R8 Row Roz, metody numeryczne


Rozdział VII

Rozwiązanie numeryczne równań

różniczkowych

7.1. Równania pierwszego rzędu.

Równanie Riccati'ego

Równanie to ma postać następującą

0x01 graphic
. (7.1)

Zaznaczmy, że jeśli funkcja 0x01 graphic
jest równa zero, tzn. 0x01 graphic
, to równanie Riccati'ego (7.1) sprowadza się do równania Bernoulli'ego przy 0x01 graphic
, które całkuje się analitycznie. Wówczas jeśli funkcja 0x01 graphic
jest równa zero, tzn. 0x01 graphic
, to otrzymujemy liniowe równanie różniczkowe, które też całkuje się analitycznie.

Łatwo sprawdzić, że w przypadku ogólnym możemy tak dobrać funkcje 0x01 graphic
, żeby podstawienie

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
jest nową funkcją poszukiwaną, sprowadzało równanie Riccati (7.1) do postaci kanonicznej

0x01 graphic
, (7.2)

gdzie funkcja 0x01 graphic
jest określona przez funkcję 0x01 graphic
, 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

W wielu przypadkach ułatwia to znalezienie rozwiązania ogólnego równania wyjściowego.

Zaznaczmy, że w przypadku ogólnym rozwiązanie ogólne równania (7.2) nie da się sprowadzić do skończonej liczby całek nieoznaczonych (całkowaniu przez kwadratury - Liouville).

W przypadkach szczególnych możemy wyróżnić kilka sposobów całkowania równanie Riccati'ego.

  1. Jeśli znane jest rozwiązanie szczególne 0x01 graphic
    równania (7.2), to przez podstawienie

0x01 graphic

dla funkcji z otrzymujemy równanie Bernoulli'ego.

Wówczas podstawienie

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
jest nową funkcja poszukiwaną, sprowadza równanie Riccati'ego bezpośrednio do równania liniowego.

(Sprawdzić samodzielnie).

Przykład 7.1. Rozwiązać równanie

0x01 graphic
,

jeśli jego rozwiązanie cząstkowe 0x01 graphic
.

  1. Jeżeli znane są dwa liniowo niezależne rozwiązania szczególne 0x01 graphic
    oraz 0x01 graphic
    , to dla rozwiązania ogólnego mamy

0x01 graphic
.

Dowód. Odejmując równania

0x01 graphic

znajdziemy

0x01 graphic
.

Dzieląc przez 0x01 graphic
, mamy

0x01 graphic

i następnie

0x01 graphic
.

Podobnie znajdujemy, że

0x01 graphic

Odejmując otrzymane równania

0x01 graphic

i dokonując przekształcenia

0x01 graphic
,

oraz całkując, mamy

0x01 graphic
.

Pokaż, że w tym przypadku funkcja 0x01 graphic
jest również rozwiązaniem szczególnym równania liniowego względem z, co pozwala uprościć jego całkowanie.

Przykład 7.2. Rozwiązać równanie

0x01 graphic

jeśli wiadome dwa jego rozwiązania cząstkowe

0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

  1. Jeśli są znane trzy liniowe niezależne rozwiązania szczególne 0x01 graphic
    , 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    , to całka ogólna równania Riccati'ego 0x01 graphic
    wyznacza się z relacji

0x01 graphic
.

7.2. Metoda kolejnych przybliżeń Picard'a (iteracja).

Rozważmy zagadnienie Cauchy'ego

0x01 graphic
, (7.3)

oraz 0x01 graphic
.

Całkujemy równanie formalne

0x01 graphic

i budujemy ciąg rekurencyjny w następujący sposób

0x01 graphic
.

Twierdzenie 7.1. Granica ciągu rekurencyjnego jest rozwiązaniem zagadnienie Cauchy'ego, tzn. 0x01 graphic
, i dla 0x01 graphic
spełnia się nierówność

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
.

Przykład 7.3. Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego

0x01 graphic
.

Załóżmy 0x01 graphic
i obliczmy kolejno:

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

…………………………………………………….

0x01 graphic

Kiedy 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
, co odpowiada rozwiązaniu ścisłemu.

Przykład 7.4. Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Załóżmy 0x01 graphic
i obliczmy kolejno:

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
,

……………………………………………………

Otrzymujemy szybko zbieżny szereg.

Przykład 7.5. Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Załóżmy 0x01 graphic
i obliczmy kolejno:

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic

0x01 graphic
,

……………………………………………………….

Również otrzymujemy szybko zbieżny szereg.

7.3. Całkowanie za pomocą szeregów.

Szereg Taylor'a.

Rozważamy zagadnienie Cauchy'ego (7.3), tzn.

0x01 graphic
.

Przyjmujemy, że funkcja 0x01 graphic
może być rozwinięta w szereg Taylor'a względem 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

Poszukujemy rozwiązanie w postaci

0x01 graphic

Wartości 0x01 graphic
określamy bezpośrednio równania.

Przykład 7.6. Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Obliczamy kolejno:

0x01 graphic
; 0x01 graphic
; 0x01 graphic
;

0x01 graphic
; 0x01 graphic

Otrzymujemy szybko zbieżny szereg.

