Nr ćwiczenia: 203	Data: 27-05-2001r.	Marek Frątczak		Wydział Elektryczny	Semestr II	Grupa: E-9
Prowadzący: mgr Jarosław Gutek			Przygotował: Marek Frątczak	Wykonał: Marek Frątczak	Opracował: Marek Frątczak	Ocena:

Temat: Wyznaczanie pojemności kondensatora za pomocą drgań relaksacyjnych.

1. Wstęp teoretyczny.

Pojemność kondensatora.

Kondensatorem nazywamy układ dwóch okładek metalowych o dowolnym kształcie rozdzielonych dielektrykiem. W stanie naładowania na każdej z okładek znajduje się ładunek elektryczny Q o przeciwnym znaku, a między okładkami napięcie U. Pojemność kondensatora wyraża się stosunkiem ładunku do napięcia:

.

Pojemność kondensatora zależy od jego kształtu, rozmiarów, wzajemnej odległości okładek i od rodzaju zastosowanego dielektryka.

Ładowanie kondensatora

Odbywa się ono przez dołączenie źródła o stałej SEM ε do obwodu zawierającego szeregowo połączone opór R i pojemność C, natomiast rozładowanie przez odłączenie SEM od obwodu.

W dowolnym momencie procesu ładowania na okładkach znajduje się ładunek q, a w obwodzie płynie prąd i. Zgodnie z II prawem Kirchhoffa spadki napięć na kondensatorze i oporniku są kompensowane przez SEM źródła:

.

Po zróżniczkowaniu tego równania i uwzględnieniu związku i=dq/dt otrzymamy:

.

Jest to równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych. Po obustronnym scałkowaniu otrzymujemy rozwiązanie:

,

gdzie i₀ jest stałą całkowania określoną przez warunki początkowe.

W dowolnej chwili napięcie na kondensatorze wynosi Uc=-Ri i zmienia się w czasie zgodnie z równaniem:

Po dostatecznie długim czasie kondensator zostaje naładowany całkowicie. Praktycznie dla t, Uc0 kondensator uważa się za naładowany, gdy t=5RC.

Rozładowywanie kondensatora

Prąd i napięcie rozładowywania wynoszą odpowiednio:

Wielkość RC występującą w powyższych równaniach nazywa się stałą obwodu (ma ona wymiar czasu). Określa ona prędkość ładowania i rozładowywania obwodu.

Jeśli w obwodzie RC dołączymy równolegle do kondensatora neonówkę wówczas występują w obwodzie niesymetryczne wzrosty i spadki napięć na kondensatorze nazywane drganiami relaksacyjnymi.

Drgania relaksacyjne

Drgania te polegają na tym, że napięcie na kondensatorze ładowanym ze źródła, rośnie aż do pewnej wartości Uz (napięcia zapłonu), kiedy to zapala się neonówka. Ponieważ neonówka posiada mały opór i w konsekwencji kondensator szybko się rozładowuje, do momentu gdy napięcie osiągnie wartość Ug napięcia gaśnięcia (neonówka gaśnie). Następnie ponownie następuje ładowanie kondensatora, a później jego rozładowanie i cykl się powtarza. Ze wzglądu na mały opór jarzącej się neonówki czas rozładowania stanowi mały ułamek całego okresu i możemy przyjąć, że okres drgań relaksacyjnych jest równy czasowi ładowania kondensatora od napięcia U_g do U_z.

W pierwszym cyklu ładowania napięcie U₀ zostanie osiągnięte po czasie t0, zatem

,

gdzie U₀ napięciem źródła.

Analogicznie do powyższego równania piszemy:

Obliczając z dwóch ostatnich równań t_o i t_o + T, otrzymujemy:

Odejmując powyższe równania stronami, znajdujemy wzór na okres:

.

Ostatecznie logarytm naturalny z powyższego równania (stały dla danej neonówki i danego napięcia)zastępujemy przez K i otrzymujemy:

.

Zatem jak widać okres drgań relaksacyjnych jest wprost proporcjonalny do pojemności i oporu.

Zasada pomiaru

Równanie
umożliwia nam wyznaczenie pojemności kondensatorów, jeżeli potrafimy znaleźć okres drgań relaksacyjnych, opór obwodu oraz stałą K. W tym celu używamy znanych oporników oraz kondensatora wzorcowego (dekadowego) o znanej pojemności. Okres mierzymy za pomocą sekundomierza (licząc ilość np. 20 błysków neonówki).

Następnie podłączając do obwodu szukane pojemności możemy obliczyć ich wartości.

2. Opis przeprowadzonego ćwiczenia.

• Po podłączeniu obwodu przy pewnym ustalonym oporze zmieniam skokami pojemność wzorcową. Dla każdej wartości mierzę czas 20 błysków i wyznaczam okres.

• Powtarzam powyższą czynność dla dwóch innych oporów. Całkowita liczba kombinacji oporów z pojemnościami wynosi 30.

• Dla każdej wartości RC obliczam stałą K, a następnie jej wartość średnią.

• Wykonuję pomiary okresu dla kondensatorów nieznanych i obliczam ich pojemność.

3. Dane eksperymentalne.

Pomiary były przeprowadzane dla napięcia 100[V].

