Rozdział VII
Rozwiązanie numeryczne równań
różniczkowych
7.1. Równania pierwszego rzędu.
Równanie Riccati'ego
Równanie to ma postać następującą
. (7.1)
Zaznaczmy, że jeśli funkcja
jest równa zero, tzn.
, to równanie Riccati'ego (7.1) sprowadza się do równania Bernoulli'ego przy
, które całkuje się analitycznie. Wówczas jeśli funkcja
jest równa zero, tzn.
, to otrzymujemy liniowe równanie różniczkowe, które też całkuje się analitycznie.
Łatwo sprawdzić, że w przypadku ogólnym możemy tak dobrać funkcje
, żeby podstawienie
,
gdzie
jest nową funkcją poszukiwaną, sprowadzało równanie Riccati (7.1) do postaci kanonicznej
, (7.2)
gdzie funkcja
jest określona przez funkcję
,
i
.
W wielu przypadkach ułatwia to znalezienie rozwiązania ogólnego równania wyjściowego.
Zaznaczmy, że w przypadku ogólnym rozwiązanie ogólne równania (7.2) nie da się sprowadzić do skończonej liczby całek nieoznaczonych (całkowaniu przez kwadratury - Liouville).
W przypadkach szczególnych możemy wyróżnić kilka sposobów całkowania równanie Riccati'ego.
Jeśli znane jest rozwiązanie szczególne
równania (7.2), to przez podstawienie
dla funkcji z otrzymujemy równanie Bernoulli'ego.
Wówczas podstawienie
,
gdzie
jest nową funkcja poszukiwaną, sprowadza równanie Riccati'ego bezpośrednio do równania liniowego.
(Sprawdzić samodzielnie).
Przykład 7.1. Rozwiązać równanie
,
jeśli jego rozwiązanie cząstkowe
.
Jeżeli znane są dwa liniowo niezależne rozwiązania szczególne
oraz
, to dla rozwiązania ogólnego mamy
.
Dowód. Odejmując równania
znajdziemy
.
Dzieląc przez
, mamy
i następnie
.
Podobnie znajdujemy, że
Odejmując otrzymane równania
i dokonując przekształcenia
,
oraz całkując, mamy
.
Pokaż, że w tym przypadku funkcja
jest również rozwiązaniem szczególnym równania liniowego względem z, co pozwala uprościć jego całkowanie.
Przykład 7.2. Rozwiązać równanie
jeśli wiadome dwa jego rozwiązania cząstkowe
i
.
Jeśli są znane trzy liniowe niezależne rozwiązania szczególne
,
i
, to całka ogólna równania Riccati'ego
wyznacza się z relacji
.
7.2. Metoda kolejnych przybliżeń Picard'a (iteracja).
Rozważmy zagadnienie Cauchy'ego
, (7.3)
oraz
.
Całkujemy równanie formalne
i budujemy ciąg rekurencyjny w następujący sposób
.
Twierdzenie 7.1. Granica ciągu rekurencyjnego jest rozwiązaniem zagadnienie Cauchy'ego, tzn.
, i dla
spełnia się nierówność
,
gdzie
.
Przykład 7.3. Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
.
Załóżmy
i obliczmy kolejno:
,
,
,
…………………………………………………….
Kiedy
, to
, co odpowiada rozwiązaniu ścisłemu.
Przykład 7.4. Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
,
.
Załóżmy
i obliczmy kolejno:
,
,
,
……………………………………………………
Otrzymujemy szybko zbieżny szereg.
Przykład 7.5. Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
,
.
Załóżmy
i obliczmy kolejno:
,
,
,
……………………………………………………….
Również otrzymujemy szybko zbieżny szereg.
7.3. Całkowanie za pomocą szeregów.
Szereg Taylor'a.
Rozważamy zagadnienie Cauchy'ego (7.3), tzn.
.
