wówczas błąd pomiarowy będzie pomijalnie mały. Podobnie w przypadku, gdy wyznaczamy moment bezwładności dla całej bryły i spełniony jest powyższy warunek. Wówczas pominięcie grubości nici nie wpłynie w sposób znaczący na wynik pomiaru (np. w przypadku jak w ćwiczeniu: nić była dosyć cienka, przez co pominięcie jej w pomiarze średnicy nie spowodowałoby wypaczenia wyniku); jednocześnie zauważyć można, że ponieważ średnica i masa osi były stosunkowo niewielkie, to moment bezwładności osi (razem z nicią) byłby mniejszy od momentu zarówno krążka jak i pierścienia, czyli pominięcie tego wymiaru nie miałoby wielkiego znaczenia (pomimo tego, że średnica osi występuje również we wzorze na moment bezwładności krążka). Jednak aby mieć pewność, że pomiar został wykonany dokładnie, należy grubość nici zawsze uwzględniać.

---