Wzory 30

WZORY 30: wnioskowanie statystyczne dotyczące parametrów liniowego modelu regresji oraz liniowego modelu trendu

Analiza regresji: próba przekrojowa	Analiza regresji: szereg czasowy	Trend liniowy
(xi, Yi) i = 1,..., n,	(xt, Yt) t = 1,..., n,	(t, Yt) t = 1,..., n,
(1)	(2)	(3)
Rozkład estymatora  metody najmniejszych kwadratów parametru α: wzory (30.1)
, U: N[0,1]	, U: N[0,1]	, U: N[0,1]
gdy
Rozkład estymatora  metody najmniejszych kwadratów parametru α, gdy parametr σ nie jest znany: wzory (30.2)
gdzie  jak wyżej oraz
		.
Przedział ufności parametru strukturalnego α zbudowany na podstawie rozkładu t-Studenta: wzór (30.3)
.
Losowy przedział ufności (30.3) staje się, na podstawie liczbowych wyników (x1, y1), (x2, y2) ,..., (xn, yn) n-elementowej próby losowej prostej (x1, Y1), (x2, Y2) ,..., (xn, Yn), liczbowym przedziałem ufności (30.3*)
gdzie
		.
,	,	.
,	,	.
tγ,v odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta przyjętym współczynniku ufności 1 - γ [najczęściej z przedziału wartości <0,9;1)] oraz ustalonej liczbie stopni swobody v = n - 2.
Wartość statystyki tγ,v=n-2 wyznaczona jest w tablicach rozkładu t-Studenta relacją: P(|t| $ tγ,v=n-2) = γ.
Rozkład estymatora  metody najmniejszych kwadratów parametru β: wzory (30.4)
, U: N[0,1]	, U: N[0,1]	, U: N[0,1]
gdzie
,	,	.
Rozkład estymatora  metody najmniejszych kwadratów parametru β gdy parametr σ nie jest znany: wzory (30.5)
		gdzie  jak wyżej oraz
Przedział ufności parametru strukturalnego β zbudowany na podstawie rozkładu t-Studenta: wzór (30.6)
Losowy przedział ufności (30.6) staje się, na podstawie liczbowych wyników (x1, y1), (x2, y2) ,..., (xn, yn) n-elementowej próby losowej prostej (x1, Y1), (x2, Y2) ,..., (xn, Yn), liczbowym przedziałem ufności (30.6*)
gdzie
,	,	.
		.
,	,	.
tγ,v odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta przyjętym współczynniku ufności 1 - γ [najczęściej z przedziału wartości <0,9;1)] oraz ustalonej liczbie stopni swobody v = n - 2.
Wartość statystyki tγ,v=n-2 wyznaczona jest w tablicach rozkładu t-Studenta relacją: P(|t| $ tγ,v=n-2) = γ.
Estymacja przedziałowa warunkowej wartości oczekiwanej
Estymowany parametr: wzory (30.7)
E(Y/X = x) = αx^p + β	E(Y/X = x) = αx^p + β	E(Y/t = t^p) = αt^p + β
Estymator parametru: wzory (30.8)
Rozkład estymatora: wzory (30.9)
N [E(Y/X = x); D ⇔	N [E(Y/X = x); D ⇔	N [E(Y/t = t^p); D ]
U: N[0,1]	U: N[0,1]	U: N[0,1]
gdzie  i  jak wyżej oraz
		Rozkład estymatora (30.8), gdy parametr σ nie jest znany: wzory (30.10)
gdzie
Granice przedziału ufności parametru (30.7) [warunkowa wartość oczekiwana E(Y/X = x) lub E(Y/t = t^p)]: wzory (30.11)
Losowe granice przedziału ufności (30.11) stają się, na podstawie liczbowych wyników (x1, y1), (x2, y2) ,..., (xn, yn) n-elementowej próby losowej prostej (x1, Y1), (x2, Y2) ,..., (xn, Yn), liczbowymi granicami przedziału ufności (30.11*)
gdzie
tγ,v=n-2 jest wartością statystyki t odczytaną z tablic rozkładu t-Studenta przyjętym współczynniku ufności 1 - γ [najczęściej z przedziału wartości <0,9;1)] oraz przy v = n - 2 stopniach swobody.
Wartość statystyki tγ,v=n-2 wyznaczona jest w tablicach rozkładu t-Studenta relacją: P(|t| $ tγ,v=n-2) = γ.Estymacja przedziałowa pojedynczej prognozy
Estymowany parametr: wzory (30.12)
Estymator parametru: wzory (30.13)
Rozkład estymatora (30.13): wzory (30.14)
U: N[0;1]	U: N[0;1]	U: N[0;1]
gdzie
Rozkład estymatora (30.13), gdy parametr σ nie jest znany: wzory (30.15)
gdzie
Granice przedziału ufności pojedynczej prognozy  i : wzory (30.16)
Losowe granice przedziału ufności (30.16) stają się, na podstawie liczbowych wyników (x1, y1), (x2, y2) ,..., (xn, yn) n-elementowej próby losowej prostej (x1, Y1), (x2, Y2) ,..., (xn, Yn), liczbowymi granicami przedziału ufności (30.16*)
gdzie
tγ,s=n-2 jest wartością statystyki t odczytaną z tablic rozkładu t-Studenta przyjętym współczynniku ufności 1 - γ [najczęściej z przedziału wartości <0,9;1)] oraz przy v = n - 2 stopniach swobody.
Wartość statystyki tγ,v=n-2 wyznaczona jest w tablicach relacją P(|t| $ tγ,v=n-2) = γ.
Weryfikacja hipotezy dotyczącej parametru α: wzory (30.17)
x0: α = 0 a)   x1: α … 0 lub: b)   x1: α > 0 c)   x1: α < 0	x0: α = 0 a)   x1: α … 0 lub: b)   x1: α > 0 c)   x1: α < 0	x0: α = 0 a)   x1: α … 0 b)   x1: α > 0 c)   x1: α < 0
Narzędziem weryfikacji hipotezy x0 jest statystyka t o rozkładzie t-Studenta dana wzorem (30.18):
gdzie  i S jak wyżej
Obliczona na podstawie liczbowych wyników (x1, y1), (x2, y2) ,..., (xn, yn) n-elementowej próby losowej prostej (x1, Y1), (x2, Y2) ,..., (xn, Yn) oraz obliczona podstawie założenia, że hipoteza sprawdzana x0 jest hipotezą prawdziwą, statystyka (30.18) przyjmuje wartość (30.18*).
gdzie
Zbiory wartości krytycznych testu (1), (2) oraz (3), przyjętym poziomie istotności γ (gamma), v = n - 2 stopniach swobody, wyznaczają następujące prawdopodobieństwa:

