KATEDRA GEODEZJI I ASTRONOMII GEODEZYJNEJ
ĆWICZENIE nr 1
Semestr I Studia II stopnia Grupa 3a	Rok akademicki 2009/2010 Nr 9

Zadanie 1

Dane:

σ = 5,5186 kg/m³

R = 6371,112 km

Szukane: H, γ

Rozwiązanie:

1. Obliczenie masy Ziemi M

2. Obliczenie wysokości H nad powierzchnią kulistej Ziemi, na której 2. pochodna przyspieszenia grawitacyjnego zmaleje do 1/9 swojej wartości na powierzchni Ziemi

3. Obliczenie wartości grawitacji γ w miligalach dla tej wysokości

Zadanie 2

Dane:

M_z = 81,3M_k

R = r_z+r_k = 384 405 km

Szukane: r_z, r_k, γ_z, γ_k

Rozwiązanie:

1. Wyznaczenie położenia wspólnego środka ciężkości mas Ziemi i Księżyca przez obliczenie jego odległości od Ziemi i Księżyca na podstawie stałości momentów statycznych

2. Obliczenie przyciągania Ziemi i Księżyca we wspólnym środku ciężkości ich mas

Zadanie 3

Dane:

T = 86400 s

a = 6371,112 km

=16˚

Szukane: ω, V

Rozwiązanie:

1. Obliczenie prędkości kątowej ruchu wirowania Ziemi

2. Obliczenie prędkości liniowej punktu na równoleżniku
   =16˚

Zadanie 4

Dane:

R = 6371,112 km

σ = 5,5186 kg/m³

h =

Szukane:

Rozwiązanie:

1. Obliczenie wysokości h

2. Obliczenie masy Ziemi

3. Obliczenie wartości drugiej pochodnej potencjału grawitacyjnego wewnątrz Globu

4. Obliczenie gradientu pionowego grawitacji na wysokości h = 707,901km

KATEDRA GEODEZJI I ASTRONOMII GEODEZYJNEJ
ĆWICZENIE nr 2 Normalne pole siły ciężkości Ziemi
Semestr I Studia II stopnia Grupa 3a	Rok akademicki 2009/2010 Nr 16

Zadanie 1

Dane:

m₁ = m₂ = m₃ = m₄ = m₅ = m₆ = m

odległość na osi Oz = d

odległość na osiach Ox i Oy =
d

β=

a = 85d

Szukane:

Rozwiązanie:

4. Obliczenie spłaszczenia statycznego J₂

5. Wyznaczenie wzoru na współczynnik dynamiczny w funkcji J₂ i α

6. Wyznaczenie wzoru na spłaszczenie grawimetryczne w funkcji J₂ i α

7. Obliczenia spłaszczenia geometrycznego

Zadanie 2

Dane:

GRS'67:

Szukane: U_zz

Rozwiązanie:

3. Obliczenie promienia r dla szerokości B=61˚

4. Obliczenie prędkości kątowej wirowania Ziemi

5. Obliczenie wartości gradientu dla szerokości B = 61˚ i na wysokości h = 32m

KATEDRA GEODEZJI I ASTRONOMII GEODEZYJNEJ
ĆWICZENIE nr 3 Poprawki pływowe do przyspieszenia ziemskiego
Semestr I Studia II stopnia Grupa 3a	Rok akademicki 2009/2010 Nr 16

Zadanie 1

Dane:

Miejsce obserwacji - Obserwatorium Astronomiczne AP w Krakowie (Suhora)

Szukane: δg_S, δg_K, z_S0, z_Smin, z_Smax, z_K0, z_Kmin, z_Kmax

Rozwiązanie:

Grawimetryczna poprawka lunisolarna wyraża się uproszczonym wzorem:

przy czym

1) Obliczenie poprawki lunisolarnej dla pomiarów wykonanych dnia 10.03.2010r. o godzinie 12:00 w czasie uniwersalnym tj. o godzinie 13:00 czasu środkowoeuropejskiego.

