Wzory 12

WZORY 12: hipotezy dotyczące jednego parametru lub dwóch jednakowych parametrów z dwóch różnych populacji weryfikowane testami istotności

Założenia I

1) Zmienna losowa X ma w populacji generalnej rozkład normalny, określony parametrami m oraz σ, parametry m i σ nie są znane. Próbę prostą n-elementową tworzy ciąg niezależnych zmiennych losowych (X1, X2, X3,..., Xn) o rozkładach identycznych i jednakowych z rozkładem zmiennej losowej X w populacji generalnej.

2) Jeżeli mamy do czynienia z dwiema populacjami generalnymi, to założenie 1) dotyczy obu populacji.

We wszystkich analizowanych niżej testach istotności hipotezy alternatywne mogą występować w trzech odmianach: jako hipotezy dwustronne, prawostronne lub lewostronne, w wyniku czego zbiór wartości krytycznych K może występować w trzech odmianach.

Jeżeli rozkład, na podstawie którego wyznaczamy zbiór K, jest symetryczny, jak na przykład rozkład standardowy normalny czy rozkład t-Studenta, to odmiany zbioru K są następujące:

a) K = {⇐ : Ze (-∞; -⇐α,v > lub < ⇐α,v, + ∞)} i gdzie ⇐α,v jest wartością odczytaną z tablic odpowiedniego rozkładu przyjętym poziomie istotności α (oraz ustalonej liczbie stopni swobody v dla rozkładów określonych przez stopnie swobody, czyli rozkładów dokładnych), a hipoteza alternatywna x1 jest dwustronna,

b) K = {⇐ : Ze < ⇐2α,v, +∞)} i gdzie ⇐2α,v jest wartością odczytaną z tablic odpowiedniego rozkładu przyjętym poziomie istotności α (oraz ustalonej liczbie stopni swobody v dla rozkładów określonych przez stopnie swobody, czyli rozkładów dokładnych), a hipoteza alternatywna x1 jest prawostronna,

c) K = {⇐ : Ze (-∞; -⇐2α,v>} i gdzie -⇐2α,v jest wartością odczytaną z tablic odpowiedniego rozkładu przyjętym poziomie istotności α (oraz ustalonej liczbie stopni swobody v dla rozkładów określonych przez stopnie swobody, czyli rozkładów dokładnych), a hipoteza alternatywna x1 jest lewostronna.

We wszystkich analizowanych niżej testach istotności, przyjętym poziomie istotności α i ustalonej liczbie stopni swobody v, mogą być podejmowane decyzje weryfikacyjne dwojakiego rodzaju.

Jeżeli obliczona wartość odpowiedniej statystyki znajdzie się w zbiorze wartości krytycznych K to, przyjętym poziomie istotności α i ustalonej liczbie stopni swobody v, odrzucamy hipotezę sprawdzaną x0 na rzecz hipotezy alternatywnej x1.

Jeżeli obliczona wartość odpowiedniej statystyki nie znajdzie się w zbiorze wartości krytycznych K to, przyjętym poziomie istotności α i ustalonej liczbie stopni swobody v, nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy sprawdzanej x0.

Przedmiotem analizy są te hipotezy parametryczne, których weryfikacja odbywa się za pomocą statystyk z próby o rozkładach t-Studenta, chi-kwadrat oraz F-Snedecora.

Hipotezy parametryczne, do których weryfikacji używane są statystyki                              z próby o rozkładzie t-Studenta

Część I

Zbiorem wartości krytycznych w parametrycznych testach istotności opartych na rozkładzie t-Studenta (symetrycznym) zmiennej losowej t jest zbiór K, który występuje w następujących odmianach:

a) K = {t : t należy do zbioru (-∞; -tα,v> lub <tα,v +∞)}, gdzie tα,v jest wartością odczytaną z tablic rozkładu t-Studenta przyjętym poziomie istotności α i ustalonej liczbie stopni swobody v = n - 1 (lub v = n1 + n2 - 2) tak, aby , a hipoteza alternatywna x1 jest dwustronna,

