TEMAT:
Zbieżność jednostajna cd,
przestrzeń Banacha, przestrzeń unitarna

 

           Niech:  X-zbiór

           (Y,d)-przestrzeń metryczna

           B(X,Y)-zbiór funkcji ograniczonych o wartościach w przestrzeni metrycznej

           B(X,Y)={
, f - ograniczona}

           

d_c-metryka Czebyszewa   d_c(f,g) :=
d(f(x),g(x))    

 

 

TWIERDZENIE 10.1

 

Przestrzeń (B(X,Y), d_c) jest przestrzenią metryczną.

 

Dowód:

1)

  d_c(f,g) =
d(f(x),g(x))
,

ponieważ d_c(f,g) jest kresem górnym liczb   nieujemnych

 

2)

   d_c(f,g) =
  d(f(x),g(x)) = {z symetrii d}=

  =
d(g(x),f(x))= d_c(g,f)

 

3)

 d_c(f,h) =
d(f(x),h(x))
{z nierówności trójkąta dla d}

[d(f(x),g(x))+d(g(x),h(x))]
{kres górny sumy dwóch funkcji
 sumy kresów}   

                                  

 d(f(x),g(x)) +
d(g(x),h(x))= d_c(f,g)+ d_c(g,h)

 

                       4)

 d_c(f,g) =0
 
d(f(x),g(x)) = 0
 
d(f(x),g(x))=0    

f(x)=g(x)
f=g

 

 

Pokazaliśmy więc, że przestrzeń (B(X,Y), d_c),

gdzie d_c -metryka Czebyszewa, jest przestrzenią metryczną.

 

 

 

STWIERDZENIE 10.1

Jeżeli (Y,d) - przestrzeń zupełna to przestrzeń (B(X,Y), d_c) jest przestrzenią zupełną.

 
 

 

STWIERDZENIE 10.2

            Jeżeli (Y,d) - przestrzeń zupełna i C(X,Y) - zbiór funkcji ciągłych i ograniczonych przeprowadzających

X w Y to wtedy przestrzeń (C(X,Y), d_c) jest przestrzenią zupełną.

  

            Następnie pokażemy, że zbieżność jednostajna jest zbieżnością w sensie metryki Czebyszewa..

 

 

 

WNIOSEK 10.1

 

Niech (f_n)_n
N 
B(X,Y)

            T:       f_n
   f

d_c(f_n,f) =0

 

D:      (
)

            f_n
  f




 d(f_n(x),f(x)) <

                 

                               


 
d(f_n(x),f(x))
<

                                                 
           

 

                                               


d_c(f_n,f)<

 

           Pokazaliśmy, że jeżeli ciąg jest zbieżny jednostajnie to jest zbieżny

           w sensie metryki Czebyszewa.

 

           (
)           

 d_c(f_n,f) <

 


 
d(f_n(x),f(x)) <
                           

 

 d(f_n(x),f(x)) <

          A zatem badanie czy ciąg jest zbieżny jednostajnie będzie się ograniczać

          do badania zbieżności w sensie odległości  Czebyszewa.

 

 

 

WNIOSEK 10.2

 

Granica jednostajna ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

Niech (f_n)_n
N 
C(X,Y) f_n  
   f   {czyli w sensie metryki

 

Czebyszewa}

 

T:        f
C(X,Y)

 

 

 

WNIOSEK 10.3

 

Jeżeli ciąg jest zbieżny jednostajnie, to jest zbieżny punktowo do tej samej granicy.

            Jeżeli f_n
  f,   to     f_n  
  f

 

 

 

PRZYKŁAD 10.1

 

Sprawdź, czy f_n jest zbieżny jednostajnie na odcinku [0,1].

 

  f_n : [0,1] x
f_n(x)=xⁿ                                       
 f_n
C[0,1]

 

Obliczamy granice punktową:

 

f_n(x)=

 

 

Ciąg f_n nie jest zbieżny jednostajnie na odcinku [0,1], ponieważ f_n jest ciągiem

funkcji ciągłych, a granica punktowa nie jest funkcją ciągłą.

 

 

 

PRZYKŁAD 10.2

 

Zbadać zbieżność jednostajną ciągu, określić obszary zbieżności punktowej (D_p)

i jednostajnej (D_j) .

