KATEDRA GEODEZJI I ASTRONOMII GEODEZYJNEJ |
||
ĆWICZENIE nr 1 |
||
Semestr I Studia II stopnia Grupa 3a |
Rok akademicki 2009/2010 Nr 9 |
|
Zadanie 1
Dane:
σ = 5,5186 kg/m3
R = 6371,112 km
Szukane: H, γ
Rozwiązanie:
Obliczenie masy Ziemi M
Obliczenie wysokości H nad powierzchnią kulistej Ziemi, na której 2. pochodna przyspieszenia grawitacyjnego zmaleje do 1/9 swojej wartości na powierzchni Ziemi
Obliczenie wartości grawitacji γ w miligalach dla tej wysokości
Zadanie 2
Dane:
Mz = 81,3Mk
R = rz+rk = 384 405 km
Szukane: rz, rk, γz, γk
Rozwiązanie:
Wyznaczenie położenia wspólnego środka ciężkości mas Ziemi i Księżyca przez obliczenie jego odległości od Ziemi i Księżyca na podstawie stałości momentów statycznych
Obliczenie przyciągania Ziemi i Księżyca we wspólnym środku ciężkości ich mas
Zadanie 3
Dane:
T = 86400 s
a = 6371,112 km
=16˚
Szukane: ω, V
Rozwiązanie:
Obliczenie prędkości kątowej ruchu wirowania Ziemi
Obliczenie prędkości liniowej punktu na równoleżniku
=16˚
Zadanie 4
Dane:
R = 6371,112 km
σ = 5,5186 kg/m3
h =
Szukane:
Rozwiązanie:
Obliczenie wysokości h
Obliczenie masy Ziemi
Obliczenie wartości drugiej pochodnej potencjału grawitacyjnego wewnątrz Globu
Obliczenie gradientu pionowego grawitacji na wysokości h = 707,901km
KATEDRA GEODEZJI I ASTRONOMII GEODEZYJNEJ |
||
ĆWICZENIE nr 2 Normalne pole siły ciężkości Ziemi |
||
Semestr I Studia II stopnia Grupa 3a |
Rok akademicki 2009/2010 Nr 16 |
|
Zadanie 1
Dane:
m1 = m2 = m3 = m4 = m5 = m6 = m
odległość na osi Oz = d
odległość na osiach Ox i Oy =
d
β=
a = 85d
Szukane:
Rozwiązanie:
Obliczenie spłaszczenia statycznego J2
Wyznaczenie wzoru na współczynnik dynamiczny w funkcji J2 i α
Wyznaczenie wzoru na spłaszczenie grawimetryczne w funkcji J2 i α
Obliczenia spłaszczenia geometrycznego
Zadanie 2
Dane:
GRS'67:
Szukane: Uzz
Rozwiązanie:
Obliczenie promienia r dla szerokości B=61˚
Obliczenie prędkości kątowej wirowania Ziemi
Obliczenie wartości gradientu dla szerokości B = 61˚ i na wysokości h = 32m
KATEDRA GEODEZJI I ASTRONOMII GEODEZYJNEJ |
||
ĆWICZENIE nr 3 Poprawki pływowe do przyspieszenia ziemskiego |
||
Semestr I Studia II stopnia Grupa 3a |
Rok akademicki 2009/2010 Nr 16 |
|
Zadanie 1
Dane:
Miejsce obserwacji - Obserwatorium Astronomiczne AP w Krakowie (Suhora)
Szukane: δgS, δgK, zS0, zSmin, zSmax, zK0, zKmin, zKmax
Rozwiązanie:
Grawimetryczna poprawka lunisolarna wyraża się uproszczonym wzorem:
przy czym
1) Obliczenie poprawki lunisolarnej dla pomiarów wykonanych dnia 10.03.2010r. o godzinie 12:00 w czasie uniwersalnym tj. o godzinie 13:00 czasu środkowoeuropejskiego.