b) K = {t : t należy do zbioru <t2α,v, +∞)}, gdzie t2α,v jest wartością odczytaną z tablic rozkładu t-Studenta przyjętym poziomie istotności α i ustalonej liczbie stopni swobody v = n - 1 (lub v = n1 + n2 - 2) tak, aby P(t ≥ t2α,v) = α, a hipoteza alternatywna x1 jest prawostronna,

c) K = {t : t należy do zbioru (-∞; -t2α,v>}, gdzie -t2α,v jest wartością odczytaną z tablic rozkładu t-Studenta przyjętym poziomie istotności α i ustalonej liczbie stopni swobody v = n - 1 (lub v = n1 + n2 - 2) tak, aby P(t ≤ -t2α,v) = α, a hipoteza alternatywna x1 jest lewostronna.

W analizowanych niżej testach istotności opartych na rozkładzie t-Studenta mogą być podejmowane decyzje weryfikacyjne dwojakiego rodzaju.

Jeżeli obliczona wartość statystyki t znajdzie się w zbiorze wartości krytycznych K, co oznacza, że:

a)  $ tα,v lub b) tobl ≥ t2α,v lub też c) tobl ≤ -t2α,v

to, przyjętym poziomie istotności α i ustalonej liczbie stopni swobody v = n - 1 (lub v = n1 + n2 - 2) odrzucamy hipotezę sprawdzaną x0 na rzecz hipotezy alternatywnej x1.

Jeżeli obliczona wartość statystyki t nie znajdzie się w zbiorze wartości krytycznych K, co oznacza, że:

a)  < tα,v lub b) tobl < t2α,v lub też c) tobl > -t2α,v

to, przyjętym poziomie istotności α i ustalonej liczbie stopni swobody v = n - 1 (lub v = n1 + n2 - 2) nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy sprawdzanej x0. Hipoteza 1

x0 : m = m0 a)   x1 : m … m0 lub b)   x1 : m > m0, lub też c)   x1 : m < m0.

Narzędziem weryfikacji hipotezy x0 jest, przy założeniach I, statystyka t dana wzorem (12.A) lub też statystyka t dana wzorem (12.B):

(12.A)  lub (12.B) ,

gdzie

, i = 1,..., n, , i = 1,..., n, , , , i = 1,..., n, , , stopnie swobody: v = n - 1.

Obliczone na podstawie wyników (x1, x2,..., xn) n-elementowej próby prostej (X1, X2,..., Xn) oraz obliczone na podstawie założenia, że hipoteza sprawdzana x0 jest hipotezą prawdziwą, statystyki (12.A) i (12.B) przyjmują wartości (12.A*) lub (12.B*).

(12.A*)  lub (12.B*) ,

gdzie

, i = j, i = 1,..., n, , i = j, i = 1,..., n, , , , i = j, i = 1,..., n, , ,

Hipoteza 2

x0 : m1 = m2, czyli x0 : m1 - m2 = 0 a)   x1 : m1 … m2, czyli x1 : m1 - m2 … 0 lub b)   x1 : m1 > m2, czyli x1 : m1 - m2 > 0 lub też c)   x1 : m1 < m2, czyli x1 : m1 - m2 < 0.

Dodatkowe założenie:  (chociaż, jak pamiętamy z założeń I, parametry  i  nie są znane).

Narzędziem weryfikacji hipotezy x0 jest, przy założeniach I i założeniu dodatkowym, statystyka t dana wzorem (12.C):

(12.C)

gdzie

, i = 1,..., n1, , i = 1,..., n2,

, ,

stopnie swobody: v = (n1 - 1) + (n2 - 1) = n1 + n2 - 2.

Obliczona na podstawie wyników (x11, x21,..., xn1) n1-elementowej próby prostej (X11, X21,..., Xn1) i wyników (x12, x22,..., xn2) n2-elementowej próby prostej (X12, X22,..., Xn2) oraz obliczona podstawie założenia, że hipoteza sprawdzana x0 jest hipotezą prawdziwą, statystyka (12.C) przyjmuje wartość (12.C*).

(12.C*)

gdzie

, i = j, i = 1,..., n1, , i = j, i = 1,..., n2,

, ,

Hipoteza 2 jak wyżej

Dodatkowe założenie:  (chociaż, jak pamiętamy z założeń I, parametry  i  nie są znane).