 

Niech  f_n : R
R

           f_n(x)= 2n²e

 

 2n²e
=


   

 =


 

 

 Ciąg f_n nie jest zbieżny punktowo  ani jednostajnie w całym R

 

Wiemy (z powyższych wyliczeń), że D_p=R\{0}

Wiemy również, że zawsze zachodzi warunek: D_j
 D_p

 

1)  Najpierw sprawdzamy, czy D_p=  D_j.. będziemy więc badać, czy ciąg jest  
zbieżny jednostajnie na całym zbiorze D_p

 

d_c(f_n,0) =

=

2n²e

=

h
(x)

 

Szukamy więc kresów górnych funkcji  h
(x). Sprawdzamy ekstrema i granice

na końcach przedziału określoności:

h
'(x)=2n²( -2n²x) e

h
'(x)=0
x=0
R\{0}   
wewnątrz rozpatrywanego przedziału nie ma

punktów mogących być ekstremami

 

                 
h
(x) =
2n²e
=0

                 
h
(x) =
2n²e
=2n²
 

                 
h
(x) =
2n²e
=2n²

 

Otrzymaliśmy więc:

 

2n²e

=max{0,2n²}=2n²
0

 

 

 

 

WNIOSEK:        

            Ciąg nie jest zbieżny jednostajnie na  R\{0}

 

  

2)  Należy więc wykluczyć dowolnie małe otoczenie zera.

Sprawdzimy teraz, czy ciąg jest zbieżny jednostajnie na zbiorze

A=]-
,a]
[b,+
[ , gdzie a<0 i b>0

 

d_c(f_n,0) =

=

2n²e

=

      =max{0,
 
}
0       

 

 

 

 

WNIOSEK:        

             Ciąg jest zbieżny jednostajnie na zbiorze -
,a]
[b,+
[ 

             (gdzie a,b - liczby dowolnie bliskie zeru)

             więc

             D_p=R\{0}

             D_j=]-
,a]
[b,+
[ 

 

 

 

 

TWIERDZENIE 10.2

 

Z:       R
X    i  X-przedział

(f_n)_n
N

f_n : X
R
          
f_n
D(X)

 

T:       Jeżeli f_n'-ciąg pochodnych zbieżny jednostajnie na X , a f_n-ciąg funkcji zbieżny punktowo

            na X to [
f_n(x)]'=
f_n'(x)

 

(bez dowodu)

 

 

 

 

TWIERDZENIE 10.3

 

Z:        f_n : X
R   i   X-przedział , x_o
X

f_n-ciąg zbieżny jednostajnie na X

T:       
 

=

 

(bez dowodu)

PRZESTRZENIE UNORMOWANE

           Niech:

           (X,+,K,*)-przestrzeń wektorowa, gdzie     K=R 
  K=C

 

 

DEFINICJA 10.1      (NORMA)

 

||
|| : X  x
 ||x||
R   - norma :

 

1
    ||x||
0  -nieujemność normy

2


||
x||
=|
| ||x||    -  jednorodność normy

3
||x+y||
||x||+||y||  -warunek trójkąta

4
  ||x||=0
 x=0

 

(X, ||
||) -przestrzeń unormowana

 

 

 

PRZYKŁAD 10.3

 

X=Rⁿ   x=(x₁,x₂,...,x_n)    

      I.                ||x||=
      -norma euklidesowa

      II.               ||x||=
            -norma taksówkowa

      III.              ||x||=

        -norma maksimum

           

 

TWIERDZENIE 10.4

 

Każda przestrzeń unormowana jest przestrzenią metryczną.

 

Z:        (X, ||
||) -przestrzeń unormowana

  
d(x,y)= ||x-y||

T:        (X,d)-przestrzeń metryczna

 

D:       1

d(x,y)= ||x-y||
0

     2   
d(x,y)= ||x-y||=||(-1)(y-x)|| ={z 2 pkt.def} |-1| ||y-x||=||y-x||=d(y,x)

                       3  
d(x,z)= ||x-z||=||(x-y)+(y-z)||
{z 3 pkt.def.}

           
 ||x-y||+||y-z||=d(x,y)+d(y,z)

     4   
d(x,y)=0
||x-y||=0
{z 4 pkt.def}  x-y=0
 x=y

 

 

 

 

PRZYKŁAD 10.4

 

Niech X-zbiór,  (Y, ||
||_y) -przestrzeń unormowana

B(X,Y)- zbiór funkcji ograniczonych f:X
Y

||
||_c  -norma Czebyszewa

||
||_c  :     B(X,Y)  f
||f||_c:=
|| f(x)|| _y

Sprawdzamy, czy wyżej zdefiniowana norma Czebyszewa spełnia warunki normy:

1  Nieujemność

           
    ||f||_c =


0 - z własności normy

 

      2  Jednorodność

           

||
f||_c=

=
|
| || f(x)|| _y=|
|
|| f(x)|| _y=|
| ||f||_c

 

      3  Warunek trójkąta

           
||f+g||=
|| f(x)+g(x)|| _y
{kres górny sumy dwóch funkcji
sumy kresów}
     

                      

|| f(x)|| _y+
|| g(x)|| _y=||f||_c+||g||_c

 

      4 
||f||_c =0


=0

f(x)=0
f=0

 

 

WNIOSEK 10.4

 

Przestrzeń (B(X,Y), ||
||_c) jest przestrzenią unormowaną.