Dokonamy pewnego uogólnienia tej metody. Przypuśćmy, że znaleźliśmy rozwiązanie w punktach 0x01 graphic
(0x01 graphic
). Znajdziemy rozwiązanie w następnym punkcie. Zapiszemy pochodną w otoczeniu punktu

0x01 graphic

Dla punktu 0x01 graphic
ten szereg możemy przepisać następująco

0x01 graphic

Wartość pierwszej pochodnej w punkcie 0x01 graphic
znajdujemy bezpośrednio z równania

0x01 graphic
.

Dla znalezienia drugiej pochodnej dokonamy różniczkowania równania 0x01 graphic
. Mamy

0x01 graphic
.

Wówczas

0x01 graphic
.

Zaznaczmy, że ponieważ kolejne pochodne są skomplikowane, to wygodnym jest określenie operatora

0x01 graphic

i zapisywanie kolejnych pochodnych z jego wykorzystaniem. Na przykład,

0x01 graphic
.

Przykład 7.7. Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

7.4. Metody Rungego-Kutty.

Rozważamy zagadnienie Cauchy'ego (7.3), tzn.

0x01 graphic

oraz rozważamy równoodlegle punkty 0x01 graphic
(0x01 graphic
).

Podstawą wszystkich metod Rungego-Kutty jest wyko­rzystanie wzoru

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
są stałe, 0x01 graphic
, wówczas

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

………………………………

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Współczynniki 0x01 graphic
dobiera się tak, żeby powyższa kombinacja liniowa 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
była uzgodniona z odpowiednim szeregiem Taylor'a do wyrazów rzędu 0x01 graphic
.

Zaznaczmy, że liczbę 0x01 graphic
nazywa się rzędem metody Rungego-Kutty.

Ponieważ, wybór współczynników 0x01 graphic
dla danego 0x01 graphic
jest niejednoznaczny, to mówi się o rodzinie metod Rungego-Kutty rzędu 0x01 graphic
.

Jeśli 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, to mamy wiadomą metodę Euler'a

0x01 graphic
.

Ważny przypadek cząstkowy 0x01 graphic
, kiedy rozwiązanie zagadnienia Cauchy'ego

0x01 graphic

zapisuje się w postaci jawnej

0x01 graphic
.

Wtedy również

0x01 graphic

i metoda Euler'a prowadzi do równości

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

………………..

0x01 graphic
.

Dodając stronami otrzymamy wzór prostokątów dla obliczania całki

0x01 graphic
.

Modyfikowana metoda Euler'a

0x01 graphic
: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Poprawiona metoda Euler'a (metoda Heuna)

0x01 graphic
: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Dla metody Heuna

0x01 graphic

oraz dla 0x01 graphic
mamy

0x01 graphic

0x01 graphic

…………………………….

0x01 graphic

Dodając stronami otrzymamy wzór trapezów dla obliczania całki

0x01 graphic
.

Podobnie metoda Rungego-Kutty przy 0x01 graphic
wygląda następująco

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic

dla 0x01 graphic
prowadzi do wzoru Simpsona dla obliczania całki.

Klasyczna metoda Rungego-Kutty odpowiada 0x01 graphic
oraz następnej kombinacji liniowej

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

7.5. Ekstrapolacyjna metoda Adamsa.

Rozważamy zagadnienie Cauchy'ego (7.3), tzn.

0x01 graphic

oraz weźmiemy dla rozwiązania tego równania równoodlegle punkty 0x01 graphic
(0x01 graphic
).

Zapisujemy jego rozwiązanie w postaci formalnej dla każdego przedziału

0x01 graphic

lub

0x01 graphic
.

Aby znaleźć przybliżoną wartość występującej całki należę skorzystać z jakiegoś wzoru dla funkcji podcałkowej w przedziale 0x01 graphic
. Ponieważ z założenia są znane wartości tej funkcji w poprzednich punktach 0x01 graphic
, to można skorzystać z ekstrapolacji funkcji określonej w wskazanych punktach 0x01 graphic
przedziału 0x01 graphic
.

Dla pochodnej pod całką wykorzystamy drugi interpolacyjny wielomian Newtona

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

ponieważ znane są wartości funkcji 0x01 graphic
w punktach 0x01 graphic
(0x01 graphic
).

Podstawiając i całkując, otrzymamy

0x01 graphic

0x01 graphic
.

Zwykle korzysta się z metody ekstrapolacyjnej Adamsa dla 0x01 graphic
. Wtedy

0x01 graphic
.

Dla skorzystania z tej metody, jak i wcześniej budujemy tablice

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
MN 07 Uklady Row Lin 2, metody numeryczne
MN 05 Uklady Row Lin 1, metody numeryczne
MN 02 Row Nielin, metody numeryczne
MN 08 Uklady Row Lin 3, metody numeryczne
R4 Niel Row Alg(1), metody numeryczne
R7 Roz Num, metody numeryczne
Metody numeryczne Zadanie row rozniczkowe, Nauka i Technika, Automatyka, Teoria sterowania
Metody numeryczne w6
metoda siecznych, Elektrotechnika, SEM3, Metody numeryczne, egzamin metody numeryczn
MN energetyka zadania od wykładowcy 09-05-14, STARE, Metody Numeryczne, Część wykładowa Sem IV
METODA BAIRSTOWA, Politechnika, Lab. Metody numeryczne
testMNłatwy0708, WI ZUT studia, Metody numeryczne, Metody Numeryczne - Ćwiczenia
Metody numeryczne Metoda węzłowa
Metody numeryczne, wstep
metody numeryczne w4

więcej podobnych podstron