a) Obliczenie średniego miejscowego czasu gwiazdowego
13h00m |
moment obserwacji w czasie środkowoeuropejskim CSE |
-1h00m |
różnica między czasem środkowoeuropejskim CSE a czasem uniwersalnym TU |
12h00m |
moment obserwacji w czasie uniwersalnym TU |
+2m |
redukcja interwału czasu na średni czas gwiazdowy (z rocznika) |
12h02m |
interwał czasu gwiazdowego |
11h10m |
średni czas gwiazdowy Greenwich o 0h TU (z rocznika) |
23h12m |
średni czas gwiazdowy Greenwich w momencie obserwacji (w jednostkach czasu) |
+1h20m |
długość geograficzna miejsca obserwacji (w jednostkach czasu) |
0h32m |
średni czas miejscowy gwiazdowy |
b) Interpolacja rektascensji α i deklinacji δ Słońca i Księżyca na zadany moment obserwacji
12h00m |
moment obserwacji w czasie TU |
66s |
poprawka do czasu TDT |
12h01m |
moment obserwacji w czasie uniwersalnym TDT (argument tablicy Rocznika astronomicznego) |
W wyniku interpolacji liniowej otrzymane zostały następujące wartości współrzędnych Słońca i Księżyca:
Współrzędne |
Słońce |
Księżyc |
rektascensja |
23h21m |
19h27m |
deklinacja |
-4˚04' |
-21˚43' |
c) Obliczenie kątów godzinnych ciał niebieskich
tS = s - αS = 17˚41'
tK = s - αK = 76˚18'
d) Obliczenie wartości poprawek lunisolarnych
2) Określenie odległości zenitalnych, dla których poprawka wyniesie zero, będzie największa (dodatnia) i najmniejsza (ujemna) w dniu 10.04.2010r.
SŁOŃCE
a) Określenie przedziału zmienności odległości zenitalnej w dniu 10.04.2010r.
Odległość zenitalna liczona ze wzoru
jest funkcją stałej szerokości geograficznej miejsca obserwacji oraz dwóch zmiennych:
deklinacji Słońca δ (w dniu 10.04.2010r. deklinacja Słońca zmieniała się w przedziale -4˚14' < δ < -3˚51')
kąta godzinnego t (zmieniającego się 0h < t < 24h)
Biorąc pod uwagę niewielki przedział zmienności deklinacji Słońca w czasie doby (iloczyny sinφsinδ oraz cosφcosδ dla wartości granicznych deklinacji pozostają w przybliżeniu stałe) można dla uproszczenia obliczeń przyjąć deklinację za wartość stałą (równą δ dla s=12h) i uznać cos z za funkcję jednej zmiennej t. Wtedy wzór funkcji przyjmuje postać:
cos z = - 0,054 + 0,647 cos t
Wiedząc, że -1 < cos t < 1 możemy wyznaczyć przedział zmienności funkcji
-0,701<cos z<0,593.
b) Wyznaczenie odległości zenitalnych, dla których poprawka wyniesie zero, będzie największa (dodatnia) i najmniejsza (ujemna) w dniu 10.04.2010r.