Przyjmujemy, że funkcja
może być rozwinięta w szereg Taylor'a względem
i
.
Poszukujemy rozwiązanie w postaci
Wartości
określamy bezpośrednio równania.
Przykład 7.6. Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
,
.
Obliczamy kolejno:
;
;
;
;
Otrzymujemy szybko zbieżny szereg.
Dokonamy pewnego uogólnienia tej metody. Przypuśćmy, że znaleźliśmy rozwiązanie w punktach
(
). Znajdziemy rozwiązanie w następnym punkcie. Zapiszemy pochodną w otoczeniu punktu
Dla punktu
ten szereg możemy przepisać następująco
Wartość pierwszej pochodnej w punkcie
znajdujemy bezpośrednio z równania
.
Dla znalezienia drugiej pochodnej dokonamy różniczkowania równania
. Mamy
.
Wówczas
.
Zaznaczmy, że ponieważ kolejne pochodne są skomplikowane, to wygodnym jest określenie operatora
i zapisywanie kolejnych pochodnych z jego wykorzystaniem. Na przykład,
.
Przykład 7.7. Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
,
.
7.4. Metody Rungego-Kutty.
Rozważamy zagadnienie Cauchy'ego (7.3), tzn.
oraz rozważamy równoodlegle punkty
(
).
Podstawą wszystkich metod Rungego-Kutty jest wykorzystanie wzoru
,
gdzie
są stałe,
, wówczas
,
,
………………………………
,
.
Współczynniki
dobiera się tak, żeby powyższa kombinacja liniowa
dla
była uzgodniona z odpowiednim szeregiem Taylor'a do wyrazów rzędu
.
Zaznaczmy, że liczbę
nazywa się rzędem metody Rungego-Kutty.
Ponieważ, wybór współczynników
dla danego
jest niejednoznaczny, to mówi się o rodzinie metod Rungego-Kutty rzędu
.
Jeśli
i
, to mamy wiadomą metodę Euler'a
.
Ważny przypadek cząstkowy
, kiedy rozwiązanie zagadnienia Cauchy'ego
zapisuje się w postaci jawnej
.
Wtedy również
i metoda Euler'a prowadzi do równości
,
,
………………..
.
Dodając stronami otrzymamy wzór prostokątów dla obliczania całki
.
Modyfikowana metoda Euler'a
:
,
,
,
.
Poprawiona metoda Euler'a (metoda Heuna)
:
,
,
,
.
Dla metody Heuna
oraz dla
mamy
…………………………….
Dodając stronami otrzymamy wzór trapezów dla obliczania całki
.
Podobnie metoda Rungego-Kutty przy
wygląda następująco
,
,
,
dla
prowadzi do wzoru Simpsona dla obliczania całki.
Klasyczna metoda Rungego-Kutty odpowiada
oraz następnej kombinacji liniowej
,
,
,
,
.
7.5. Ekstrapolacyjna metoda Adamsa.
Rozważamy zagadnienie Cauchy'ego (7.3), tzn.
oraz weźmiemy dla rozwiązania tego równania równoodlegle punkty
(
).
Zapisujemy jego rozwiązanie w postaci formalnej dla każdego przedziału
lub
.
Aby znaleźć przybliżoną wartość występującej całki należę skorzystać z jakiegoś wzoru dla funkcji podcałkowej w przedziale
. Ponieważ z założenia są znane wartości tej funkcji w poprzednich punktach
, to można skorzystać z ekstrapolacji funkcji określonej w wskazanych punktach
przedziału
.
Dla pochodnej pod całką wykorzystamy drugi interpolacyjny wielomian Newtona
ponieważ znane są wartości funkcji
w punktach
(
).
Podstawiając i całkując, otrzymamy
.
Zwykle korzysta się z metody ekstrapolacyjnej Adamsa dla
. Wtedy
.
Dla skorzystania z tej metody, jak i wcześniej budujemy tablice
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|