a)	b)	c)
		W zależności od sposobu sformułowania hipotezy alternatywnej x1 zbiory wartości krytycznych testów (1) - (3) wyznaczone są przez następujące relacje:
a)   jeżeli x1: α … 0,     to t ≤ - tγ,v=n-2 lub t ≥ tγ,v=n-2, b)   jeżeli x1: α > 0,     to t ≥ t2γ,v=n-2, c)   jeżeli x1: α < 0,     to t ≤ - t2γ,v=n-2,
Zbiorem wartości krytycznych w parametrycznych testach istotności opartych o rozkład t-Studenta (symetryczny) zmiennej losowej t jest zbiór K, który występuje w następujących odmianach:
a) K = {t : t należy do zbioru (-∞; -tγ,v> lub <tγ,v +∞)}, gdzie tγ,v jest wartością odczytaną z tablic rozkładu t-Studenta przyjętym poziomie istotności γ i ustalonej liczbie stopni swobody v = n - 2 tak, aby P(|t| ≥ tγ,v) = γ, a hipoteza alternatywna x1 jest dwustronna,
b) K = {t: t należy do zbioru <t2γ,v, +∞)}, gdzie t2γ,v jest wartością odczytaną z tablic rozkładu t-Studenta przyjętym poziomie istotności γ i ustalonej liczbie stopni swobody v = n - 2 tak, aby P(t ≥ t2γ,v) = γ, a hipoteza alternatywna x1 jest prawostronna,
c) K = {t : t należy do zbioru (-∞; -t2γ,v>}, gdzie -t2γ,v jest wartością odczytaną z tablic rozkładu t-Studenta przyjętym poziomie istotności γ i ustalonej liczbie stopni swobody v = n - 2 tak, aby P(t ≤ -t2γ,v) = γ, a hipoteza alternatywna x1 jest lewostronna.
W analizowanych niżej testach istotności opartych o rozkład t-Studenta mogą być podejmowane decyzje weryfikacyjne dwojakiego rodzaju.
Jeżeli obliczona wartość statystyki t znajdzie się w zbiorze wartości krytycznych K, co oznacza, że:
a) |tobl| ≥ tγ,v lub b) tobl ≥ t2γ,v lub też c) tobl ≤ - t2γ,v,
to, przyjętym poziomie istotności γ i ustalonej liczbie stopni swobody v = n - 2 odrzucamy hipotezę sprawdzaną x0 na rzecz hipotezy alternatywnej x1.
Jeżeli obliczona wartość statystyki t nie znajdzie się w zbiorze wartości krytycznych K, co oznacza, że:
a) |tobl| < tγ,v lub b) tobl < t2γ,v lub też c) tobl > - t2γ,v,
to, przyjętym poziomie istotności γ i ustalonej liczbie stopni swobody v = n - 2 nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy sprawdzanej x0.
Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998 oraz P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998.

---