Czas dla 20 okresów:

R[MΩ]	C[μF]
	0,3	0,33	0,36	0,39	0,42	0,45	0,48	0,51	0,54	0,57
1	6,81	7,12	7,69	8,31	8,88	9,50	10,16	10,90	11,41	11,84
2	12,97	14,31	15,38	16,53	17,88	19,31	20,47	21,63	23,00	14,51
3	19,22	21,28	23,25	25,28	27,19	28,94	30,82	32,63	34,56	36,52

Okres T[s]

R[MΩ]	C[μF]
	0,3	0,33	0,36	0,39	0,42	0,45	0,48	0,51	0,54	0,57
1	0,341	0,356	0,385	0,416	0,444	0,475	0,508	0,545	0,571	0,592
2	0,649	0,716	0,769	0,827	0,894	0,966	1,024	1,082	1,150	1,226
3	0,961	1,064	1,163	1,264	1,360	1,447	1,541	1,632	1,728	1,826

Obliczani stałej K.

Przykład obliczeń dla: C=0,3[μF] i R=1[MΩ]

Wartość stałej K dla poszczególnych pomiarów:

R[MΩ]	C[μF]
	0,3	0,33	0,36	0,39	0,42	0,45	0,48	0,51	0,54	0,57
1	1,135	1,079	1,068	1,065	1,057	1,056	1,058	1,069	1,056	1,039
2	1,081	1,084	1,068	1,060	1,064	1,073	1,066	1,060	1,065	1,075
3	1,068	1,075	1,076	1,080	1,079	1,072	1,070	1,066	1,067	1,068

Średnia wartość K wynosi:

,

więc K=1,070±0,0028.

Błąd dla K obliczyłem metodą logarytmiczną:

Przykład obliczeń dla: C=0,3[μF] (
C=0,01μF), T= 0,341[s] (
T=0,01s) i K= 1,135:

.

Oto wyniki błędu stałej K dla poszczególnych pomiarów:

R[MΩ]	C[μF]
	0,3	0,33	0,36	0,39	0,42	0,45	0,48	0,51	0,54	0,57
1	0,0712	0,0630	0,0574	0,0530	0,0490	0,0457	0,0429	0,0406	0,0381	0,0358
2	0,0527	0,0480	0,0436	0,0400	0,0372	0,0350	0,0326	0,0306	0,0290	0,0276
3	0,0467	0,0427	0,0392	0,0362	0,0336	0,0312	0,0292	0,0274	0,0259	0,0246

4. Wyznaczanie pojemności kondensatorów.

Czas 20 okresów [s]:

R[MΩ]	Cx1	Cx2	Cx3	Cx4
1	21,91	9,43	5,03	X
2	41,32	19,16	9,66	3,14
3	60,02	27,18	14,32	4,52
4	80,23	36,5	18,62	5,56
5	101,41	47,32	23,24	6,23

Okres T [s]:

R[MΩ]	Cx1	Cx2	Cx3	Cx4
1	1,096	0,472	0,252	X
2	2,066	0,958	0,483	0,157
3	3,001	1,359	0,716	0,226
4	4,012	1,825	0,931	0,278
5	5,071	2,366	1,162	0,312

Obliczenia pojemności kondensatora Cx_i Przykład obliczeń dla R=1[MΩ], T=1,096 i K=1,07:

R[MΩ]	Cx1	Cx2	Cx3	Cx4
1	1,024	0,441	0,235	X
2	0,965	0,448	0,226	0,073
3	0,935	0,423	0,223	0,070
4	0,937	0,426	0,218	0,065
5	0,948	0,442	0,217	0,058

Średnie wartości pojemności wynoszą:

Cx₁=0,96[μF]

Cx₂=0,44[μF]

Cx₃=0,22[μF]

Cx₄=0,07[μF]

Błąd C_xi obliczam metodą logarytmiczną:

Przykładowe obliczenia dla : T=1,096[s] (
), K=1,07 (
), C=1,024[μF]

Wartości błędu Cx_i dla poszczególnych pomiarów:

R[MΩ]	Cx1	Cx2	Cx3	Cx4
1	0,0120	0,0105	0,0100	X
2	0,0072	0,0059	0,0053	0,0049
3	0,0056	0,0042	0,0037	0,0033
4	0,0048	0,0035	0,0029	0,0025
5	0,0044	0,0030	0,0024	0,0020

Oto ostateczne wyniki:

Cx₁=0,96±0,016 [μF]

Cx₂=0,44±0,005 [μF]

Cx₃=0,22±0,003 [μF]

Cx₄=0,07± 0,003[μF]

5. Wnioski.

Doświadczenie miało na celu wyznaczenie pojemności kondensatorów, ale wcześniej należało wyznaczyć stałą K.

Otrzymane wartości w przypadku C_x1, C_x2, C_x3 i C_x4 są zgodne lub niewiele różniące się z danymi podanymi przez producenta kondensatorów, które wynoszą:

Cx1=0,22[μF]

Cx2=0,47 K[μF]

Cx3=1 K[μF]

Cx4= ....... K[μF]

gdzie K oznacza pewien przedział tolerancji.

Do wykonywania pomiarów ilości błyśnięć neonówki przydatny był czujnik umożliwiający pomiar. Dla rezystancji R₁ i pojemności C_x4 nie można było policzyć błyśnięć, ponieważ neonówka błyskała zbyt szybko i oko nie było w stanie wystarczająco dokładnie "wyłapać" błysków o tak dużej częstotliwości.

1

5

---