Narzędziem weryfikacji hipotezy x0 jest, przy założeniach I i założeniu dodatkowym, statystyka t dana wzorem (12.D). Statystyka (12.D) ma rozkład t-Studenta określony przez stopnie swobody dane wzorem (12.E).

(12.D) , stopnie swobody: (12.E) , , ,  i  dane są wzorami jak wyżej.

Obliczona na podstawie wyników (x11, x21,..., xn1) n1-elementowej próby prostej (X11, X21,..., Xn1) i wyników (x12, x22,..., xn2) n2-elementowej próby prostej (X12, X22,..., Xn2) oraz obliczona podstawie założenia, że hipoteza sprawdzana x0 jest hipotezą prawdziwą, statystyka (12.D) przyjmuje wartość (12.D*), a stopnie swobody (12.E) przyjmują wartość (12.E*).

(12.D*) , (12.E) gdzie , ,  i  dane są wzorami jak wyżej.

Hipoteza parametryczna, do której weryfikacji używana jest statystyka                             z próby o rozkładzie chi-kwadrat

Część II

Zbiorem wartości krytycznych w parametrycznym teście istotności opartym na rozkładzie chi-kwadrat (prawostronnie asymetrycznym) zmiennej losowej  (chi-kwadrat) jest zbiór K dany w następujących odmianach:

a) K = { :   należy do zbioru <0; > lub < , +∞)}, gdzie  oraz  są wartościami odczytanymi z tablic rozkładu chi-kwadrat przyjętym poziomie istotności α i ustalonej liczbie stopni swobody v = n - 1 tak, aby  oraz , a hipoteza alternatywna x1 jest dwustronna,

b) K = { :   należy do zbioru < , +∞)}, gdzie  jest wartością odczytaną z tablic rozkładu chi-kwadrat przyjętym poziomie istotności α i ustalonej liczbie stopni swobody v = n - 1 tak, aby , a hipoteza alternatywna x1 jest prawostronna,

c) K = { :   należy do zbioru <0; > i gdzie  jest wartością odczytaną z tablic rozkładu chi-kwadrat przyjętym poziomie istotności α i ustalonej liczbie stopni swobody v = n - 1 tak, aby , a hipoteza alternatywna x1 jest lewostronna.

W analizowanym niżej teście istotności opartym na rozkładzie chi-kwadrat mogą być podejmowane decyzje weryfikacyjne dwojakiego rodzaju.

Jeżeli obliczona wartość statystyki  znajdzie się w zbiorze wartości krytycznych K, co oznacza, że:

a)  lub 0 <  < , b) , c) 0 <  <

to, przyjętym poziomie istotności α i ustalonej liczbie stopni swobody v = n - 1 odrzucamy hipotezę sprawdzaną x0 na rzecz hipotezy alternatywnej x1.

Jeżeli obliczona wartość statystyki  nie znajdzie się w zbiorze wartości krytycznych K, co oznacza, że:

a)  < , b) 0 < , c)  >

to, przyjętym poziomie istotności α i ustalonej liczbie stopni swobody v = n - 1 nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy sprawdzanej x0.

Hipoteza 3

x0 : σ^2 = a)   x1 : σ^2 …  lub b)   x1 : σ^2 > , lub też c)   x1 : σ^2 < .

Narzędziem weryfikacji hipotezy x0 jest, przy założeniach I, statystyka  dana wzorem (12.F) lub statystyka  dana wzorem (12.G):

(12.F)  lub (12.G) ,   gdzie

, i = 1,..., n, , i = 1,..., n, , , , i = 1,..., n, , , stopnie swobody: v = n - 1.

Obliczone na podstawie wyników (x1, x2,..., xn) n-elementowej próby prostej (X1, X2,..., Xn) oraz obliczone na podstawie założenia, że hipoteza sprawdzana x0 jest hipotezą prawdziwą, statystyki (12.F) i (12.G) przyjmują wartości (12.F*) lub (12.G*).