a) Obliczenie średniego miejscowego czasu gwiazdowego

13h00m	moment obserwacji w czasie środkowoeuropejskim CSE
-1h00m	różnica między czasem środkowoeuropejskim CSE a czasem uniwersalnym TU
12h00m	moment obserwacji w czasie uniwersalnym TU
+2m	redukcja interwału czasu na średni czas gwiazdowy (z rocznika)
12h02m	interwał czasu gwiazdowego
11h10m	średni czas gwiazdowy Greenwich o 0h TU (z rocznika)
23h12m	średni czas gwiazdowy Greenwich w momencie obserwacji (w jednostkach czasu)
+1h20m	długość geograficzna miejsca obserwacji (w jednostkach czasu)
0h32m	średni czas miejscowy gwiazdowy

b) Interpolacja rektascensji α i deklinacji δ Słońca i Księżyca na zadany moment obserwacji

12h00m	moment obserwacji w czasie TU
66s	poprawka do czasu TDT
12h01m	moment obserwacji w czasie uniwersalnym TDT (argument tablicy Rocznika astronomicznego)

W wyniku interpolacji liniowej otrzymane zostały następujące wartości współrzędnych Słońca i Księżyca:

Współrzędne	Słońce	Księżyc
rektascensja	23^h21^m	19^h27^m
deklinacja	-4˚04'	-21˚43'

c) Obliczenie kątów godzinnych ciał niebieskich

t_S = s - α_S = 17˚41'

t_K = s - α_K = 76˚18'

d) Obliczenie wartości poprawek lunisolarnych

2) Określenie odległości zenitalnych, dla których poprawka wyniesie zero, będzie największa (dodatnia) i najmniejsza (ujemna) w dniu 10.04.2010r.

SŁOŃCE

a) Określenie przedziału zmienności odległości zenitalnej w dniu 10.04.2010r.

Odległość zenitalna liczona ze wzoru
jest funkcją stałej szerokości geograficznej miejsca obserwacji oraz dwóch zmiennych:

• deklinacji Słońca δ (w dniu 10.04.2010r. deklinacja Słońca zmieniała się w przedziale -4˚14' < δ < -3˚51')

• kąta godzinnego t (zmieniającego się 0^h < t < 24^h)

Biorąc pod uwagę niewielki przedział zmienności deklinacji Słońca w czasie doby (iloczyny sinφsinδ oraz cosφcosδ dla wartości granicznych deklinacji pozostają w przybliżeniu stałe) można dla uproszczenia obliczeń przyjąć deklinację za wartość stałą (równą δ dla s=12^h) i uznać cos z za funkcję jednej zmiennej t. Wtedy wzór funkcji przyjmuje postać:

cos z = - 0,054 + 0,647 cos t

Wiedząc, że -1 < cos t < 1 możemy wyznaczyć przedział zmienności funkcji

-0,701<cos z<0,593.

b) Wyznaczenie odległości zenitalnych, dla których poprawka wyniesie zero, będzie największa (dodatnia) i najmniejsza (ujemna) w dniu 10.04.2010r.

Wyznaczenie ekstremów oraz miejsc zerowych funkcji

sprowadza się do określenia tych wielkości dla funkcji

f (cos z)=

Po sparametryzowaniu równania parametrem t = cos z, -0,701<t<0,593, mamy do czynienia z funkcją kwadratową o postaci:

Miejsca zerowe funkcji określamy:

t₁= -0,577

t₂= 0,577

Oba miejsca zerowe należą do dziedziny funkcji -0,701<t<0,593, zatem poprawka wyrażająca wpływ Słońca na pomiary grawimetryczne w dniu 10.04.2010r. była równa zeru dla odległości zenitalnych:

z₀₁ = arccos(t₁) = 54°44'03''

z₀₂ = arccos(t₂) = 125°15'46''