Wyznaczenie ekstremów oraz miejsc zerowych funkcji
sprowadza się do określenia tych wielkości dla funkcji
f (cos z)=
Po sparametryzowaniu równania parametrem t = cos z, -0,701<t<0,593, mamy do czynienia z funkcją kwadratową o postaci:
Miejsca zerowe funkcji określamy:
t1= -0,577
t2= 0,577
Oba miejsca zerowe należą do dziedziny funkcji -0,701<t<0,593, zatem poprawka wyrażająca wpływ Słońca na pomiary grawimetryczne w dniu 10.04.2010r. była równa zeru dla odległości zenitalnych:
z01 = arccos(t1) = 54°44'03''
z02 = arccos(t2) = 125°15'46''
Następnie konieczne jest wyznaczenie minimum i maksimum funkcji f. Współczynnik a>0 zatem funkcja f osiąga minimum w punkcie:
tmin є <-0,701;0,593>
Poprawka wyrażająca wpływ Słońca na pomiary grawimetryczne w dniu 10.04.2010r. była najmniejsza (ujemna) dla odległości zenitalnych:
zmin = arccos(tmin) = 89°59'56''
Maksimum funkcja osiąga na jednej z granic dziedziny, a więc w punktach
tmax1=-0,701, f(tmax1) = 0,472
tmax2=0,593, f(tmax2) = 0,056
Zatem oprawka wyrażająca wpływ Słońca na pomiary grawimetryczne w dniu 10.04.2010r. była największa (dodatnia) dla odległości zenitalnej:
zmax = arccos(tmax1) = 134°28'21''
KSIĘŻYC
a) Określenie przedziału zmienności odległości zenitalnej w dniu 10.04.2010r.
Odległość zenitalna liczona ze wzoru
jest funkcją stałej szerokości geograficznej miejsca obserwacji oraz dwóch zmiennych:
deklinacji Księżyca δ (w dniu 10.04.2010r. deklinacja Księżyca zmieniała się w przedziale -22˚55' < δ < -20˚02')
kąta godzinnego t (zmieniającego się 0h<t<24h)
Biorąc pod uwagę niewielki przedział zmienności deklinacji Księżyca w czasie doby (iloczyny sinφsinδ oraz cosφcosδ dla wartości granicznych deklinacji pozostają w przybliżeniu stałe) można dla uproszczenia obliczeń przyjąć deklinację za wartość stałą (równą δ dla s=12h) i uznać cos z za funkcję jednej zmiennej t. Wtedy wzór funkcji przyjmuje postać:
cos z= -0,279 + 0,604 cos t
Wiedząc, że -1<cost<1 możemy wyznaczyć przedział zmienności funkcji
-0,882<cos z<0,325.
b) Wyznaczenie odległości zenitalnych, dla których poprawka wyniesie zero, będzie największa (dodatnia) i najmniejsza (ujemna) w dniu 10.04.2010r.
Wyznaczenie ekstremów oraz miejsc zerowych funkcji
sprowadza się do określenia tych wielkości dla funkcji
f (cos z)=
Po sparametryzowaniu równania parametrem t = cos z, -0,882< t <0,325, mamy do czynienia z funkcją kwadratową o postaci:
y = 3t2 - 0,052t - 1
Miejsca zerowe funkcji określamy:
t1= -0,569
t2= 0,586
Jedynie miejsca zerowe t1 należy do dziedziny funkcji -0,882< t <0,325, zatem poprawka wyrażająca wpływ Księżyca na pomiary grawimetryczne w dniu 10.04.2010r. była równa zeru dla odległości zenitalnej:
z0 = arccos(t1) = 124°39'35''
Następnie konieczne jest wyznaczenie minimum i maksimum funkcji f. Współczynnik a>0 zatem funkcja f osiąga minimum w punkcie:
tmin є <-0,882;0,325>
Poprawka wyrażająca wpływ Księżyca na pomiary grawimetryczne w dniu 10.04.2010r. była najmniejsza (ujemna) dla odległości zenitalnych:
zmin = arccos(tmin) = 89°30'03''
Maksimum funkcja osiąga na jednej z granic dziedziny, a więc w punktach
tmax1=-0,882, f(tmax1) = 1,381
tmax2=0,325, f(tmax2) = -0,700
Zatem poprawka wyrażająca wpływ Księżyca na pomiary grawimetryczne w dniu 10.04.2010r. była największa (dodatnia) dla odległości zenitalnej:
zmax = arccos(tmax1) = 151°54'21''
Zadanie 2
Dane:
Szukane: P0, P1, P2, P3, A0, A1, A2, A3
Rozwiązanie:
Wyznaczenie wielomianów Legendre'a P0, P1, P2, P3
Wyznaczenie współczynników A0, A1, A2, A3