(12.F*)  lub (12.G*)

gdzie

, i = j, i = 1,..., n, , i = j, i = 1,..., n, , , , i = j, i = 1,..., n, , ,

Hipoteza parametryczna, do weryfikacji której używana jest statystyka                            z próby o rozkładzie F-Snedecora

Część III

Zbiorem wartości krytycznych w parametrycznym teście istotności opartym na rozkładzie F-Snedecora (rozkładzie prawostronnie asymetrycznym) zmiennej losowej F jest zbiór K dany w następujących odmianach:

a) K = {F : F należy do zbioru <0;  > lub < , + 4)} i gdzie  i  są wartościami odczytanymi z tablic rozkładu F-Snedecora przyjętym poziomie istotności α i ustalonej liczbie stopni swobody v1 = n1 - 1, v2 = n2 - 1 tak, aby oraz , a hipoteza alternatywna x1 jest dwustronna,

b) K = {F : F należy do zbioru <  +∞)} i gdzie  jest wartością odczytaną z tablic rozkładu F-Snedecora przyjętym poziomie istotności α i ustalonej liczbie stopni swobody v1 = n1 - 1, v2 = n2 - 1 tak, aby , a hipoteza alternatywna x1 jest prawostronna,

c) K = {F : F należy do zbioru <0; )} i gdzie  jest wartością odczytaną z tablic rozkładu F-Snedecora przyjętym poziomie istotności α i ustalonej liczbie stopni swobody v1 = n1 - 1, v2 = n2 - 1 tak, aby , a hipoteza alternatywna x1 jest lewostronna.

Warto w tym miejscu przytoczyć następujące wzory:

=  oraz  =

gdzie, jak widzimy, stopnie swobody v1, v2 zamieniają się na v2, v1.

W analizowanym niżej teście istotności opartym na rozkładzie F-Snedecora mogą być podejmowane decyzje weryfikacyjne dwojakiego rodzaju.

Jeżeli obliczona wartość statystyki F znajdzie się w zbiorze wartości krytycznych K, co znaczy, że:

a)  lub 0 <  < , b) , c) 0 <  <

to, przyjętym poziomie istotności α i ustalonej liczbie stopni swobody v1 = n1 - 1, v2 = n2 - 1 odrzucamy hipotezę sprawdzaną x0 na rzecz hipotezy alternatywnej x1.

Jeżeli obliczona wartość statystyki F nie znajdzie się w zbiorze wartości krytycznych K, co znaczy, że:

a)  <  < , b) 0 < , c)

to, przyjętym poziomie istotności α i ustalonej liczbie stopni swobody v1 = n1 - 1, v2 = n2 - 1 nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy sprawdzanej x0.

Hipoteza 4

Równoważne są następujące zapisy hipotezy sprawdzanej x0 i alternatywnej x0:

x0 : , stąd x0 : , czyli x0 : a)   x1 : , stąd x1 : , czyli x1 :  lub: b)   x1 : , stąd x1 : , czyli x1 : , c)   x1 : , stąd x1 : , czyli x1 : .

Narzędziem weryfikacji hipotezy x0 jest, przy założeniach I, statystyka F dana wzorem (12.H):

(12.H) ,

gdzie

, i = 1,..., n1, , i = 1,..., n2,

, ,

, ,

stopnie swobody: v = (n1 - 1) + (n2 - 1) = n1 + n2 - 2.

Obliczona na podstawie wyników (x11, x21,..., xn1) n1-elementowej próby prostej (X11, X21,..., Xn1) i wyników (x12, x22,..., xn2) n2-elementowej próby prostej (X12, X22,..., Xn2) oraz obliczona podstawie założenia, że hipoteza sprawdzana x0 jest hipotezą prawdziwą, statystyka (12.H) przyjmuje wartość (12.H*).

(12.H*) ,

gdzie

, i = j, i = 1,..., n1, , i = j, i = 1,..., n2,

, ,

, ,

Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: M. Fisz: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1969; J. Greń: Statystyka matematyczna, podręcznik programowany, PWN, Warszawa 1987; J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998; P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna wydawnicza SGH, Warszawa 1998; J.M. Kenkel: Introductory Statistics for Management and Economics, PWS-Kent - Publishing Company, Boston, Massachusetts 1984.

---