Następnie konieczne jest wyznaczenie minimum i maksimum funkcji f. Współczynnik a>0 zatem funkcja f osiąga minimum w punkcie:

t_min є <-0,701;0,593>

Poprawka wyrażająca wpływ Słońca na pomiary grawimetryczne w dniu 10.04.2010r. była najmniejsza (ujemna) dla odległości zenitalnych:

z_min = arccos(t_min) = 89°59'56''

Maksimum funkcja osiąga na jednej z granic dziedziny, a więc w punktach

t_max1=-0,701, f(t_max1) = 0,472

t_max2=0,593, f(t_max2) = 0,056

Zatem oprawka wyrażająca wpływ Słońca na pomiary grawimetryczne w dniu 10.04.2010r. była największa (dodatnia) dla odległości zenitalnej:

z_max = arccos(t_max1) = 134°28'21''

KSIĘŻYC

a) Określenie przedziału zmienności odległości zenitalnej w dniu 10.04.2010r.

Odległość zenitalna liczona ze wzoru
jest funkcją stałej szerokości geograficznej miejsca obserwacji oraz dwóch zmiennych:

• deklinacji Księżyca δ (w dniu 10.04.2010r. deklinacja Księżyca zmieniała się w przedziale -22˚55' < δ < -20˚02')

• kąta godzinnego t (zmieniającego się 0^h<t<24^h)

Biorąc pod uwagę niewielki przedział zmienności deklinacji Księżyca w czasie doby (iloczyny sinφsinδ oraz cosφcosδ dla wartości granicznych deklinacji pozostają w przybliżeniu stałe) można dla uproszczenia obliczeń przyjąć deklinację za wartość stałą (równą δ dla s=12^h) i uznać cos z za funkcję jednej zmiennej t. Wtedy wzór funkcji przyjmuje postać:

cos z= -0,279 + 0,604 cos t

Wiedząc, że -1<cost<1 możemy wyznaczyć przedział zmienności funkcji

-0,882<cos z<0,325.

b) Wyznaczenie odległości zenitalnych, dla których poprawka wyniesie zero, będzie największa (dodatnia) i najmniejsza (ujemna) w dniu 10.04.2010r.

Wyznaczenie ekstremów oraz miejsc zerowych funkcji

sprowadza się do określenia tych wielkości dla funkcji

f (cos z)=

Po sparametryzowaniu równania parametrem t = cos z, -0,882< t <0,325, mamy do czynienia z funkcją kwadratową o postaci:

y = 3t² - 0,052t - 1

Miejsca zerowe funkcji określamy:

t₁= -0,569

t₂= 0,586

Jedynie miejsca zerowe t₁ należy do dziedziny funkcji -0,882< t <0,325, zatem poprawka wyrażająca wpływ Księżyca na pomiary grawimetryczne w dniu 10.04.2010r. była równa zeru dla odległości zenitalnej:

z₀ = arccos(t₁) = 124°39'35''

Następnie konieczne jest wyznaczenie minimum i maksimum funkcji f. Współczynnik a>0 zatem funkcja f osiąga minimum w punkcie:

t_min є <-0,882;0,325>

Poprawka wyrażająca wpływ Księżyca na pomiary grawimetryczne w dniu 10.04.2010r. była najmniejsza (ujemna) dla odległości zenitalnych:

z_min = arccos(t_min) = 89°30'03''

Maksimum funkcja osiąga na jednej z granic dziedziny, a więc w punktach

t_max1=-0,882, f(t_max1) = 1,381

t_max2=0,325, f(t_max2) = -0,700

Zatem poprawka wyrażająca wpływ Księżyca na pomiary grawimetryczne w dniu 10.04.2010r. była największa (dodatnia) dla odległości zenitalnej:

z_max = arccos(t_max1) = 151°54'21''

Zadanie 2

Dane:

Szukane: P₀, P₁, P₂, P₃, A₀, A₁, A₂, A₃

Rozwiązanie:

6. Wyznaczenie wielomianów Legendre'a P₀, P₁, P₂, P₃

7. Wyznaczenie współczynników A₀, A₁, A₂, A₃

---