 

  

PRZESTRZENIE BANACHA

 

DEFINICJA 10.2      (PRZESTRZEŃ BANACHA)

Przestrzeń unormowaną i zupełną nazywamy przestrzenią Banacha.

Jeżeli: (X, ||
||) - przestrzeń unormowana i zupełna,

to:        (X, ||
||) -przestrzeń Banacha.

 

 

PRZYKŁAD 10.5

 

Przestrzeń Rⁿ z normą euklidesową, taksówkową i maksimum jest przestrzenią Banacha.

 


 

PRZYKŁAD 10.6

 

Jeżeli: X-zbiór i (Y, ||
||_Y) -przestrzeń Banacha, to:

                          (B(X,Y),||
||_c) -przestrzeń Banacha oraz        

             (C(X,Y), ||
||_c ) -przestrzeń Banacha.



 

PRZESTRZENIE UNITARNE

 

 

             Niech  (X,+,K,*) -przstrzeń wektorowa, gdzie K=R 
  K=C

 

DEFINICJA 10.3      (ILOCZYN SKALARNY)

 

 
    -iloczyn skalarny

 
    :X
X(x,y)


K iloczyn skalarny :

            1°  
  

            2 
 
=

liniowość ze względu na I-szą zmienną

 

5  
 
=0
x=0

 

(X,
 ) -przestrzeń unitarna

 

 

TWIERDZENIE 10.5   (WŁASNOŚCI ILOCZYNU SKALARNEGO)

 

Z:         (X,
  ) -przestrzeń unitarna

 

T:        1

)=
+

                        2
  
 
=

 

D:       Ad 1)

            (x
)={2 pkt. def.}=
=

             ={3 pkt. def.}
=
+
={2 pkt. def.}=(x|y)+(x|z)  

           Ad 2)

            (x
={2 pkt. def.}=
={4 pkt. def.}

= {2 pkt. def.} 
(x|y)             

 

 

PRZYKŁAD 10.7

 

X=Rⁿ   x=(x₁,x₂,...,x_n)     y=(y₁,y₂,...,y_n)    

 

(x|y)=



 

PRZYKŁAD 10.8

 

L2[a,b] -zbiór funkcji całkowalnych z kwadratem

L2[a,b] -zbiór funkcji {f:[a,b]
R    
  
<
}

(f|g)=
 -iloczyn skalarny w zbiorze funkcji L2[a,b]

 

 

 

TWIERDZENIE 10.6       (NIERÓWNOŚĆ SCHWARZA)

 

Z:        (X,
 ) -przestrzeń unitarna

 

T:       

||x|| ||y|| ,      gdzie ||x||=

 

D:       Niech 
oraz   x,y
X

 

0
((x-y)| (x-y))={Z liniowości na I-szą zmienną}=(x|(x-y)) - (y|(x-y))={z liniowości

na II-gą zmienną}=(x|x) -
(x|y) - (y|x) + 
(y|y)=*

Niech =

 

*= (x|x)-
(x|y) -

+
= (x|x)-

 

(x|x) -

0

 

|(x|y)|²

         

              
     

|(x|y)|
||x|| ||y||

 


 

WNIOSEK 10.5

(Rⁿ,
  )           (x|y)=

 

 -nierówność Cauchy'ego

 

 

TWIERDZENIE 10.7

 

Każda przestrzeń unitarna jest przestrzenią unormowaną.

 

Z:        (X,
 ) -przestrzeń unitarna

 

T:        (X, ||
||) -przestrzeń unormowana

 

D:       1       
||x||=

0

           2       

||
x||=
=
=||
=|| ||x||

           3       
||x+y||=
=
=

                     

{ bo
}

                     

{z nierówności Schwarza}

                     
=||x||+||y||

          4       
||x||=0
(x|x)=0
x=0

 

Pokazaliśmy, że każda przestrzeń unitarna jest unormowana, więc jest metryczna.

 

 

DEFINICJA 10.4      (PRZESTRZEŃ HILBERTA)

 

            Przestrzeń unitarną i zupełną nazywamy przestrzenią Hilberta.

---